基于模态参与消减的直连拉索连接惯容系统的简易算法

谢丽宇，班鑫磊，康建飞，薛松涛，4

（1.同济大学 土木工程学院，上海 200092；2.上海电力设计院有限公司，上海 200025；3.日本东北大学 灾害科学国际研究所，宫城仙台980－8572；4.日本东北工业大学 建筑系，宫城仙台982－8577）

引言

建筑结构在地震等自然灾害作用下的不利振动会使结构性能退化显著，带来安全性和舒适性等问题。因此，需要采取一定的工程措施，如在建筑结构中安装减振系统［1］，以尽快恢复震后建筑的使用功能，提升建筑结构的抗震防灾性能［2－3］。结构振动控制［3］是近40年来发展起来的一门新兴技术，它可以减小结构在地震、风等外部激励下的动力响应，显著提高土木工程结构抑制各类有害振动的能力，保障结构在地震和强风中的安全性及舒适度。惯容系统［4－6］是近年来众多学者开始探索的一种新型动力吸振技术。

惯容元件［4］是一种具有质量增效特性的两端点元件，出力与元件两端的相对加速度成正比，与传统的单节点质量元件的不同之处体现在：（1）惯容系数远大于自身的物理质量，可产生数千倍于实际物理质量的表观质量［5－8］，因此可以在几乎不增加结构实际质量的同时实现结构的振动控制；（2）惯容元件的两端点特性提高了其安装方式的灵活性［9］，使其不仅仅局限于如悬挂等单端点连接的方式，还可以采用与普通消能减震装置相同的层间安装方式［10］，这样一来，惯容元件就可以利用楼层间的加速度差进行减震；（3）惯容所增加的惯性质量并不会增加结构所受的地震作用，具有地震输入减少的特性［11］。

追溯到土木工程领域惯容装置的雏形是Kawamata等［12－14］开发的液体泵，利用流体在管道中的运动可以实现对液体质量惯性的封装。之后，学者们针对惯容这一双端质量元件，在不增加额外自由度的条件下，开展了惯容减震系统的研究［15－20］。Saito等［21］分析了安装惯容控制元件的单自由度结构的动力响应，首次从降低结构激励幅值的角度分析了惯容控制元件的工作机制。Furuhashi等［11，22－23］也得出了安装惯容控制元件可以有效控制结构响应的结论。Hessabi等［24－25］通过采用齿轮惯容装置提高了薄弱层结构的抗震性能，增加了底层结构的抗侧承载力，降低了地震能量的输入。然而上述研究均未考虑支撑系统的改进，为此，文中结合拉索支撑的特性，从地震输入减少及模态参与消减两个角度分析直连拉索连接惯容系统的减震机理及其优势。

1 直连拉索连接惯容系统的减震机理

1.1 直连拉索连接惯容系统的组成

文中利用拉索支撑仅提供轴向约束的特点，简化连接节点的构造，避免多维地震作用下的应力集中问题，采用端部扭矩可以自平衡的惯容装置提出了直连拉索连接惯容系统，如图1所示。

1.2 地震输入减小特性

惯容作为具有两节点的质量元件，可以通过拉索支撑直接与结构相连接，从而调整结构的质量特性。直连拉索连接惯容系统是拉索连接惯容系统不使用调谐弹簧并忽略拉索柔度时的特殊形式，其基本构造如图1所示。拉索的倾斜角为θ，惯容的表观质量为md，单自由度结构在地震激励下的运动方程可以表达为：

图1 安装直连拉索连接惯容系统的多自由度结构Fig.1 Multi-degree-of-freedom structure equipped with direct connected cable inerter systems

式中：m，c，k分别是结构的质量，阻尼和刚度；，us(t)分别是结构的加速度，速度及位移响应；ag（t）是外部激励输入。定义等效惯质比μ为(md(cosθ)2)m，式（1）可以等效换为：

对比式（1）和式（2）可知，通过直连拉索连接惯容系统调整单自由度结构的质量信息，我们可以获得等效的阻尼折减，刚度折减及地震输入减小。该特性是由惯容双端质量特性引起的，惯容显著的表观质量增加了式（1）左半部分的质量信息的改变而相对较小的物理质量对右半部分的地震输入力的影响几乎可以忽略。应当注意的是，此处定义的地震输入减小是指输入到主体结构的加速度减小，而非减少地震力本身。这是基于接地惯容的加速度补偿机制实现的，部分地震加速度通过惯容直接传递。广义而言，直连拉索连接惯容系统具备以下控制特点：

（2）通过等效折减结构阻尼，将结构的固有阻尼系数降低为原固有阻尼系数的

（3）安装直连拉索连接惯容系统的单自由度结构地震输入等效折减为了原结构的

应当注意的是，此处定义的地震输入减小是指输入到主体结构的加速度减小，而非减少地震力本身。这是基于接地惯容的加速度补偿机制实现的，部分地震加速度通过惯容直接传递。

1.3 模态参与消减特性

模态参与消减特性，最初由Furuhashi等［11］针对直连惯容装置提出。当考虑如图1所示的多自由度结构体系时，通过适当调整直连拉索连接惯容系统在结构中的分布，可以有效的控制结构的模态特性。安装有直连拉索连接惯容系统的多自由度结构受地震激励的控制方程可以表达为：

式中：M0，Md质量矩阵和直连拉索惯容系统的惯容表观质量矩阵，表达式见式（4）和式（5），其中βc是拉索的传递系数，表达式见式（6）和式（7）；C，K是结构的阻尼矩阵和刚度矩阵表达式见式（8）和式（9）和Xs(t)代表结构的加速度、速度及位移的响应向量；1为地震激励系数，指代地震输入对于多自由度各个楼层的一致激励。

当充分利用结构的宽度，并采用滑轮式拉索支撑时，拉索的传递效率可以依据式（6）进行计算：

式中：B是结构的立面宽度；hi是结构第i层的结构高度。当定义等效地震激励系数：

方程（3）可以等效变形为：

假定受控结构的i阶模态向量为iϕ，则受控结构的i阶模态响应可以通过求解如下等效单自由度结构的运动方程获取：

式中：iω和ih分别为受控结构的i阶圆频率和阻尼比。i阶模态响应的参与因子iГ为：

与无控结构的模态参与因子不同的是，式（13）中受控结构的模态参与因子可以通过惯容表观质量的合理设定，来改变地震激励系数从而调整模态参与因子。最为极端的工况为，地震激励系数与特定的模态向量关于质量矩阵(M0+Md)正交，则此模态向量对应的模态响应在受控结构总体响应的贡献为0。

从参数分析的层面，以图2中4层结构为例，结构的各层质量均为1 000 t，各个楼层的层间刚度均为8×105kN/m，在其底层接地安装一个直连拉索连接惯容系统，以各层拉索的传递系数为0.5为例，当直连拉索连接惯容系统的表观质量由0 t开始连续变化时，依据模态参与因子的定义，可以计算其相对应的各阶模态参与因子。惯容的表观质量与各阶模态参与因子平方值的关系如图3所示。由图3可知，在所选取的惯容表观质量范围内，结构的1阶模态参与因子随着表观质量的增加而减小。对于2阶、3阶及4阶模态而言，总是存在特定的表观质量使得相应的模态参与因子降为0值。

图2 4层主体结构振型Fig.2 Mode shape of 4-story uncontrolled structure

图3 md－Γ2关系Fig.3 Relationship between md andΓ2

进一步，当考虑同时消减多个模态时，以直连拉索连接惯容系统分别安装于结构的底层及2层为例，其表观质量的变化同样将引起结构各模态参与系数的改变。如图4所示，至少存在一个表观质量的组合使得结构的2阶至4阶模态中的2个同时为零。

图4 表观质量－多个模态参与系数关系图Fig.4 Apparent mass-multimodal participation factors

2 直连拉索连接惯容系统的简易算法

从解析的层面，观察i阶模态响应参与因子的表达式可知，模态参与消减的本质为通过调整惯容表观质量改变受控结构的模态向量iϕ使得如下方程成立：

假定模态向量iϕ={iϕ1iϕ2iϕ3iϕ4}T，则方程（14）可以改写为：

又因为iϕ是模态向量，需要满足特征值方程：

利用直连拉索连接惯容系统进行模态参与消减设计的本质为求解由式（15）和式（16）组成的关于变量{iϕ1iϕ2iϕ3iϕ4}T、iω及惯容表观质量md,1,…md,n的联立方程。

同样以图2中的4层结构为例，用于消减特定模态iϕ={iϕ1iϕ2iϕ3iϕ4}T的直连拉索惯容系统安装于底层，则控制方程见式（17）和式（18）：

将式（17）中的各行相加并减去式（18）可得：

将式（19）带入式（17）并整理可得到：

上式是一个常规的特征值问题，因此可以采用MATLAB中的“eig（）”函数直接求解。将求解所得到的特征值带入式（19）即可求得对应的惯容表观质量。值得注意的是，由于方程（20）右侧的刚度矩阵非满秩，存在一个数值为0的1阶特征值。因此，当系统尝试控制1阶模态时，则所需的惯容表观质量由式（19）计算为无穷。这与图3中的参数分析结果一致。依据图2中4层结构的参数，可以计算得出用于控制2阶、3阶及4阶的惯容表观质量分别为：3 414.21、1 000.00、585.79 t，这与图4中的参数分析的结果一致。

当考虑多个模态参与消减时，为了简化惯容参数的计算流程，防止控制效果的耦合导致设计困难，在此，指定安装位置较高的直连拉索连接惯容系统用于消减较高阶模态，并尽可能的将直连拉索连接惯容系统安装于结构下部。同样以在底层和第2层安装直连拉索连接惯容系统的4层结构为例，其控制方程可以写为：

式中：i，j为目标控制模态。

由上述单一模态参与消减的计算流程可知，安装于上层的直连拉索连接惯容系统的控制效果不受下层系统影响。因此，从较高层的直连拉索连接惯容系统的表观质量开始计算。假定，第2层直连拉索连接惯容系统所控制的模态向量为：jϕ2={0jϕ2jϕ3jϕ4}T，则将方程（21）的第2行至第4行相加并减去方程（22）可得：

将式（23）带入式（22）并整理可得：

方程（24）是一个传统的特征值问题。考虑到方程（24）右侧的刚度矩阵为秩为2的矩阵，因此在此假定下，安装于结构2层的直连拉索惯容系统仅能消减第3或第4阶模态。将求解所得的特征值带入式（23）即可求得对应的惯容表观质量。进一步的，获取安装于2层的直连拉索连接惯容系统的相关参数后，则安装于底层的直连拉索连接惯容系统的参数求解与消减单一模态的流程完全一致。依据图2中的4层结构的参数，可以计算得出用于同时控制2阶和3阶，2阶和4阶及3阶和4阶的惯容表观质量的组合分别为：（4 303，2 000），（3 618，667）和（1 382，667），这与图4中的参数分析结果一致。同理，依据上述流程设计的用于消减结构2阶至4阶模态的直连拉索连接惯容系统应安装于结构的底层，2层及3层，相应的惯容表观质量应选取为：5 000，2 666.67，1 000。

如果将结构除了1阶模态以外的高阶模态的参与系数通过逐层安装惯容装置消减为0时，此控制方法一般称为全模态控制，由式（13）可知，i阶模态响应的参与因子消减为0的条件可以描述为结构的第i阶模态向量iϕ与等效地震激励系数关于结构质量矩阵正交。依据结构各阶模态关于其质量矩阵正交可知，令等效地震激励系数与受控结构的一阶模态相同时，对1阶以外的模态而言，其参与因子恒为0。

若结构的1阶模态向量与等效地震激励系数相等，则下式成立：

将等效地震激励系数代入式（25）可得：

对式（26）由下至上逐项累加可得：

考虑到控制n－1阶模态仅需n－1个直连拉索连接惯容系统，且尽可能将直连拉索惯容系统安装于下部，顶层未安装惯容系统。由此可知md,n=0。根据等效地震激励系数的定义可知：

将βn=1代入式（27）可以得到全模态控制的受控结构的1阶圆频率：

因此，将式（29）代入式（27）可以得到等效地震激励系数。将等效地震激励系数代入式（28）可以求解出各层直连拉索连接惯容系统的惯容表观质量：

以图2中的4层结构为例，依据上述流程设计的全模态消减模态的直连拉索连接惯容系统应安装于结构的底层，2层及3层，相应的惯容表观质量应选取为：5 000，2 666.67，1 000 t，得到的惯容减震结构的参与模态向量如图5所示，依据文中所提的简易算法设计的直连拉索连接惯容系统有效地消减了结构的2～3阶模态。

图5 4层结构的参与模态向量Fig.5 Participation mode vectors of the 4-story structure

3 算例分析及减震性能验证

为了验证基于全模态参与消减设计的直连拉索连接惯容系统的减震性能，采用日本隔震结构协会提出的2个基准结构作为算例，设计对应的直连拉索连接惯容系统并验证其减震性能。2个基准结构的立面图如图6所示，底层层高均为6 m，标准层层高为4 m。基准结构的等效剪切模型的各层弹性刚度及楼层质量以及基于文中所提全模态参与消减简易算法设计的直连拉索连接惯容系统的表观质量汇总于表1和表2中。

表1 4层基准结构的参数及惯容系统的设计参数Table 1 Basic parameters of the reference 4－story structure and the design parameters of the inerter systems

表2 20层基准结构的参数及惯容系统的设计参数Table 2 Basic parameters of the reference 20-story structure and the design parameters of the inerter systems

图6 基准结构立面图（单位：m）Fig.6 Elevations of the reference structures（Unit：m）

图7和图8显示了无控结构及有控结构的底层、顶层和中间层的位移传递函数和在El Centro地震波作用下结构各层的响应。以4层基准结构的频响函数为例，无控结构在1阶、2阶、3阶以及4阶模态对应的频率处存在局部峰值，通过全模态参与消减简易算法进行设计的有控结构针对位移频响函数在高阶模态的峰值均有较好的消除作用。这与全模态参与消减算法的目标是一致的，即消除高阶模态的参与，使结构以1阶模态为主。通过位移传递函数的对比，可以验证基于全模态参与消减机理设计的直连拉索连接惯容系统可以有效去除高阶模态的影响。通过逐层安装直连拉索连接惯容系统，可以实现惯容减振结构的模态参与消减，在频域范围内验证了文中提出的全模态参与消减简易算法的有效性以及该方法所推导的惯容系统表观质量解析公式的便捷性。

图7 2个基准结构的频响函数Fig.7 Frequency response functions of two reference structures

图8 2个基准结构的控制效果Fig.8 Control effect of two reference structures

在时域分析的角度，对于2个4层和20层的结构而言，在地震激励作用下，20层结构的位移和加速度的控制效果优于4层结构的位移和加速度的控制效果。尤其对于加速度的控制效果，越是高层结构，加速度的控制效果越显著，这正是因为，高层或超高层建筑的楼面加速度响应往往同时受到多阶模态的控制，高阶模态的参与因子较大。通过使用全模态参与消减简易算法设计的直连拉索连接惯容系统对于高层结构的位移、加速度和层间位移角的控制效果是显著的。

4 结论

文中从惯容元件入手，通过模态参与消减机制来探究高层结构的模态参与因子对结构振动响应的影响，探究基于模态参与消减机制的拉索连接惯容系统的减震机理及其控制优势。主要结论如下：

（1）介绍了直连拉索连接惯容系统的地震输入减小性能及模态参与消减特性，给出了直连拉索连接惯容系统的控制特点。

（2）推导了基于模态参与消减机制的直连拉索连接惯容系统的解析解，并和参数分析结果相吻合，从解析的层面揭示了惯容的表观质量与各阶模态参与因子的关系。通过惯容表观质量的合理设定进行模态参与因子的调节，为惯容系统的参数设计提供了理论依据。

（3）结合结构各阶模态关于其质量矩阵正交给出了全模态参与消减的简易算法。该算法不存在求解耦合方程和指定的模态特征值，在数值稳定及工程应用方面具有一定的价值。

（4）通过位移传递函数的对比，可以验证基于全模态参与消减机理设计的直连拉索连接惯容系统可以有效去除高阶模态的影响。因此，通过使用全模态参与消减简易算法设计的直连拉索连接惯容系统可以实现对高层结构的位移、加速度和层间位移角的有效控制。