双调谐颗粒惯容系统的减震控制研究

鲁正，周超杰，陈芸菲

（1.同济大学土木工程学院，上海 200092；2.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）

引言

随着城市化进程的快速发展，高层建筑等工程结构越来越多，人们抵抗自然灾害的需求变得愈发迫切。地震和台风作用下建筑结构会受到严重的损坏甚至倒塌，从而造成大量的人员伤亡和财产损失。因此可以采用结构振动控制的方法，减小结构在地震和风荷载下的动力响应。结构振动控制按其控制方式的不同分为4类：被动控制［1－2］、主动控制［3－4］、半主动控制［5－6］和混合控制［7－8］。而被动控制因其概念简单、机理明确同时无需外部能量等优点被广泛应用于实际工程中［9－11］。

颗粒调谐质量阻尼器（particle tuned mass damper，PTMD）是颗粒阻尼器与调谐质量阻尼器的结合，利用调谐质量阻尼器的调谐机制，吸收主体结构的震动能量并放大颗粒阻尼器的震动幅值，从而提高颗粒阻尼器在主体结构震动幅值较小时的减震性能，同时增加减震鲁棒性［12－13］。在土木工程领域，鲁正等［14］研究了参数对于PTMD结构控制效果的影响。此外，鲁正等［15］还对附加PTMD的5层钢框架结构进行了试验研究，结果表明，PTMD具有较好的减震效果。

颗粒调谐质量阻尼器往往需要达到一定质量比才能够起到较好的结构响应控制效果，但附加质量过大可能会引起主体结构所受到的地震作用变大，进而影响阻尼器的控制效果。同时在实际应用时，腔体内颗粒数量的增加会带来更大的噪声，质量块体型较大不便于实际安装应用。因此，将惯容系统引入PTMD，利用惯容元件质量放大效应，能够很好地解决这个问题并实现轻质化设计，同时惯容系统有放大阻尼的作用，对于结构响应控制能够起到更好的效果。

1 惯容系统动力分析

惯容器是一种具有轻质物理质量的两端点惯性元件，其物理模型如图1所示。惯性可以让惯容器的物理质量效应放大数千倍［14－15］，因此惯容器是一种非常有效的减震装置，其并不需要过大的质量，就能够实现轻量化控制［16－18］。

图1 惯容器的示意图Fig.1 Diagram of the inerter

惯容器的输出力与其两端的相对加速度相关：

式中：Fin为惯容器输出力；比例系数min为惯质系数分别为惯容器两端加速度。

惯容器在简谐激励下滞回曲线如图2所示，可见惯容要实现更好的结构减震的效果，需要与消能装置（阻尼器）配合工作。此外，惯容系统还能够使惯容单元共振以放大阻尼单元的位移，从而提高阻尼单元的耗能效率。

图2 简谐激励下惯容单元滞回曲线Fig.2 Hysteresis loop of inerter under harmonic excitation

然而不同惯容系统表现出不同的性能，目前有3种典型惯容系统［11］Combination 1（C1）、Combination 2（C2）、Combination 3（C3），如图3所示。文中以惯容系统C2为例，探究其性能及其动力特性，为将惯容系统和PTMD结合提供理论基础。分析时，将惯容系统一端接地，另一端附加简谐荷载u=umsin(ω0t)，其中ω0为简谐荷载的激励圆频率，um为激励幅值。

图3 惯容系统C1、C2和C3在简谐激励下示意图Fig.3 Schematic diagram of inerter systems C1，C2 and C3 under harmonic excitation

惯容系统C2中，惯容元件与阻尼元件并联后与弹簧元件串联，如图3（b）所示，在其运动方程中位移未知量为xd。此时，惯容系统C2的运动方程为：

式中：min为惯容单元的惯质系数；cd为阻尼单元的阻尼系数；ks为弹簧单元的弹性系数；xd分别为惯容元件的位移、速度和加速度响应。

其特解为xd=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)，将其代入至运动方程，与C1解法相同，可以得到惯容系统C2的等效质量系数为：

等效阻尼系数为：

式中，η为频率比η=，其中ω为惯容系统的圆频率ω=为阻尼比ξ=

惯容系统C2在不同频率比η下的等效质量系数和等效阻尼系数如图4所示。对于惯容系统C2来说，当频率比小于1时，大部分区间等效质量系数大于1，同时当频率比略大于1时，也能够起到质量放大的作用。从图4可以看出惯容系统C2能够有效起到阻尼放大作用，其原因是惯容器具有吸收能量的作用并转移能量至阻尼单元，同时阻尼单元与惯容单元相连能放大位移，从而提高了阻尼耗能效率。从质量放大效应和阻尼放大效应两方面来看，惯容系统C2具有较好的减震控制性能。

图4 惯容系统C2的等效系数Fig.4 Equivalent coefficient of C2 inerter system

2 双调谐颗粒惯容系统理论分析

2.1 双调谐颗粒惯容系统力学模型

经过上述分析发现，惯容系统C2能有效地产生阻尼放大效应，选择将惯容系统C2替换PTMD中的阻尼单元（如图5（a）所示），利用惯容单元的质量放大效应和阻尼放大效应，形成双调谐颗粒惯容系统PIS，一种具有更佳减震性能的轻质化被动控制系统。它由惯容系统、调谐弹簧和含有颗粒的腔体构成，其中惯容系统与调谐弹簧并联后与腔体串联，PIS附加于主体结构上，其力学模型如图5（b）所示。

图5 PTMD及PIS力学模型示意图Fig.5 Mechanical models of a structure with PTMD and PIS

2.2 颗粒阻尼器简化模型

由于多颗粒阻尼器的减震效果及鲁棒性都较单颗粒好，因此在实际应用中通常采用多颗粒调谐质量阻尼器。然而，颗粒和颗粒之间的碰撞十分复杂，其非线性特征十分明显，因此文中将多颗粒阻尼器简化为单颗粒阻尼器进行模拟［19］。其非线性弹性力方程G(z)和非线性阻尼力方程H(z,z)分别为：

通过使用碰撞弹簧刚度kp和颗粒阻尼系数cp来模拟颗粒与腔体壁之间的碰撞行为，则颗粒－腔体壁的非线性控制力为：

2.3 附加PIS单自由度结构体系运动方程

当双调谐颗粒惯容系统附加在单自由度结构体系，受到外力作用下的运动方程为：

作为对比，PTMD的运动方程为：

式中：x分别为主体结构的位移、速度和加速度；xc分别为腔体的位移、速度和加速度：xp分别为颗粒的位移、速度和加速度；xd分别为惯容系统中阻尼单元和惯容单元的相对位移、速度和加速度；m、c、k为主体结构的质量、阻尼系数及刚度系数；mc、cc、kc分别为腔体的质量、阻尼系数和刚度系数；cc和kc代表腔体与主体结构的相互作用；mp、cp、kp分别为等效单颗粒的质量、颗粒阻尼系数和颗粒碰撞弹簧刚度；kp和cp代表颗粒与腔体壁之间的碰撞行为。颗粒与腔体的控制力为如式（7）所示，P为外力，FIS为惯容系统的输出力，其既等于阻尼单元和惯容单元出力之和，又等于弹簧单元的出力。与传统PTMD的运动方程相比，惯容系统的输出力FIS替代了传统PTMD阻尼单元的出力，由先前对于惯容系统C2的研究，可以发现其能够起到质量放大效应以外，还能够提高阻尼单元的阻尼，从而具有更好的减震控制能力。

使用PIS的目的是控制结构的动态响应，其主要包括结构的位移和加速度。通常，判断阻尼系统的控制效果的主要评估指标为峰值响应和均方根响应，其分别能够评估结构的在时间历程上位于某一时刻的最大响应和整个时间历程上的减震效果。而减震率可以直接评估阻尼系统的减震效果，其定义为：

式中：αPIS为PIS的减震率；αPTMD为PTMD的减震率；RUC为无控状态下结构的响应；其可以是响应的峰值、均方根；RPIS为附加PIS的结构响应；RPTMD为附加PTMD的结构响应。为了能够定量比较PIS与PTMD的减震性能，定义PIS较PTMD相对减震性能优势为：

式中：β为PIS相对于PTMD的减震性能优势。

3 减震效果分析

3.1 数值模拟参数设计

本节将选取单自由度结构体系对PIS结构响应控制性能进行初探。主体结构的参数［19］为：质量7.6 kg，抗侧刚度为k=500 N/m，自振频率f为2.58 Hz，阻尼比ξ为0.014。

在研究PIS的减震效果时，需要对其惯质比μin、附加质量比μPIS、腔体质量占比μc、频率比、惯容系统频率比IS、系统阻尼比ξPIS、惯容系统阻尼比ξIS和颗粒阻尼比ξd进行设计分析，其计算式如式（12）所示：

式中：惯质比μin为惯质系数min与主体结构质量m的比值；附加质量比μPIS由于惯容物理质量较小可以忽略不计；因此可定义为腔体与颗粒质量之和与主体结构质量的比值；频率比为系统圆频率ωPIS与主体结构的频率ω的比值；惯容系统频率比IS为惯容系统圆频率ωIS与系统圆频率ωPIS的比值；系统阻尼比ξPIS中的阻尼为惯容系统中阻尼单元的阻尼cd；其计算质量为系统总质量；惯容系统阻尼比ξIS中的阻尼为惯容系统中阻尼单元的阻尼cd；其计算质量为惯质系数min；所设计的参数取值范围详见表1［20－21］。

表1 双调谐颗粒惯容系统参数取值Table 1 Parameters value of PIS

3.2 减震控制性能

选用3条地震波作为输入的外界激励，以探究双调谐颗粒惯容系统附加于单自由度结构体系在地震激励下的减震控制性能，其分别为El Centro地震波、Taft地震波和Northridge地震波，并将3条地震波的峰值加速度调整为0.1 g。图6给出了地震激励的加速度时程曲线及频谱曲线，可以发现3条地震波的频率主要集中在0～5 Hz，且分布表现各不相同。

图6 地震波加速度时程曲线及频谱曲线Fig.6 Acceleration time history curve and spectrum curve of seismic wave

在地震激励下，得到主体结构附加双调谐颗粒惯容系统的位移时程响应和加速度时程响应，并将PIS附加于主体结构的时程曲线与无控状态、附加PTMD的时程曲线作对比，如图7所示。在相同参数下，PIS对主体结构动力响应的减震控制性能较PTMD好，尤其是整个时程中的均方根响应控制性能。在时程初期，与PTMD相比，PIS能够更快地降低位移幅值，并且对位移峰值控制效果更佳。而在时程后期，PIS较PTMD可以更大幅度地降低主体结构的均方根位移、加速度响应。PTMD引入惯容系统后减震控制性能提高的主要原因在于，传统PTMD通过阻尼单元和颗粒－腔体、颗粒－颗粒之间的非弹性碰撞与摩擦进行能量耗散，而惯容系统的引入，一方面可以放大阻尼单元的线性耗能效率，即等效阻尼系数变大，另一方面惯容单元还可以吸收存储能量并将能量传递至腔体及其内部颗粒，激励颗粒与腔体的碰撞运动，从而产生更多的非线性耗能，提高其耗能能力。

图7 地震激励下附加PIS、PTMD和无控状态的主体结构响应曲线Fig.7 Seismic responses of a SDOF structure with PTMD，PIS and without control under El Centro wave

表2列出了2种阻尼器对主体结构的减震率。可以看出，在3条地震波激励下，PIS较PTMD表现出更好的均方根响应控制效果，对峰值响应的控制也具有一定优势。在Northridge波作用下，PIS与PTMD相比峰值位移响应减震率提高了27.86%，峰值加速度响应减震率提高了26.57%。然而在El Centro波作用下PIS的峰值加速度控制效果不明显，这是由于PIS的启动存在一定的时滞效应，但从整个时程来看，减震效果仍保持良好。

表2 El Centro波激励下附加PIS、PTMD结构的峰值响应、均方根响应减震率Table 2 Seismic responses reduction ratio of a SDOF structure with PTMD，PIS under El Centro wave

3.3 阻尼器运行行程

在实际工程应用时，阻尼器的运行行程会影响主体结构的空间设计，当阻尼器的运行行程较大时，主体结构需要预留更多空间给阻尼器，从而导致成本提高。因此，除了阻尼器的减震控制性能需要被研究外，阻尼器运行行程也是重要指标。选取El Centro波作为地震激励，图8绘制了阻尼器腔体与主体结构之间的相对位移时程曲线。由于惯容的引入，PIS的腔体相对位移峰值较PTMD有显著的下降，在El Centro波地震激励作用下减少了57.21%。其下降的原因主要是由于惯容系统会出力限制腔体的位移，而惯容系统的储能使得腔体与颗粒的碰撞更加剧烈，从而导致PIS能够在提高颗粒碰撞摩擦耗能效率的同时使得阻尼器的腔体相对主体结构位移减小。

图8 El Centro波激励下附加PIS和PTMD的腔体相对位移时程图Fig.8 Relative displacement responses of the container in PTMD and PIS under El Centro wave

3.4 轻质化特点

从上述研究可以发现，当双调谐颗粒惯容系统和颗粒调谐质量阻尼器具有相同的附加质量比时，双调谐颗粒惯容系统的减震效果优于PTMD，同时能够减小阻尼器运行行程。利用惯容元件可以产生比其物理质量高达数千倍表观质量的特性，从而解决传统PTMD附加质量比过大时导致主体结构所受到的地震作用力变大及实际工程中无法符合噪声要求、阻尼器安装空间的问题，同时实现轻质化设计。以输入El Centro波为例，研究PIS的轻质化特点。

表3给出了在地震波作用下当PIS和PTMD附加于同一单自由度结构时，PIS的轻质化优势可高达95%，显著减小了阻尼器的附加质量比，即PIS可以实现轻质化减震控制并产生较好的控制效果。此外，阻尼器的附加质量比越小，PIS的轻质化优势越大；而随着阻尼器附加质量比的增大，附加质量比中质量的减少量进一步增大（表3第5列数据），也就是说在附加大质量比情况下PTMD的轻质化更加有效可观。

表3 El Centro波激励下PIS和PTMD达到相近减震效果时附加质量对比Table 3 Comparison of additional mass of PTMD and PIS under excitation by the El Centro earthquake with the same control performance

4 结论

文中提出的双调谐颗粒惯容系统，能进一步增强颗粒调谐质量阻尼器震动控制性能，具有轻质化特点。主要结论如下：

（1）基于简谐激励分析典型的惯容系统C2的动力响应特性，发现惯容系统C2能够实现质量放大及阻尼放大的效果，具有较好的减震控制性能。

（2）双调谐颗粒惯容系统较调谐质量阻尼器具有更好的减震控制效果，Northridge波作用下，PIS与PTMD相比峰值位移响应减震率提高了27.86%，峰值加速度响应减震率提高了26.57%。其主要是由于惯容具有良好的能量储存能力，可将能量传递到PTMD，进一步激发颗粒与腔体之间的碰撞，产生更多的非线性耗能，提高其耗能效率。

（3）双调谐颗粒惯容系统能够减小阻尼器腔体位移，在El Centro波地震激励作用下PIS相对于PTMD的阻尼器行程可减少57.21%，这是由于惯容系统会出力以限制腔体的位移，在实际应用中可以降低阻尼器对主体结构空间预留的需求。

（4）双调谐颗粒惯容系统具有轻质化特点，以输入El Centro波为例，当阻尼器在达到同样的减震效果时所需要的附加质量更小，且阻尼器的附加质量比越小，PIS的轻质化优势越大。