立足新课程，寻求通法求解的高三课堂有效教学方法——以解三角形中最值范围问题为例

吴依妹

（福建省闽侯县第一中学，福建 闽侯）

高三复习课与高一、高二一样，每节课必须以新课程目标为依据，结合自己任教学生的实际情况，制定切实有效的具体课程目标和课堂教学目标。复习什么、怎么复习、要达到怎样的复习效果，是每个高三教师要思考的三大问题。以高三复习中的解三角形最值范围问题为例，其是在复习了正弦定理、余弦定理应用，三角函数和基本不等式知识的基础上对学生系统综合应用的复习内容，难度大，题目深，是高考常考的解答题或者填空题，课堂教学目标是让学生学会应用正余弦定理解决实际的三角形中最值和范围问题的通解通法。教师必须有自己的教学设计思路，通过有效问题层层递进，构建学生为主体、教师为主导的高效复习课堂，加强学生的数学核心素养培养，注重思想方法的形成过程。解题应该追求“通法”，通法才具有普遍性、指导性，符合学生的认知规律。以下从课堂的五个环节谈谈一节课如何设计让学生分层次地达到有效探究、有效复习并会内化应用的目的。

一、创设数学情境，让学生感知数学求解的背景

在数学课堂上，问题情境的设置是重要的前提、基础。数学问题情境是学生产生解决问题的动机。创设问题情境几乎成了教师每节课的常规环节。心理学和教育学知识告诉我们，问题情境要有多重刺激模式，可以在数学课堂一开始就触动到学生的大脑神经，让学生动起来，思维也开始运转。问题情境如汤之于盐，盐可单独吃，但不能多吃，放之于汤方能彰显美味与活力。这节课一开始我们可以设置这样两个问题：

问题1在△ABC中，已知c=4，求a的值.

解决这个问题对学生来说并不困难，只要进行化简，由正切值求出∠A，进而通过三角形的余弦定理就能快速解决问题。

但是如果继续引出下面的问题2呢，学生开始发现条件变少了，所求的边就不是定值了，而变成了范围问题。教师可以在解题过程中引导学生动手画图，实践操作，感知数学的变化特征，初步对所求的边的变化形成一定的认识。这是解决数学问题的一般惯性思维，从条件出发，正面思考，有效解决。

问题2在△ABC中，已知求a的取值范围.

教师抛出问题后让学生思考，要想解决这两个问题，先回顾一下求解三角形的基本方法是什么。学生回顾高中所学的解三角形中“知三求三”（已知三边、已知两边一角、已知两角一边），改变了条件——只有两个条件，思考：条件不够怎么办？该怎么解决这类已知一边和一角的范围问题，让学生学会思考如何用学过的知识与方法。

二、进行数学探究，抽象求解特征

数学解题过程是基础性与思想性的综合过程，既要整体研究，又要观察入微。教师先动态演示边的变化情况，让学生感知数学求解的背景，看到边的变化过程，进一步思考解决这类问题的方法。师生互动探究，结合所学正弦定理或者余弦定理都可以求解。

解析：（方法1）设∠B=θ，则

即

所以，a∈（2，+∞）.

又c＞0，得a2＞4，

故a＞2.

教师引导学生从两个角度构造边的函数，一种通过正弦定理化为关于边的函数，一种利用余弦函数化为关于角的函数，最后利用函数思想，通过函数范围求出边的范围。在这个过程中，学生学会了数学探究过程与抽象出数学求解特征并对比二者的不同点和共同点。学生做到这点不仅掌握数学基础知识与思想方法、解题经验，还在心理上超越了自我。

三、体会数学感悟，概括求解要义

在有求解特征的引领之下，教师继续追问一道高考真题，引起学生的兴趣。学生小组进行深入讨论。

问题3（2020年高考全国卷二理数17）

在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A.

（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.

对于第1小题，问题解决相对容易，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理就可计算出来。解析：（1）因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，由正弦定理可得，a2-b2-c2=bc，即b2+c2-a2=-bc，

由0＜A＜π可得

第2小题已知一角及对边的情况，如何求出周长最值是难点。

（2）法一：设B=θ，则

通过前面的抽象特征结合此题，方法一还是选择正弦定理引入角做变量再结合所学的辅助角公式化简变构造函数，由函数自变量范围求出最值。

有b2+c2+bc=9，即（b+c）2-bc=9，

即bc=（b+c）2-9，

第二种方法是运用余弦定理引入边做变量，化简变形，结合均值不等式求出最值。学生体会到数学知识方法的综合应用，并能够在教师引导下概括最值问题的两种通解通法，得到一般性求解这类问题的方法要义，达到课堂通法通解学习的有效教学，这彻底颠覆传统“满堂灌”的教学模式，实现了课堂教学的优质与高效。

四、学会数学内化，辨析求解内涵

问题4（2011年高考新课标Ⅰ卷理科16）在

则AB+2BC的最大值为

解析：（方法1）设A=θ，则

所以，

根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，

即，x2+y2-xy=3，即求x+2y的最大值.

令t=x+2y，则x=t-2y，代入3=x2+y2-xy

得7y2-5ty+（t2-3)=0，

则由Δ=25t2-28（t-3）2≥0得

又t＞0，则AB+2BC=2x+y=t的最大值为

为达到进一步内化与辨析求解的目的，这时候教师继续追问问题4，比较问题4与前面的问题3有什么区别和联系，是引入边做变量还是角做变量呢？

教师结合解题过程，引导学生思考引入哪种变量更好，让学生自己不但掌握求解的通法通解，还学会自己选择，充分以学生为课堂主人，树立数学抽象建模过程，学会运算求解化归，结合函数特征解决问题，达到提升学科素养、立德树人的目标。

五、拓展数学应用，深化求解理解

为了拓展数学知识的应用，深化数学理解过程，提升本节课内涵，促进学生对数学解三角形最值问题的更深层次的理解，教师循序渐进，设置难度更大一点的问题：由三角形中一边和另两边的长度比例关系，如何求面积的最值？

以下前两种方法，紧扣前面概括的通法通解，立足通法通解，引领学生在完成解题过程中突破自我，提升数学运算能力，也同时提升课堂有效教学水平。

解析：（方法1）设BC=m，则

根据余弦定理可得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosθ，

整节课中，教师从引入变量通过代数几何结合，将代数转化为关于角或者边的函数结合基本不等式研究，达到对本节课解三角形范围最值问题的通法通解的概括，使学生对这类问题的通法通解印象深刻，数学思维与方法得到有效巩固和提升。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》与人教版高中新教材，都聚焦落实“数学核心素养”，落实“立德树人”，落实“服务选才”，引导数学教师更好地对课堂进行深度教学，体现了数学的基础性、综合性、创新性和应用性。利用几何知识对代数问题进行求解，利用代数知识对几何问题进行求解，使学生体会代数几何化和几何代数化的解题思想，有利于学生数学思维的提升，同时能助力学生掌握高中必备知识，提升数学关键能力，提高学科素养，树立正确的核心价值观。