问题与征解

问题

(i)证明：PA(m)是以m为变量的多项式；

(ii)证明：PA(m)的阶数degPA(m)是A的相似不变量；

(iii)计算degPA(m)，用A的若当块的阶数表示.

问题22(供题者:吉林大学 周鸣君) 设n≥2，Ω∈n是有界区域，

p(x)=xTAx+bTx+c，

其中，A=(aij)是n×n阶实矩阵，x和b是n维列向量，c是常数.若a11a22

解答

问题11(供题者: 复旦大学 严金海) 设f为上的非线性连续函数, 称x0∈为f的严格凹支撑点, 若存在k∈,使得f(x)>f(x0)+k(x-x0), ∀x∈{x0}.类似地, 称x0∈为f的严格凸支撑点, 若存在k∈,使得f(x)

解本解答由张神星(合肥工业大学副研究员,E-mail: zhangshenxing@hfut.edu.cn)提供.

(i)当k1

(ii)当k1>k2时,f必有严格凸支撑点, 无严格凹支撑点；

(iii)当k1=k2时, 各种情形都有可能.

不难看出,x0是f的严格凹支撑点当且仅当存在k使得

f(x)-kx>f(x0)-kx0,∀x≠x0.

换言之,x0是函数gk(x)=f(x)-kx的唯一最小值点.凸的情形类似.

(i)设k1

由于gk是连续函数, 因此它存在最小值.

我们断言, 存在k1

于是k′(dk-c)f(dk)-f(c)k(dk-c),故cdk.因此ck

(ii)此时-f满足(i)中的条件, 从而易证.

(iii)由(i)最后一段论述可知若f有严格凹或凸支撑点, 则对应的k只能是k1=k2.由此不难得出:

f1(x)=k1x+arctanx, 无严格凹和凸支撑点.

供题者点评解答正确, 其将单调性与可列性结合得到唯一性的方法非常巧妙.