全国大学生数学竞赛几何题的极值方法及其引申

杨传富， 张忠鼎

(1.南京理工大学 数学系,南京 210094； 2.南京农业大学 人工智能学院,南京 210031)

1 引 言

2021年第十一届全国决赛(数学类高年级组)全国大学生数学竞赛决赛试题第二大题如下：

题A考虑单叶双曲面S∶x2-y2+z2=1.(i)证明：S上同一族直母线中任意两条不同的直母线是异面直线；(ii)设S上同一族直母线中的两条直母线分别经过M1(1,1,1)与M2(2,2,1)两点，求这两条直母线的公垂线方程以及这两条直母线之间的距离.

这是一道空间几何问题，运用向量等知识可以给出该问题求解[1].而本文欲从微分学中极值观点将两直线(曲线)间距离视为两直线(曲线)上任意两点距离的最小值来给出本题解法.

2 题A的极值方法

问题等价于求直母线

(λ1μ2≠λ2μ1)的距离，进而判断其是异面直线等问题.

由S上同一族直母线中的两条直母线分别经过M1(1,1,1)与M2(2,2,1)两点，可知这两条直母线方程分别为

即

其参数方程分别为

L1,1∶x1=1,y1=t+1,z1=t+1,L1,2∶x2=3s+2，y2=5s+2，z2=4s+1.

令P1(x1,y1,z1)∈L1,1与P2(x2,y2,z2)∈L1,2距离为d(s,t)，则

d2(s,t)=(3s+1)2+(5s-t+1)2+(4s-t)2(s,t∈).

下面求二元函数d(s,t)(s,t∈)的最小值.由

3 极值与空间两直线位置关系

事实上，对空间两条直线Γ1与Γ2，用多元函数极值法求得Γ1与Γ2上任意两点距离d(s,t)获取极值的驻点个数N及极值d.针对(N,d)就可以判断Γ1与Γ2的位置关系见图1.

图1 (N,d)与线-线位置关系

例1判断下列两直线位置关系：

解(i)L1上点P1(s,s,s)与L2上点P2(1+t,1+t,t)的距离d(s,t)：

d2(s,t)=2(1+t-s)2+(t-s)2.

由

同样求得(ii)中问题唯一驻点s0=t0=0, 此时最小距离d(s,t)|(s0,t0)=0.由图1知L1与L2相交.(iii)中问题无穷个驻点:t0-s0=-2, 此时最小距离d(s,t)|(s0,t0)=0, 由图1知L1与L2重合.

解L1上点P1(-1+s,s,1+2s)与L2上点P2(t,-1+3t,2+4t)的距离d(s,t)：

d2(s,t)=(-1+s-t)2+(1+s-3t)2+(-1+2s-4t)2(s,t∈).

由

解L1上点P1(t,t,0)与L2上点P2(2+4s,1-2s,3-s)的距离d(s,t)：

d2(s,t)=(2+4s-t)2+(1-2s-t)2+(3-s)2.

解问题(i)的求解.L上点P1(t,t,t)与L′上点P2(s,as,b+s)的距离d(s,t)：

d2(s,t)=(t-s)2+(t-as)2+(t-b-s)2.

由

得

例5(第六届中国大学生数学竞赛数学类预赛试题) 已知空间两条直线

(i)证明L1和L2异面；(ii)求L1和L2的公垂线的标准方程；(iii)求连接L1上任一点和L2上任一点线段中点轨迹的一般方程.

解问题(i)与(ii)的求解.L1上点P1(4+s,3-2s,8+s)与L2上点P2(-1+7t,-1-6t,-1+t)的距离d(s,t)：

d2(s,t)=(5+s-7t)2+(4-2s+6t)2+(9+s-t)2.

4 引申: 极值与直线-平面，平面-平面位置关系等

可以运用上面用极值法讨论空间直线-直线位置关系的思想分析直线-平面及平面-平面的位置关系.

空间直线Γ：x=x1(t),y=y1(t),z=z1(t)，平面π：x=x2(u),y=y2(v),z=z2(u,v).Γ上点P1(x1(t),y1(t),z1(t))与平面π上点P2(x2(u),y2(v),z2(u,v))的距离

d(t,u,v)∶=|P1P2|.

运用极值法求得函数取得极值的驻点个数N及极值d.由(N,d)就可判断Γ与平面π位置关系如下:

图2 (N,d)与线-面位置关系

同样面-面位置关系如下(mes.N表示驻点集在2中测度)

图3 (mes.N,d)与面-面位置关系

5 结 论

微分学中最(极)值问题在几何、物理及实际问题中具有重要应用，本文利用函数极值方法解决几何中一些距离及位置关系等问题.几何问题中曲线-曲面间的距离实际上是其上两点间距离的最(极)小值，因此曲线-曲面间距离的值及相关量某种程度上反映了曲线-曲面间的位置关系.本文通过对具体几何问题适当简化、建模，再抽象出一个数学极值问题，最后运用数学方法加以解决[2].本文运用极值思想给出一类几何题的统一方法，并将此方法推广到空间线-面位置关系等判断中,表明极值法求解几何问题的灵活性、广泛性及统一性.

致谢作者非常感谢审稿专家提出的宝贵意见.