利用Tracker软件研究牛顿摆的运动*

钟荧杏 肖桂娜

(上海师范大学数理学院 上海 200234)

在物理教学中，牛顿摆经常用来演示动量守恒．在理想情况下，金属球之间的碰撞为弹性碰撞，且由于小球质量相等会发生速度交换．但是现实中由于空气阻力与小球间的相互作用带来的能量损耗，我们可以观察到随着碰撞次数的增加，小球摆出的高度越来越低直至停止．

本实验通过描绘出小球运动的轨迹，进一步定量测出小球运动过程中的位移、动量随时间变化的图像，从而得到牛顿摆的运动特点并分析其动量衰减过程以供物理教学参考．

1 理论分析

1.1 连续碰撞模型

连续碰撞模型认为牛顿摆中相邻小球会发生两体碰撞，且由于剩下的小球相互独立因此不会受碰撞影响，能量与动量能够在球链间发生有效传递．在此条件下假设质量为m1的小球碰撞质量为m2的小球，由碰撞瞬间动量与能量守恒可得

(1)

(2)

由

m1=m2

则可得碰撞后

即两个小球碰撞之后会发生速度交换．应用到连续碰撞的牛顿摆系统可得末端小球将会以初始摆出小球首次碰撞前的速度而摆出，而其他小球将处于静止状态．在此模型下小球停下是由于空气阻力的作用，小球间的碰撞没有能量与动量损失．

1.2 “弹簧-质点”碰撞模型

在实际中牛顿摆各个小球紧密相连，第一个小球落下会与其他小球发生作用．因此，连续碰撞模型并不符合实际，更为科学的是“弹簧-质点”模型[1]．如图1所示，小球间的弹簧可以等效为小球在碰撞过程中发生的形变，碰撞过程中的能量转换包括小球的动能和弹簧的弹性势能．

图1 “弹簧-质点”模型

将牛顿摆简化为一系列大小相同、质量相等，于光滑水平面紧密排列的n球球链．对于此系统一次碰撞中的相邻两个小球其相互作用模型可表示为图2所示．

图2 相邻小球相互作用模型

其中ξ为小球间弹性作用力的相对位置变化量，将其定义为[2]

ξn+1=2R-(xn+1-xn)=2R-xn+1+xn

(3)

小球间弹性作用力满足Hertz弹性定律

F=0 (ξ<0)

(4)

F=κξα(ξ≥0)

(5)

(6)

2 利用Tracker软件研究牛顿摆的运动

2.1 Tracker软件介绍

Tracker软件是一个建模工具与视频跟踪分析软件，可用于做实验时自动或者手动跟踪物体的运动轨迹，并可以得出位移、动量等物理量随时间的变化关系，实现了方便快捷地对物理现象进行探究．Tracker将是未来物理教学的新工具，它转变了传统物理实验只能观察现象的弊端而提供了定量分析的功能，让研究更加的准确、科学．

2.2 实验步骤与数据获取

(1)为软件方便追踪，将牛顿摆放置于纯色背景外，标记好待研究小球，如图3所示．

图3 牛顿摆装置图

(2)本实验使用的牛顿摆为7球牛顿摆，拍摄装备为智能手机与手机三脚架．调整手机高度与拍摄角度，尽量竖直齐平拍摄，不使视频产生视角误差．

(3)拨动小球开始拍摄，待小球停止运动完成视频拍摄．

(4)将所拍摄视频拉入Tracker软件视窗中．选择起始帧与结束帧，添加质点小球并建立坐标轴，将坐标原点置于待研究小球，横轴与小球排列方向重合并将正方向定为向右．以实际测量尺寸数据为定标尺进行长度定标，固定并隐藏坐标轴与定标尺．Tracker软件界面如图4所示．

图4 Tracker软件界面图

(5)在图形视图中横坐标设置为时间，纵坐标分别设置为小球x轴方向位移、动量．

(6)按住Shift+Ctrl键点击标记点完成第一帧画面坐标定位．调整搜索方框大小，点击搜索，Tracker软件会自动追踪研究小球中标记点的位置并得到相关数据与图线．

本实验拉起右端小球使牛顿摆开始运动，左端小球随后摆出[4]．以下分析中球A为右端小球，球B为左端小球．

2.3 运动周期研究

将球A作为研究对象，由Tracker软件追踪小球运动轨迹，如图5所示．

图5 球A在x轴方向位移随时间变化图线

2.4 运动轨迹研究

截取小球A在x轴方向位移随时间变化图线中8个周期并分析牛顿摆运动轨迹，如图6所示．

图6 x轴方向位移随时间变化图线

由图6知小球摆出的最大位移随时间而减小，可以说明小球运动过程中有能量损失．每个周期前半段的类简谐图像为小球摆出的位移图线，后半段为小球摆出回归后的位移图线．后半段图线可以说明小球摆出回归并碰撞后并不是完全静止而是与中间的“不活跃”小球一起运动，同时也可知中间的“不活跃”小球在牛顿摆运动过程中并不是完全静止，也获得了少许的动能．

为对比左右两端小球运动轨迹，截取小球A与小球B在x轴方向位移随时间变化图线中起始帧与结束帧相同的两段图线，对齐图像时间轴并让图线中碰撞点移到同一高度后得图7．

图7 两端小球x轴方向位移图线重合图

图线中两个小球相互碰撞时的数据点能基本重合，表示小球间碰撞时间极短．且两个小球摆出部分曲线能组成一个完整的类简谐曲线，左右端小球的运动可类比于同摆长的单摆运动的两部分．

上下镜像处理左端小球图线，并将小球B图线向右水平移动使其时间轴后于小球A半个周期，如图8所示．

图8 两端小球x轴方向位移图线镜像重合图

图8中图线基本重合说明左右两端小球运动轨迹对称．且小球B图线的最高点高于小球A，由此也可知运动过程中有能量损失．

2.5 动量研究

由Tracker软件获得小球A动量随运动时间的变化图线，如图9所示．

由图9得出小球的动量随时间而减小，牛顿摆运动过程中有动量损失，其动量并不守恒．

图9 小球A动量随时间的变化图线

截取小球A与小球B在x轴方向动量随时间变化图线中起始帧与结束帧相同的两段图线，并向右水平移动小球B图线使其时间轴后于小球A半个周期，所得图线如图10所示．

由图10可知同一周期中两个小球的动量变化趋势基本一致．小球B动量变化图线的最高点高于小球A，可知小球间的碰撞有动量损失．

图10 两端小球动量图线重合图

为更好地比较对称两端小球动量变化，截取几个相邻的周期中球A与球B同一x轴位移处的动量，从Tracker软件分析图线中得出，得到表1与表2所示数据.

表1 球A对称点动量与时间

表2 球B对称点动量与时间

由表1和表2绘制动量随时间变化图线如图11所示．

图11 两端小球对称位置动量随时间变化图线

由图11可知小球摆出后几乎没有动量损失，牛顿摆运动过程中主要动量损失来自于小球间的碰撞过程，而小球摆出过程中的动量损失较小．

3 结论与建议

本文用Tracker软件描绘出牛顿摆中小球的运动轨迹，并由此分析比较两端小球的位移变化图线得出牛顿摆运动的轨迹特点．同时分析动量变化图线得出牛顿摆的动量衰减过程特点．通过本实验能够科学、定量地研究牛顿摆的运动过程，而且利用手机拍摄视频后用电脑自动追踪分析的过程简单快捷，可用于物理教学中研究牛顿摆的运动，由此可见本实验具有一定的科学性与价值性．