融入数学文化 探究概念源头——以《对数的概念》一课教学为例

王 雯

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》关于对数的学习，提出了如下要求：一是理解对数的概念和运算性质，知道运用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；二是收集、阅读对数概念的形成和发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。并在第二个要求的语句上标示了“*”号，可见，数学课程标准十分重视对数相关数学史的教学。

虽然学生在学习“对数”前已经有了学习指数以及指数函数的探究经验，但“对数”作为一个全新的符号化数学概念，具有高度的抽象性，学生还是会有很多的疑问：为什么我们要学习对数？为什么对数的符号是这样的？为什么它会有这样的运算……，许多学生对一些数学概念的困惑与历史上一些数学家曾经的困惑是相似的，所以在学校教学研讨活动中，笔者融入了数学文化，以《对数的概念》为例展示了对数概念生成的过程，受到了评课教师的一致好评。

一、教学片断与分析

（一）片断一

师：我们知道，光年是天文学的基本单位，那一光年到底有多远？我们只需要知道光在真空中的速 度：299792.468 km/s和 一 年（以365天 计）的秒数：31536000 s，所以一光年等于299792.468×31536000（km），具体是多少呢？（一分钟过去了，大部分学生没有算出来，部分学生觉得数字太大）

师：在16、17世纪，计算器还没有出现的年代，天文学蓬勃发展，尤其是“日心说”开始盛行时，研究行星轨迹需要面对大量大数的乘除开方，繁琐的计算让天文学家们苦不堪言，他们迫切需要简化运算的方法。这时候数学家给出了一些对应表（见下表）。

?

师：请大家根据上面的这张对应表计算：8192×16384 = ?

生：8192 = 213，16384 = 214，所以8192×16384 =213×214= 227= 134217728

师：非常好，利用上面这张对应表我们可以把大数之间的乘法运算转化成指数间的加法运算。

师：能否根据上面这张对应表解决下面这个问题：有一种纸，它的厚度是1毫米，对折1次后厚度为2毫米，对折2次后为4毫米，对折3次后为8毫米……，对折多少次可以达到珠穆朗玛峰的高度（约8848米）？

生：表格上的数据让我联想到y= 2n这种对应关系，根据223＜ 8848000 ＜ 224可知，需要折叠24次才能达到珠穆朗玛峰的高度。

师：非常好，那么一光年等于299792.468×31536000（km），你能根据上面的表格给出精确结果吗？为什么？

生：不能，因为找不到229792.468与31536000所对应的x。

师：所以上面的对应表并不能解决所有大数之间的乘法问题，那用上面的方法你觉得可以解决这个问题吗？

生：可以，设229792.468 = 2x1，31536000 = 2x2，那么229792×31536000 = 2x1+x2，只要找到x1+x2对应的值就可以了。

设计意图：对数符号作为一个新的符号出现，如果直接以结果的方式呈现，学生在接下来的学习中可能就会处于被动状态，认为这个是需要学习的内容之一，至于为什么学习以及学习它有什么用都知之甚少，所以可以在教学中融入数学文化，除了开阔学生的视野，激发学生的探究欲望，还可以让学生简要经历数学规律发现的过程，在数学抽象中体会前辈们的数学思维过程，进而感受到“对数”出现的必要性，也为后面单元教学对数的运算奠定了一定的基础。

（二）片断二：

师：设229792.468 = 2x1，31536000 = 2x2，x1，x2到底是多少呢？

生：引进一个符号表示就可以了。

师：你很厉害，苏格兰数学家约翰·纳皮尔也是这样想的，它发现这个数与“比”和“数”有关，所以它选取了希腊文logos（比）和arithrmos（数）组成了logarithm这个单词，由此“对数”的概念产生了，后来数学家为了简便，又把符号简写为“log”。

师：回到刚刚的问题，如果2x1= 229792.468，你觉得x1= ?

生：x1= log229792.468

师：那你觉得是否一定要以2作为底数？

生：不一定，3也可以。

师：很好，那如果是3x1= 229792.468，你觉得x1= ?

生：x1= log229792.468（有学生窃窃私语，觉得有点不太对劲）。

设计意图：虽然有了“log”这个符号，但为什么需要底数？学生通过特例及以前所学的知识，在“出现问题—解决问题—出现问题—解决问题”中不断获得新知，不仅使知识的获得更加自然，也提高了学生辨析问题的能力。

（三）片断三

师：你能写出几个具体的对数吗？

师：大家来观察一下log21，log31，log51，这几个对数具有什么特点？

生：它们的真数都为1，当a＞o且a≠1时，因为a0= 1，所以loga1 = 0

师：“0”这个数字挺特别的，那还有没有比较特别的数字？

生1：我选择了“1”，我发现，当a＞o且a≠1时，因为a1=a，所以logaa= 1

生2：我选择了“2”，我发现，当a＞o且a≠1时，因为a2=a2，所以logaa2= 2

生3：总结两位同学的对数形式，我发现，当a＞o且a≠1时，logaab=b

师：非常棒，这位同学竟然发现了我们后面所要学习的“对数恒等式”，那继续看刚刚同学们举的例子，你还有什么发现吗？

师：很好，利用刚刚的对数恒等式我们计算出了这个对数的具体值，那对于这个对数呢？

设计意图：通过学生举例，教师适当引导，让学生自己发现对数中一些特别的数及对数恒等式，不仅增强了他们学习对数的兴趣，深入理解对数概念，而且有效地培养了他们自主学习、自主探究的能力。

二、教学反思

体现“知识之谐”。由于许多学生对一些数学概念的困惑与历史上一些数学家曾经的困惑都是相似的，所以可以在教学中直接引用数学史，从分析数学史中对数出现的原因、对数符号的选定以及运用对数所能解决的问题出发，这样的教学设计既符合学生的认知发展规律，也体现了数学学习中的“知识之谐”。

体会“方法之美”。数学教学的最终目标是培养学生的数学核心素养，这些素养既具有相对独立性，又构成了一个有机整体，师生必须借助具体的知识来实现目标。教师更多的是要从学生熟知事物的角度出发，贴近学生的最近发展区，在“出现问题—解决问题—出现问题—解决问题”的不断循环和螺旋式上升中解决问题，进而深化对问题本质的理解，以养成数学素养，让学生感受到数学教学的“方法之美”。

体验“探究之乐”。数学探究是一种重要的教与学的方式，有助于学生了解数学概念和结论的产生过程，本节课鼓励学生自己举例，让学生体验“做数学”“发现数学”的过程不仅培养了学生的质疑与反思的习惯，还提高了他们看待数学问题、了解其本质的能力，让学生体会“探究之乐”对于培养他们自主学习、自主探究的能力都起到了很好的作用。

本节课的概念教学，站在HPM的视角下，通过历史故事激发学生的学习动机，在整个教学过程中，学生的参与度高、兴趣浓厚，这正是数学教学应有的效果。