指向问题解决能力的数学学习活动框架及实践策略

王 薇， 张 静

(1.北京教育科学研究院， 北京 100049；2.北京市一零一中学石油分校， 北京 100049)

在数学教育中，问题解决能力是指“能解决带有实际意义的和有关学科中的数学问题以及解决生产和日常生活中的实际问题的能力”[1]，是数学能力的重要组成。基于活动理论的核心思想，提出促进数学问题解决能力的学习活动框架及实施策略，旨在更好地培养学生的数学问题解决能力。

一、数学问题解决能力的基本要求

(一)问题解决能力的含义分析

我国2011年数学课程标准的总目标提出，通过数学学习学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[2]。在总目标的具体阐述中提出，学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；初步形成评价与反思的意识。

问题解决能力与应用意识密切关联。应用意识的内涵有两方面：一是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；二是认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

(二)问题解决能力的目标要求

我国对义务教育阶段学生数学问题解决能力的发展目标，从发现和提出问题、分析和解决实际问题、体验方法的多样性、分析问题和解决问题的方法、检验解决过程、评价与反思、数学与其他学科和生活的联系、数学概念和数学知识等方面提出要求，其中“发现和提出问题”要求“初步学会”，“分析和解决实际问题”要求“综合运用”，“解决问题方法的多样性”要求“经历体验”，“分析问题和解决问题的方法”要求“掌握”，“评价与反思”要求“形成意识”，“数学与其他学科和生活的关联”要求“体会联系”等。

二、指向问题解决能力发展的数学学习活动内涵及功能

(一)指向问题解决能力的数学学习活动内涵

由维果茨基、列昂捷夫提出并发展的活动理论认为，活动在知识技能内化过程中起到桥梁性作用。活动系统中包含三个核心要素和三个次要要素，分别是主体、客体、共同体，工具、规则、分工[3]。在活动理论视角下，“活动”具有四个基本特征：活动总是由主体实现的；活动是主体与客体的交互作用；活动总是创造性的；活动是独立的[4]。

活动理论为教学设计分析学习过程和结果提供了新的视角。它关注的不是知识状态，而是学生参与的活动、学生在活动中使用的工具、活动中合作学习者的社会关系和情境化的关系、活动的目的和意图以及活动的客体或结果[5]。基于活动理论的基本思想，指向问题解决能力的学习活动的内涵，是指将抽象的数学知识向真实世界和真实问题的任务转化，使课堂教学成为以解决任务为中心的活动，学生通过操作、游戏、汇报、表演等方式参与任务探究，从而获得知识，发展问题解决能力。

(二)指向问题解决能力的数学学习活动原则

在内涵界定和基本框架下，提出促进数学问题解决能力发展的学习活动的实施原则：第一，把握知识本质。数学知识是基础，问题解决能力的培养需要引导学生感悟知识的本质，体会知识的联系。第二，创设问题情境。问题情境是载体，问题解决能力的发展需要建立在学生对现实世界的思考和经验积累之上，要在与学生现实生活相关的情境中获取知识。第三，建立共同体。合作性“学习活动”可以为每个成员提供良好的知识资源，学习共同体使每个成员能够从中获得更多的知识[6]。共同体的建立不仅要依据每个学生的学业基础，而且要依据他们的思维类型和认知倾向。关注共同体参与者的不同观点，使其充分表达与对话。第四，关注学生学习过程。活动过程是关键，问题解决能力的对象是学生，教师不必过分关注自己的讲课技巧，而应更多关注学生的思考、探究、交流等学习过程。活动进程的动态性使得课堂上经常出现预期外的新问题和新观点，对学生知识和能力的形成具有重要价值，教师需要及时捕捉、正确评价并加以利用[7]。

(三)指向数学问题解决能力发展的学习活动功能

1.增加了将数学应用于数学以外的情境中的机会

促进数学问题解决能力发展的学习活动模式，提倡以活动为载体开展课堂教学，活动不仅融合了数学内部相互联系的诸多知识，而且涉及数学以外的其他知识，帮助学生认识到数学既可以与其他学科建立联系，如数学与自然科学、社会科学、医学、金融和商业之间的联系，也可以与日常生活建立联系，让学生有足够的机会体验在一个特殊情境中数学是怎样发挥作用的，增强学生对数学应用价值的体会。比如教师可以设计一个天气方面的科学活动，让学生在测量数据、观察数据、分析数据、交流数据的活动中，体会运用数学知识解决实际问题的过程，掌握运用数据的方法和思路。

2.帮助学生建立起严密的问题分析框架

促进数学问题解决能力发展的学习活动模式，要求教师每节课都要设计具有情境的数学学习活动，有助于培养学生运用数学的思路分析实际情况的能力[8]。学生不仅能够建立起一套抽象的解决问题的路径，而且能够学会在众多复杂方法之中选择简单的解决问题的方法。在解决情境化的学习任务过程中，学生需要系统地考虑各种方法的可能性，通过记录、比较和筛选，确定最优的解决方案。同时，与传统课堂上设计的问题情境不同，促进数学问题解决能力发展的学习活动任务具有很强的开放性和复杂性，与现实生活中的实际问题非常相近。为了解决这些任务，学生就需要对复杂的情境不断抽象，运用数学语言进行表征，进而建立起严密的问题分析框架，学会分析问题和解决问题的思路。

3.促进学生形成自我反思和自我评价的意识

促进数学问题解决能力发展的学习活动模式中，反思是一个重要的教学策略。通常在一节课的课中或下课前，教师会带领学生做反思，反思的一个重要目的就是帮助学生实现自我监控和自主学习。比如在反思中教师会引导学生提出以下若干问题：“在开始之前，我已经确认我理解这个问题吗？”“我有哪些方法可以选择？”“我有进步吗？”“我有计划吗？”“为什么我采用的方法是可行的和正确的？”类似的这些问题能够帮助学生养成对问题理解和反思的习惯，促进学生元认知的发展。

三、促进数学问题解决能力的学习活动实践策略

(一)1～3年级以游戏化、体验式为主

1.设计游戏化的学习活动

小学低年级的学生，由于年龄特点的限制，游戏仍然是他们最为感兴趣的活动形式。教师在设计学习活动时，可针对低年级学生的年龄特点和思维特征，设计学生喜欢的游戏，将抽象复杂的知识融入生动活泼的游戏当中，让学生边“玩”边学。游戏的作用，在于激发、唤醒学生对于学习的热情和动力，让学生在游戏中理解知识、运用知识。通过游戏的参与，学生课堂学习的积极性明显提高，对知识的理解力得到提升，学习获得感增强，从而真正实现“友善”地学习。比如，在“混合运算”的教学中，教师可设计“跳蚤市场”的游戏：让学生准备一些旧书或旧玩具作为商品，用彩纸代替货币，一部分学生扮演售货员，一部分学生扮演购物者。通过购物游戏，学生加深了对混合运算法则的理解，同时培养学生运用数学知识发现问题和解决问题的能力，帮助学生体会到学习数学的价值。再如，在“数的比较”的教学中，教师可设计师生比猜的游戏：先让学生写一个两位数，教师写一个三位数，进行比较。再让学生写一个三位数，教师写一个四位数，进行比较。然后学生之间可以自行写出不同的数，再进行比较。在学生与教师和同学充分的互动中，不仅提高了学生的学习兴趣，而且能够帮助学生探索出不同位数的两个数以及相同位数的两个数的大小关系，总结出数的比较规律，从而完成教学目标，真正做到自主学习。

2.借助具体形象直观感知

根据皮亚杰的认知发展理论，小学1～3年级的学生主要处于具体运算阶段，形式运算能力还没有发展起来，形象思维占主导，抽象思维较弱。因此，低年级小学生的数学学习应更多地采用具体化、形象化的方式，将抽象的东西直观化，帮助学生借助实物来观察、分析和思考，先初步形成感性认识，然后进一步延伸和抽象，获得理性认识。这种方式不仅能够调动学生的学习积极性，而且有助于降低学习的难度，便于学生更好地接受抽象的数学知识。实物的选择一般选取学生熟悉的物品、图形或数据，鼓励学生从实际出发，获得直观感知，进而逐步联结到形式化的数学知识。比如，在“厘米认识”的教学中，教师可先让学生观察图钉的长度、手指的宽度，初步认识1厘米的实际长度，然后说一说生活中的哪些物体的长度大约是1厘米。再如，在“角的认识”的教学中，教师可先引导学生观察实物，了解角的形象，然后再找一找身边的“角”，总结归纳出角的特点。

3.运用数学的“眼光”看待身边的事物

义务教育数学课程的一个重要目标，就是教会学生运用数学的思维方式进行思考，体会数学与生活及其他学科之间的联系，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。义务教育的第一学段是培养学生对数学的好奇心和求知欲最为重要的时期，在这一阶段，教师要引导学生经常运用数学的“眼光”看待身边的事物，指导学生从数量、类别、层次等角度观察事物、思考问题，让学生熟悉数学、亲近数学、了解数学，对数学现象和问题保有一定的好奇心。比如，教师可以经常问学生：这种物品有多少个？可以分成几类？具有什么层级？等等。这些问题不仅能够引起学生的好奇心，而且能够逐渐培养起学生的数学意识和数学思维能力，体会学习数学的价值。

4.设置阶梯式的学习任务

由于小学1～3年级学生的理解能力还较低，在义务教育的第一学段，教师要设法为学生创建易于上手、易于参与、易于理解的学习活动。因此教师在设置学习任务时，需要尽可能提供一种“阶梯式”的问题串，帮助学生从低到高、从易到难地进入问题、思考问题、解决问题。阶梯式的问题设置，能够使不同层次的学生既能获得成功的体验，又能面临一定的挑战，增强学习数学的成就感，锻炼克服困难的意志力，建立学好数学的自信心。除了问题设置外，问题要求也要尽可能体现层次性，即通过阶梯式的步骤要求为学生解决问题搭建脚手架。借助教师提出的阶梯式要求，学生能够一步一步地完成学习任务，体会问题解决的层层剖析、层层深入的过程，帮助学生真正领会数学学习的思维和方法。

(二)4～6年级以情境式、互动式为主

1.将数学眼光转向更为宽阔的生活情境

在义务教育的第二学段，学生已经具备了一定的观察能力，教师可以引导学生将视野从身边的物品转向更为广阔的生活情境，让学生观察社会生活和媒体传播中的信息，思考其中存在哪些数学现象，能够抽象出什么数学问题，可以运用哪些数学方法建立模型等。教师的适当引导不仅能够帮助学生意识到数学的实用性价值，体会数学对自然及社会所产生的作用，而且能够促进他们将所学的知识应用到实际生活中去。这一阶段是帮助学生建立起数学学习价值观的重要阶段，教师应当给学生创造更多的机会，领会数学的思想、方法和意义，让学生感受到数学活动的探索性和创造性，形成对数学学习价值的深刻认同。

2.采用团队合作形式鼓励交流质疑

4～6年级的学生已经具备了一定的主体学习能力，形成了初步的团队合作意识，自我监控能力也与1～3年级相比有了显著提升，在课堂中能够比较好地控制自己的行为，因此在课堂上可以采用团队合作的形式，鼓励学生通过合作发现新知、通过交流获得启发、通过讨论解决问题。建构主义认为，每个人都在以自己的经验为背景建构对事物的理解，认识相对狭窄和有限。而集体讨论和交流，能够让学生看到对同一问题不同的理解、不同的思考和不同的方法，对于培养学生思维的广阔性具有特殊的意义。此外，在团队讨论过程中，学生之间的观点交锋、相互质疑也能够促进学生自我反思和批判性思维能力的提升。

3.引导学生自己总结出结论

4～6年级是小学阶段的关键年龄，是学生从具体思维为主要形式过渡到以抽象逻辑思维为主要形式的一个转折时期。在这一时期，教师要给学生创设充分的对知识进行抽象概括的空间和机会，让学生思考，自己总结出结论。自己总结，就需要学生进行自主思考，要进行分类、分层、归因、整合，这些都是重要的数学能力，也是学生将来社会生活所必需的重要素养。在让学生自己总结结论的同时，教师可以进行适当引导，教给学生总结的思路和方法，比如从哪个角度总结、总结的要点应该包括哪些、总结出的结论应该具备怎样的特点。

4.运用可视化的形式呈现学生思维

小学4～6年级的学生，虽然逻辑思维能力的发展还处在起步阶段，却已具有丰富的想象力和创造力，对于色彩、图像的敏感度很高。在这一阶段，教师可以利用学生对图画的浓厚兴趣，运用思维导图的方式来培养他们的逻辑性和条理性。思维导图的特点在于画面生动、内涵丰富，包含了色彩、线条、图像、符号、文字等多种元素，极大地刺激了学生的学习兴趣点，让学生更喜欢上数学课。思维导图也是一种表达方式，是除了口头表达、书面表达之外的一种非语言的表达方式，是用图画的形式呈现学生的思维。为了画出思维导图，学生就需要主动梳理自己的知识脉络，明确逻辑关系，建立框架体系，自然而然地将被动的学习变为主动，提高了学生学习的主观能动性，提升数学学习效果。

(三)7～9年级以逻辑性、分析性为主

1.教学内容及形式适当加大抽象度

初中阶段是抽象思维发展的质变时期，在初二年级前后，思维的具体形象成分与抽象逻辑成分会呈现出一个明显的对照。尽管促进数学问题解决能力发展的学习活动模式提倡在真实具体的情境中，运用游戏、活动的形式开展数学教学，但在初中阶段，随着学生思维抽象性的提高，在设计教学活动时也不应该过于机械，并不是什么知识都从直观教具出发，也不是所有内容都有现实情境。通常可采用“问题情境—建立模型—解释应用”的思路展开教学，此处的“问题情境”可以是生活的情境，也可以是数学的情境，重点落在建立模型上，即运用抽象化的思维理解和运用数学知识。需要注意的是，加大抽象的同时，仍然要兼顾直观，特别是对于初一年级或抽象思维发展较慢的学生，教师还应适当借助直观形象，帮助学生逐渐形成抽象化概念。

2.自主探究经历数学知识的形成过程

数学学习不仅是数学知识的学习，更主要的是数学思维活动的学习，因此教师不能单纯地教给学生数学结论，而要引导学生经历数学知识的形成过程。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”经历数学知识形成过程的主要方式是引导学生自主探究，而自主探究的有效策略之一即实施多感官教学。课堂上学生通过看、听、说、触摸、操作等多种感官运动，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，获得综合的学习活动体验，从而实现对数学概念、法则、公式、定理等数学结论的深刻理解。

3.借助思维导图构建结构化的知识体系

当学生经历了数学知识的形成过程之后，更进一步就需要把数学知识进行内化。所谓内化，就是将老师教的知识变成学生自己的知识，或者将学生自己经历的直观过程变成具有逻辑性的抽象过程。内化是思维的内化，而思维导图正是实现这一转变的有效方法。在课上或课下，教师都可以引导学生画出自己的思维导图，引导学生学会把看似分散的知识点连成线、结成网，把琐碎的知识系统化、规律化、结构化，从而促进数学学习的记忆、理解和思考。而这一方式，恰恰也为初中阶段学生抽象思维的形成提供了强有力的工具，成为培养数学思维、积累数学活动经验的重要载体，同时为数学知识的迁移和拓展奠定了基础。

4.加强数学在其他学科中的融合与应用

除了引导学生经历数学知识的形成和内化过程外，教师还要注重帮助学生获得数学知识的迁移体验，巩固和拓展基本的数学活动经验。在初中阶段，数学知识迁移的范围随着数学内容的复杂化而逐渐拓展，数学知识不仅仅在生活中常见常用，而且进一步延伸到与数学有关的各个学科，诸如物理、化学、生物、地理、语文等。在学习活动设计时，教师需要有意识地融入数学以外的其他学科的内容，引导学生体会学科之间的联系，认识数学的基础性与应用性。融合方式可多样，可以在情境创设时引入其他学科的内容要素作为数学活动的问题背景，也可以在解决问题时将所得的数学结果指向其他学科作为数学知识的结果应用。

(四)10～12年级以深刻性、创新性为主

1.设置多维度、多层次的问题情境

与初中相比，高中阶段的数学内容知识面加宽，难度加深，抽象度显著提高。在设计学习活动时，仅有生活或其他学科的固定的、单维的教学情境，是不足以与高中知识相匹配的。教师应设置多层次、多维度的问题情境，将一系列看似零碎但实质上具有内在联系的内容融合在一起，让学生在剥离、梳理和组织这些情境要素时，在头脑中形成数学及相关知识的结构体系。同时，问题情境的设置还应注意变化性和开放性，使学生能够经历选择、分析和决策的过程，培养学生数学思维的广阔性和批判性。

2.提出概括数学思想方法的任务

在高中阶段，随着教学内容复杂性的增强，学生在学习过程中需要经历猜想、归纳、推理、证明等过程解决数学问题，因此会接触到函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等多种数学思想方法。在设计学习活动时，除了围绕教学内容本身设计出紧扣数学知识的任务外，还应该增加一个环节，即提出让学生概括数学思想方法的任务。也就是说，高中数学课堂学习活动，在实施前与实施中阶段，大致包括：内容任务+方法任务。在方法任务部分，教师要注重引导学生整理思维过程，分析数学思想方法的来龙去脉，概括解题思想，总结出具有模式化和操作化的数学方法，实现对数学问题的认识、处理和解决，进而实现对数学理论和内容本质的理解。

3.引导学生检验和反思学习过程

随着高中学生年龄的增长，学生的自控能力也在日趋提高，培养学生的检验和反思习惯，是提高高中生数学学习效率、提升学生自我监控与评价能力的有效方法。在完成学习任务之后，教师可以设计一系列对解题过程进行回顾、探讨、分析、评价的活动。即一个完整的高中数学课堂的学习活动大致应包括三个部分：内容任务+方法任务+反思任务。反思任务通常涉及两个层面：一个层面是对已经实施的解题过程及结果进行反思，具体包括让学生对解题结果进行检验、对解题方法进行回顾、对解题思路进行概括等；另一个层面是在更广阔的范围内对相关知识和方法进行反思，具体包括提出问题、尝试不同的解题方法、推广已有命题等。只有经历了对知识本质的不断反思，才能使学生对数学的理解从经验水平上升到理性水平，学生的思维也会从具体上升到抽象。

4.借助文字、符号和图形语言加强数学交流

促进数学问题解决能力发展的学习活动模式，强调学生的主体参与，强调师生之间、生生之间的互动，高中阶段的数学课堂，应成为学生之间交流数学思想的场所。教师应当激发学生的思考，鼓励他们提出疑问，并用恰当的方式表达出来。在数学学科中，所谓恰当的方式，即运用三种数学语言——文字语言、符号语言和图形语言，解读数学概念，理解数学知识，提炼数学方法。数学通过交流才能得以深入和发展，只有借助文字语言、符号语言和图形语言表达出来，学生的数学思维才变得清晰，数学思想才得以流传。在高中数学课堂上，学生可以就所学知识的内在联系、自己的理解过程、他人的解题方法等发表自己的看法。借助文字、符号、图形语言的梳理，学生的思路更加清晰、思维更加深刻、因果更加分明、逻辑更加清楚。▲