“归一问题”教学策略尝试

浙江杭州市余杭区良渚七贤小学（311100） 沈敏

教学“解决问题的策略”前，笔者对三年级学生进行了调研，用题目“叔叔买了3只同样的茶杯花了18元，如果购买8只同样的茶杯，一共要花多少钱？”对学生进行测试。全班40名学生，测试结果如表1所示：

表1

前测反馈的信息显示：16名学生不会列式，大多数学生企图一步到位，其中有8名学生列出的算式是“18×8”，列式为“3×8”的也不少，还有2名学生面对这一问题无所适从。从列式情况可知，学生很难找到隐藏的“一份数”这个过渡条件。在得出答案为48的24名学生中，有的凭直觉列出“8×6”的正确算式，可对数字“6”从何而来说不出个所以然。由此可见，这些学生对归一问题中“一份数”还是有所感觉，但是不够具体鲜明，而归一问题中的“一份数”是解题的枢纽所在。

因此，教师要让学生掌握归一问题的解题策略，必须设法让学生意识到“一份数”这个过渡条件的必要性和重要性。那么如何让学生深切意识到这一点呢？对此，笔者进行了大胆的创新和尝试。

一、在新授中感知“一份数”

要想让学生意识到“一份数”这个量的存在，在解题过程中，教师可以借助图示、解说解题思路等突出“一份量”的重要性。

1.借助图示语言

笔者首先出示例题：妈妈买2双同样的鞋垫，用了12元，如果买5双同样的鞋垫，需要多少钱？在充分审题后，已有学生知道如何解决，但部分学生还是毫无头绪。于是，笔者让解题受阻的学生画出题中的信息和问题，让顺利解题的学生用简图表述自己的思路。学生一旦动手画图，“一份数”的概念就会浮出水面。

笔者展示了实物图、圆圈图和线段图三种自主探究的图式（如图1），让相关学生阐述自己的创作心得和构思立意。

图1

学生通过解读示意图，感受到“要求出买5双同样的鞋垫需要的总价，就必须预先知道1双鞋垫的价钱”这个基本前提。为了让学生更加敏锐地捕捉到“1双鞋垫的价钱”这个“一份数”，笔者提出问题：“买2双同样的鞋垫用了12元，据此画出两条等长的线段。买5双这样的鞋垫需要多少钱该怎么画？”学生异口同声地回答：“画5段。”笔者继续追问：“每次画出的一条线段应该有多长？”学生回答：“应该和刚才的两条线段保持一致。”从学生的反馈来看，“一份数”的概念意识已被唤醒。

2.借助思维表述

在两步计算应用题的教学中，教师应该注重学生表述时的思路，尤其是对中间量这种过渡条件的揭露。

在出示算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通过问题“这两步算式分别求的是什么？第一步计算为的是什么？”，让学生明确说出第一步求出了什么，使其明白第一步计算的结果是第二步计算必不可少的一个基础条件，第一步的计算结果就是“一份数”。在学生阐述想法时，教师应一步步记录解题步骤和原理，例如：1双鞋垫多少钱？12÷2=6（元）。5双鞋垫多少钱？5×6=30（元）。这样，通过板书展示解题思路，就是用文字对“一份数”这个概念做了最好的注解。

3.借助对比活动

如何利用好变式，让学生在分辨各变式中领悟“一份数”的真谛？不妨在学生解决了问题“买5双同样的鞋垫需要多少钱？”后，让学生根据“妈妈买2双同样的鞋垫用了12元”这个基本条件，自己提出问题后解答，并陈述思路。

无论哪种方法，最终目的都是向学生渗透“一份数”这个关键量，不仅因为这个“一份数”是解题所需的中间条件，它也是教学的难点，因为学生有时是稀里糊涂地去求这个量的，无法分辨前后条件之间的关系，也不知道前面的基础条件其实就是为了暗示“一份数”的存在，后面要求的结果就是建立在对这个“一份数”的处理上的。通过画图，学生就可以直观感知到“一份数”的客观存在，因为无论是求总数的顺向应用还是求份数的逆向应用，都可以在一一对应中发现线索。“一份数”是连接前后条件的枢纽，求出“一份数”后，所有的问题都可以迎刃而解，所有的数量关系都可以联通起来。

二、在巩固中完善“一份数”

在现实生活中，“一份数”俯拾皆是，它不单是“1双鞋垫的价钱”，还可以表示许许多多的含义，像“动车平均每分钟行驶3千米”“每名医生照顾6名患者”“每张桌子配有5把椅子”都是“一份数”。

教材中“做一做”出现的“一份数”与例题也大有不同：

小林坚持体育锻炼，3天跑了2400米。

（1）照这种速度，7天可以跑多少米？

（2）照这种速度，第一个周期的跑步目标里程数为6400米，需要坚持跑几天才能圆满完成目标？

此时，“平均每天跑步800米”变成“一份数”，笔者认为编排这道题的出发点不单是为了深化归一问题的解题策略，更重要的是拓展“一份数”的范畴。

在精研了教材的练习之后，笔者在巩固环节编设一道连线题，扩充和丰富“一份数”的概念外延。

连一连：

①18÷3×8；②30÷（18÷3）。

（1）程序员小红3天能编完18个手机单机游戏程序，照此速度，8天能编完多少个手机单机游戏程序？

（2）18位程序员分成3组编程，照这样分组，30位程序员应该分成几组？

（3）程序员小明计划8天编完30个手机游戏程序，实际上3天就编完了18个，照此速度，完成计划的任务需要几天？

1.在反馈中丰富“一份数”

三小题中，第（1）（2）题极为容易，连线后学生可以陈述自己的想法，尤其是必须交代清楚第一步先解决什么，在学生各抒己见中丰富“一份数”的外延。第（3）题难度陡增，多余条件“8天”赫然出现，遭受了这种突如其来的变化，有的学生认为答案是第①个算式。在反馈中，学生领悟了这一问的终极目标是“照此速度，编完30个程序需要几天”的问题，如果按照第一种算法，解决的是“照此速度，8天一共编程几个”，两种做法求出的得数完全不是一个性质。但是通过比较，学生发现它们有一个共同点，那就是必须先求出“平均每天编程几个”这个前提条件。在此处，“平均每天编程6个”就是“一份数”，这样，利用错误资源，再次揭示“一份数”的概念本质。

2.在归纳中丰富“一份数”

待第（3）题的难点攻破后，笔者又设计了如下环节：找出三道题的相同点。学生通过对比很快发现，“18÷3=6”这个算式每次都会出现，由此算出的“一份数”是解决类似问题的枢纽和关键，而“18÷3=6”这个算式可以表示多种多样的“一份数”，需要视具体情境而定。

学生了解了什么是“一份数”，也知道“一份数”的作用后，却不一定能清楚地分辨什么是“一份数”，因为有的“一份数”很隐晦，不像表面上看到的那么简单，课本上对“一份数”也没有一个确切的定义，它可以是“每份数”，也可以是“组合数”，可能会以多种不同的面貌出现，教师可以通过形式多样的习题来教会学生分辨和识别。比如，3个人吃6个苹果，按照这种分配原则，9个人一共要吃多少个苹果？此时，如果将3个人编为一组，9个人就可以编为3组，每组吃6个苹果，此处的6个苹果也是“一份数”，9个人编为三组，每组吃6个苹果，3组一共吃6×3=18（个）苹果。可见，此处不一定要将“6÷3=2（个）苹果”作为“一份数”，而是将“每组吃6个苹果”作为“组合一份数”。从另一个角度看，将3个人编为一组，也是将零散的3个人从形式上改造为特殊的“一份数”，9个人的总数中含有三个这样的“一份数”，即9÷3=3。

三、在拓展学习中深化“一份数”

在教材的习题中，有这样一道题：

某职业技术学院大四学生到定点工厂实习，每3名学生共同装配12个机械部件。

（1）按照这种分配制度，6名实习生应该装配多少个机械部件？

（2）如果一共有36个未装配的机械部件，一共要安排多少名实习生操作？

对于第（1）题，归一法和倍比法都可行，但是无论哪种方法，必须率先解决“一份数”的问题。在归一法中，是把“平均每名实习生装配4个部件”看作“一份数”，而在倍比法中，却是把“3名实习生装配12个部件”视为“一份数”，这是对通常意义上的“一份数”的一种延伸和引申，笔者在拓展环节设计了这种练习，旨在拓宽“一份数”的类型。设计练习如下：

买2张从付家坡到新华路的地铁票需要10元钱。买8张这样的地铁票，45元钱够吗？

解决这道题，正归一、反归一和倍比三种方法均可。在反馈时，先让学生通过正反归一的辨析，巩固新知，然后重点研究倍比法，对两者进行对比辨析，寻找相同点，扩充“一份数”的类型和用法，从而帮助学生正确解题。

1.在沟通中深化“一份数”

正归一和反归一的共同点显而易见，但正归一和倍比法的共同点则很隐蔽。于是，在理解倍比法“8÷2=4，4×10=40（元）”时，笔者让学生采用图解法，直观揭示算式的深层含义和数量转换原理。通过图示法（如图2），学生领悟了其算理就是将“2张票多少钱”看作“一份数”，8张票含有4个2张，即需要4个“一份数”，也就是需要支付4个10元。通过这道题，学生沟通了归一法和倍比法的联系，“一份数”又多了一个类型。

图2

2.在拓展中深化“一份数”

在学生理解了“2张票多少钱”可以看作“一份数”的基础上，教师还应引导学生认识到，实际生活中，也可以把“3辆摩托车一共多少钱”“4名军人站成一排”看作“一份数”，通过教师举例、学生交流，扩充“一份数”的辐射面，学生合作探究，设计一些用归一法和倍比法都可以解决的问题，在具体情境中巩固“一份数”的新概念。

“一份数”的内涵十分丰富，根据现实情境的需要，有的“一份数”是不可分离的，必须作为一个整体出现。比如有个网剧，12集为1个单元，3名演员合作出演1个单元，那么这3名演员就是一个不可分离的“一份数”，不能再用12÷3=4，得每名演员出演4集网剧，因为3名演员必须共同合作才能完成12集网剧。如果问题是36集3个单元网剧需要招募多少名演员，那么只能用36÷12=3，需要3组人马，3×3=9，一共需要9名演员，9名演员是不可混合的，必须独立成组。如果问题是想问几名演员共同出演多少个单元，那么这个演员数只能是3的倍数，不能是任意数字，因为3名演员是不可分割的。

在课堂教学后，笔者对同一批学生进行了后测，测试题分别是：

（1）小林坚持晨跑，3天跑了3000米，照这样的速度，7天可以跑多少米？

（2）冬天，清洁工们清扫积雪。3名清洁工清扫了12条街，如果全镇有36条街道，一共需要几名清洁工才能清扫干净？

（3）把3块木板码放起来，高度是18厘米。如果把同样的9块木板码放起来，高度能够达到多少厘米？

全班40名学生的测试情况如表2所示：

表2

从后测结果来看，让学生在新授环节学习“一份数”，在巩固环节丰富“一份数”，在拓展环节扩充“一份数”，大部分学生都能全面掌握“一份数”。

当然，后测也反映出一些问题：做对的学生可能是侥幸，碰巧套用了这个模型，有可能并未真正做到融会贯通；一旦题目变成归总问题，学生会不会解决就不好说了；教学策略怎么改进，练习如何完善，这些都是教学下一步努力的方向。