基于APOS理论的小学数学概念教学案例研究

江苏师范大学教育科学学院（221116） 王智杰

小学阶段的数学教学，涉及诸多数学概念。数学概念是数学思维的细胞，它不仅是数学知识的基础，也是学生思维的基本单元，具有抽象性、逻辑联系性等特征。而小学阶段的学生，其思维认知水平正处于形象思维阶段，理解并掌握内涵丰富且意义深邃的概念具有一定的困难。

美国学者杜宾斯基（E.Dubinsky）于20世纪80年代提出的APOS理论，是一种专门针对数学概念学习过程的理论，该理论涵盖了学生进行概念学习时的四个阶段，即操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）和图式（Scheme）。APOS理论的提出对小学数学概念教学有着重要的指导意义。本文基于APOS理论，并以特级教师吴正宪老师的“平均数”一课为例，对小学数学概念教学进行深入研究，尝试提炼其教学思路，为后续改进教学做准备。

一、基于APOS理论的“平均数”名师课堂案例分析

本研究基于APOS理论，采取视频分析的研究方法，对特级教师吴正宪老师的“平均数”一课进行案例分析，并尝试提炼其教学思路。

1.操作（Action）——创设问题情境，引发学习兴趣

“操作阶段”是APOS理论的第一阶段，是指学生通过接受一系列的指令去改变学习对象的过程，这是学生构建数学概念的起点。在这一阶段，学生应该像数学家一样去思考和体验，这样有助于为接下来的“过程阶段”提供感性的素材。因此，在这一阶段，教师需要在了解学生认知发展水平的基础上，给学生创设一定的问题情境，并尽可能地给学生安排一些活动，包括外部动手操作活动与内部思维活动。

【教学片段1】

师：黑板上有三个字——“平均数”，这就是今天吴老师要和小朋友们一起讨论的话题。你们听说过这个词吗？在哪里听说过要算这个“平均数”的事呢？

生：考试成绩出来后要算平均分。假如我们班这次考试成绩的平均数是95，95分就是我们三（1）班同学考试的平均分。

在这个教学引入环节中，吴正宪老师设计了开放性问题，巧妙地引导学生将数学中的“平均数”概念与日常生活联系起来。这一问题情境是学生主动创设的生活情境，既体现了数学与生活的联系，又激发了学生的积极性与主动性。在这开放的、自由的教学氛围中，学生初步感知了“平均数”的概念，符合APOS理论中“操作阶段”的教学要求。

2.过程（Process）——适时提问引导，深入挖掘理解

在APOS理论的第一阶段“操作阶段”，学生对所要学习的概念有了一个初步的认知，但这只是简单的感性认知，是对概念表层的理解。在接下来的第二阶段“过程阶段”，教师需要适时引导学生进一步挖掘概念的内在本质，从而促使学生思考与顿悟，这是概念学习的关键所在。

【教学片段2】

师：你们怎么理解平均分是95分这件事？

生1：平均分就是有些人的分比它高几分，有些人的分比它低几分。平均分是95分，就是有人的分数会比95分高，有的人的分数会比95分低。

师：那这个你们所说的平均分在你们心中是什么样的呢？

生2：要把全班所有同学的分数通通加起来，再除以班级总人数，就是除以38。这样就把分数高的同学的分数给了分数低的同学。

师：这样分数低的同学的分就慢慢升高了（用手势比画平均与高低）。那你们班平均分数是95分，你一定考了95分吗？

生3：不一定。可能会比95分高，也可能会比95分低。

在这个深入探究“平均数”概念的过程中，吴正宪老师将课堂还给学生，让学生述说感受并举例说明，学生能够在轻松的课堂氛围中开动脑筋、各抒己见。随后，吴正宪老师又以手势比画的方式，让学生客观形象地感知平均数在一堆数中所占的位置，并强调了“平均分是95分不代表你一定考了95分，你的分数可能会比95分高，也可能会比95分低”的重难点，让学生在辨析中透过表层，深入感知“平均数”的概念。

3.对象（Object）——变式提升训练，形成立体感知

通过前面“操作阶段”以及“过程阶段”的训练，学生对新学习的数学概念有了一定的了解，并且能够掌握概念相应的本质特点。但概念是一个较为抽象的知识，学生只有将其作为一个整体来运用才能掌握。但是，此时学生在理论上对概念的掌握还未达到要求，即对新概念的认识还是孤立的。因此，在第三个阶段“对象阶段”，教师需要组织一次新的活动，让学生对概念进行新的概括，促进学生以“理解”的方式去运用概念，即将概念当作一个“工具”去解决问题。

【教学片段3】

师：既然大家已经在生活和学习中见过平均数，对其有一点印象，那么今天吴老师要和你们一起往平均数的“深处”走一走。有一座城市，身高不到1.1米标准线的儿童乘车可以不买票，以前6岁的儿童身高差不多1.1米。可是后来人们吃得好，越长越高了，6岁的儿童还没上学呢，就不能免票了。很多家长就有意见，提出“能不能把1.1米这个身高线提高点，再定一个新的标准”。请想一想，假设你就是有关部门的官员，你怎么定新标准呢？小组讨论后说一说。

生1（第一组）：1.3米、1.2米、1.2米以下。

生2（质疑）：你们说1.2米和1.3米，有没有依据？

师：没有依据就定标准，那你们这个决定是不是有点不靠谱。一拍脑袋就定1.2米和1.3米，你们也不同意对不对？

生3：应该让全国的小孩都进行一次体检，测身高，得到的数据全部加起来再除以人数，求大家身高的平均数。

生4：我不同意，这太麻烦了，可以找一些身高差比较大的人，将他们的身高加起来再除以人数。

师：这个主意不错。可以选一部分人作为代表，那怎么选这些代表？（生4不知所措）

师：没关系，注意一个词，你慢慢会懂的。“不要刻意地去找，要随意地挑一挑”，就是随意选一群人。不知道你们通过刚才的讨论，有新想法了吗？

生1（第一组）：我们要有依据，不能一拍脑袋就做决定。

师：一拍脑袋就做决定的不是“好官员”，我们得调查研究。调查研究会获得很多数据。因为调查研究的时候要拿到全部人的数据有点麻烦，所以他们组（生4所在的组）提出了选部分代表，然后再求平均数。

在这一阶段的教学中，吴正宪老师将生活中一个常见的现象转换成儿童的语言，并在活动中给学生充分展示的机会，足以体现学生的主体地位。回到概念教学中，吴正宪老师在学生初步认识与理解平均数概念的基础上，采取变式训练的方式，让学生观察、思考、交流、讨论，发现平均数在生活中的应用，并让学生体会到“理论依据”与“数据处理”的奥秘，从而渗透了一定的数据统计的思想。这种环环相扣、层层递进的问题使课堂教学得到了进一步的升华，学生在亲身体验、反思实践的过程中多角度、多层次地感知“平均数”，概念在学生头脑中呈现“立体化”的形象。

4.图式（Scheme）——建立新旧联系，完善认知结构

小学数学的学习呈现螺旋式上升的特点，所以概念的学习并不是经历一次“A-P-O-S”就能完成的。初级“图式”的形成需要经历两次关键性的飞跃：一是摆脱具体对象形成符号化阶段，即“对象阶段”；二是形成新的认知结构，即由“对象阶段”上升到“图式阶段”。因此，在“图式阶段”，教师需要指导学生主动将所学新概念与原有认知结构中的旧知识结合起来，形成实质性的联系。

【教学片段4】

师：假如吴老师在黑板上画图，将这些数据展现在折线图中，平均值会在高的和矮的中间。那我们就把身高标准值定为1.2米。还有其他的想法吗？

生：我定标准时，要比平均值稍微高点。

师：这位同学的意思是把标准值定得比平均值高一点。刚才同学们都说定在1.2米左右，那我们看这个图（出示图1）。图中曲线最高处是在1.2米处，1.2米左边的都可以享受免费待遇，那假如我们要使更多的儿童享受免票政策，是不是可以在1.2米的右边“画线”？可见，平均数是解决这个问题的重要的数据。

图1

在这一阶段，吴正宪老师采取数形结合的方式，将平均数与统计图联系起来，更加形象直观地让学生了解平均数在该组数中的位置，使学生在头脑中构建有关平均数的“图式”，形成完整的认知结构。

综上可见，吴正宪老师在教学“平均数”时，将课堂还给学生，尊重学生的想法与发现。整堂概念教学课节奏紧凑，教学步骤环环相扣、层层递进，使得学生对“平均数”的概念从原来的浅显感知到深入理解，建立了属于他们自身的认知“图式”。

二、基于APOS理论的小学数学概念教学反思

结合吴正宪老师的“平均数”教学案例可以看到，小学数学概念教学需要深刻理解并巧妙把握APOS理论的四个阶段。

1.操作阶段——生活性激兴趣

“操作阶段”的目的是让学生思考，而引起学生思考的重要举措是激发学生的兴趣。建构主义学生观强调学生并不是空着脑袋进教室的，学生在日常生活中已经积累了丰富的生活经验。可见，如何巧妙地将抽象、深奥的概念与学生的实际生活联系起来，是概念教学课堂引入环节的关键所在，同时也是后续教学的有效保障。因此，在课前，教师需要了解学生的认知发展水平，创设合理的教学情境，巧妙地将数学与生活紧密联系起来。这种具有生活性和真实性的问题情境的设置符合学生的身心发展规律，能很好地引导学生走进真实的情境之中，激发学生的学习兴趣和探究欲望，为后续活动的开展和数学的学习奠定良好的基础。

2.过程阶段——问题链引深思

“操作阶段”为后续的教学奠定了心理基础，但是并不能引发学生的数学思考。在“过程阶段”，教师需要将学生的学习兴趣转化为深入思考的动力。因此，教师此时需要提出一些具有启发性、递进性的问题去引发学生的思考。在活动进行的过程中，教师需要根据学情巧设递进式问题链。以高质量的问题为切入点促进数学知识与数学思想方法之间的联通，以递进式的问题为深入点促进学生对数学问题的深入探究、对数学思想的深入理解，并将问题以问题链的方式组织起来，统整学生数学思维，提升学生数学思维的广度与深度，发展学生的整体意识。此过程能促进学生对概念的理解和把握，为下一阶段做准备。

3.对象阶段——变式题强认知

概念的学习不能只停留在具体的情境教学中，需要学生走出固定的情境。概念学习是一个逐渐深入的过程，是需要学生主动参与和积极领悟的过程，仅仅靠教师的讲解是不能达到概念学习的要求的。因此，在概念教学的“对象阶段”，教师可以采取灵活变式的方式，让学生在深入理解概念的基础上体会到概念的灵活运用，让学生在不同的变式中深刻感悟概念的本质内涵，在辨析中全方位地了解概念的中心。如此一来，就能帮助学生在外部刺激的强化过程中逐渐形成对新概念的思考与认知，从而将这个新概念作为一个整体去进行辨析。学生只有在练习中强化、在变式中深思，才能把握概念的本质。

4.图示阶段——新旧联善结构

零散孤立的知识是不能牢固地存在于学生的观念系统中的，只有数学知识之间相互联系，才能加深学生对数学知识的理解。因此，在概念学习的最后，学生应该形成完整的认知结构。但是，日常数学教学通常是分模块进行的，为了能够强化学生对知识的理解与应用，教师需要将新概念与学生头脑中原有的旧知联系起来，并重新组织这些在本质上具有联系的知识点，从而构建一个更大更牢固的知识体系。在最后的“图式阶段”，教师需要指导学生总结本课知识，并将数学知识与生活实际再次联系起来，以形成新的“图式”。这一过程需要学生在长期的学习过程中不断总结与完善，因为只有复思考与辨析所形成的“图式”才是概念教学的最终目的，才能使学生在今后的问题解决中将概念运用自如。