初中数学例习题设计实践

江苏省泰州市智堡实验学校 杜倩男

2021年国家为推动素质教育的发展制定了“双减”政策。减轻学生过重的课业负担是一个老话题，双减不单单是减轻学生过重的课外补习的负担和作业负担，更重要的引导教育面向新时代，并从整体上提升教育的质量和效率，形成高质量的教育体系。“深度学习”不同于传统的被动接受、灌输式的“浅层学习”，它要求学生不仅要掌握理论知识，更能通过思考、讨论、交流、互动等活动，解决各种各样的实际问题。在初中数学课程改革中，例习题的设计是落实“双减”政策的重要环节，也是实现学生深度学习的重要内容。因此，教师应结合“双减”背景，从深度学习的角度探究例习题设计策略。

一、合理设计例题，引导学生感知数学

“双减”背景下，初中数学课程教学应以“减负提质”为目标，优化设计，减轻学生的负担，并最大程度完成教学目标，保证教学的有效性。例题在初中数学教学设计中占据着重要的位置。通常情况下，例题具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练和文化育人等功能。因此，学生在例题的引导下能由浅入深实现对数学知识的探究。但是，目前在初中数学教学指导中，一些例题的设计与运用并不合理，学生对数学知识的学习更多的是停留在表面。教师在例题讲解中忽视了学生的参与，导致例题的功能得不到有效发挥，影响了课堂教学效果。针对此现象，初中数学教师应结合“双减”背景明确深度学习的要求，合理设计例题，让学生主动完成探究，由浅入深掌握数学知识。

例如，在指导学生利用“消元法”解二元一次方程组过程中，教师通过对教材的分析，联系上节课讲授的“代入法”内容，将上节课的习题再一次引入到本节课中来，让学生在旧知识的铺垫下完成新知识的探究。

例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少？

通过对这一例题的计算，学生初步认识到可以通过数学运算对二元一次方程组进行变形，变形的目的是消掉其中的一个未知数，将其转化为一元一次方程，这样则可以求出方程组的解。在这一认识的基础上，教师为了引导学生深度学习，继续追问：在第一种解法中，我们采用消去y方法进行变形，那么如果想消去x该怎么办呢？由于方程组中x的系数不相同，所以回答这一问题的难度较大。教师引导学生合作讨论，提示学生继续通过数学运算的方式对两个方程组进行等价变换，想方设法将x的系数变得相同。最后，在教师的引导和学生的尝试下，学生通过在方程x+y＝10两边同时乘以2的方式将原式变为2x+2y＝20，这样两个方程x的系数就相同了，接下来在利用第一种解法的步骤完成消元，得出答案。

在这一课堂例题的设计中，教师通过新旧知识的联系，直接将上节课的典型例题拿来运用，减少了导入环节运用的时间，提高了课堂效率。同时，在例题的讲解中，教师由浅入深，由简单到复杂，让学生步步深挖其中的数学知识，也达到了深度学习目的。

二、组织课堂讨论，培养学生高阶思维

高阶思维是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力。具备高阶思维的人通常形成使用抽象的思维结构，能应用合理的逻辑和判断准则，能形成高层次的认知能力。数学作为一门逻辑性较强的学科，对学生而言，深度学习的过程也是锻炼、形成并运用高阶思维的过程。在初中数学课堂上，例习题是引导课堂活动开展的重要内容。从指向深度学习来看，学生在例习题中实现有效的互动讨论，能突破个人思维的局限，实现多角度探究问题，进而实现思维从低阶向高阶发展。

例如，在“一次函数”的教学设计中，教师通过学情分析了解到学生已经掌握了函数中两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式。但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此教师需要引导学生通过独立思考与合作讨论的方式进一步理解变量和函数之间的关系。教师在课堂导入环节联系已经学过的正比例函数的相关知识，引导学生类比、迁移，根据问题列出函数关系式。接下来，教师为学生设计了一系列的例题，引导学生循序渐进探究新知：（1）正方形周长l随边长x变化而变化；（2）长方形的长为常量a时，面积S随宽x变化而变化；（3）高速列车以300 km／h的速度驶离A站，列车行驶的路程y（km）随行驶时间t（h）变化而变化；（4）A、B两站相距200 km，一列火车从B站出发以120 km／h的速度驶向C站，火车离A站的路程y（km）随行驶时间t（h）变化而变化。由于例题较多，且涉及新旧知识之间的联系，学生在分析、思考的过程中往往无法把握重点，导致思路陷入混乱。针对此情况，教师组织学生进行小组合作，列出相应的函数关系式，并说一说其中的变量都构成了怎样的函数关系。通过学生的合作讨论得出：前3道例题列出的函数为正比例函数，而例（4）的y＝200+120t则是一次函数。教师在学生得出结论的基础上乘胜追击要求学生进一步讨论，并找出一次函数解析表达式中的k、b的值。这样可以及时巩固学生对一次函数的概念，强化对k、b的认识。接下来，教师设计习题引导学生深入思考：一盘蚊香长105 cm，点燃后，每小时缩短10 cm，请你写出蚊香点燃后的长度y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数表达式，并计算该盘蚊香可燃烧多长时间？教师为学生提供独立思考的机会，让学生根据新掌握的一次函数的相关知识作答，以深化认识，锻炼抽象思维。最后，教师设计思考问题：正比例函数和之前所学的正比例是否为同一概念？要求学生通过小组合作讨论解决问题。这样学生能通过集思广益实现对易混淆的知识点的整理，提炼二者的异同点，建立良好的逻辑知识体系，实现深度学习。

三、设计课堂练习，巩固课堂学习效果

课堂练习是初中数学课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节；是学生掌握知识形成技能，发展智力挖掘创新潜能的重要手段；是教师了解学生知识掌握情况的主要途径。在“双减”背景之下，对学生课后作业的要求是“减少时间而不减少知识量”“减负不减质”。因此，精心设计课堂习题则成为教师教学研究的重要内容。此外，在指向课堂深度学习的情况下，教师也应该重视习题的设计，利用信息促进学生深度思考，让学生思维实现从低阶向高阶的进步。

通过这三类习题，学生能进一步理解同类项与合并同类项的概念，并熟练掌握合并同类项的法则，形成运用数学知识解答简单问题的能力。教师则对学生的答题情况进行监督，利用小组内互相检查，检验学生是否真正理解了同类项与合并同类项的概念，是否真正掌握了合并同类项法则。当大部分学生通过练习掌握了合并同类项的重难点知识后，教师再结合生活实际设计应用题。习题4：水库水位第一天连续下降了ah，每小时平均下降2 cm；第二天连续上升了ah，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？习题5：某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，目前这个商店有大米多少千克？

习题4和习题5将合并同类项的相关知识纳入到真实的问题情境中去，学生要想运用数学知识，首先要梳理其中的条件，了解问题情境中的关键词。这两个问题相较于之前的习题难度有所增加，学生不仅需要调动所学知识，还需要进行逻辑推理、综合分析。完成了习题解答，学生不仅可以进一步巩固数学概念，更能实现高阶思维的发展。

在这一教学案例中，教师十分重视习题的设计，在学生掌握了理论知识的基础上，为学生提供练习的机会，让学生在解答问题的过程中巩固知识、深入探究，进而发展思维品质。

四、优化作业设计，引导学生深化学习

在全面贯彻落实“双减”政策的背景下，优化作业设计成为教学研究的重要课题。在初中数学课程改革中，教师应重视课后作业优化设计，减轻学生的作业负担，不仅做到控制作业总量，还要“提质”。科学布置作业，提高作业设计质量，关键在于发挥作业的诊断、巩固、学情分析等功能，同时系统设计符合学生年龄特点和学习规律、体现素质教育导向的基础性作业，并针对学生学习能力的不同，分层设计个性化作业。当然，从深度学习的角度讲，课后作业对学生深入理解数学知识，形成学以致用的能力，形成良好的价值观念也是十分重要的。

作业设计离不开例题和习题，教师可以利用课堂上的典型习题进行变式，为学生设计有层次、有差异的作业，也可以编创习题，结合学生的实际情况进行布置，让学生在减轻学习负担的前提下由浅入深，实现对数学的深度学习。

例如，在部编人教版初中数学教材《一元一次方程》这一节中设置了例题：根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形。正方形的边长是多少？（2）一台计算机已使用1 700 h，预计每月再使用150 h。经过多少月计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450 h。（3）某校女生占全体学生数的52%。比男生多80人。这个学校有多少学生？3道典型例题联系已学的数学知识引导学生理清了设未知数列一元一次方程的思路。在此基础上，教师根据例题进行变式，为学生设计基础性作业：根据下列问题，设未知数，列出方程：（1）环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑了3 000 m？（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元。用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？（3）用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯。大水杯比小水的单价多5元。两种水杯的单价各是多少元？作业内容在教材习题的基础上进行了细微的变动，其难度较低，学生可以延续例题的思路进行解答，以巩固例题中蕴含的一元一次方程的知识。

五、结语

总之，在双减背景下，引导学生实现深度学习是实现减负提质目标的必然要求。在初中数学例习题的设计中，教师应立足学生主体，明确学生的发展层次，并设计例习题，以帮助学生巩固理论知识，掌握解题技巧，实现深入思考。通过上述研究可知，在深度学习的视角下，教师不仅要重视学生自主思考，也应引导学生合作讨论，促进学生对数学探究的由浅入深。当然，在“双减”落实过程中，初中数学教师还应进一步探索，研究适合学生深度学习的例习题，为实现“减负提质”积累经验。