选择路径组合方法 提高数学运算素养

瞿 晶

(南京市第二十九中学)

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》指出:数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养,主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果.

在解析几何的解题过程中,以形助数或以数思形,通过数形结合的思想方法,建立数与形之间的联系,是学生需要培养的运算素养.图形分析与研究能力是探索问题、解决问题的思路源泉,图形研究的能力培养主要有两方面:一是能从不同的角度描述图形的特征;二是研究图形与图形之间的关系,其中最主要的关系就是图形之间的位置关系和数量关系.其中,位置关系有直线与直线相交、平行等;数量关系有线段的长度、角的大小、三角形的面积等.

解析几何的本质就是用代数方法研究几何问题.在解题过程中,由于几何条件代数化可以选择不同的代数路径进行转化,对一个题目中相应的几个几何条件转化时,使用不同的路径则可以组合出不同的解法,从而形成一道题目的不同解法.在此基础上,我们选择其中较为简洁的转化方式,设计简洁的运算路径,组合成较为快捷的运算方法.

1 问题

题目已知点A,B在椭圆＝1(a＞b＞0)上,点A在第一象限,O为坐标原点,且OA⊥AB,若△OAB为等腰三角形(点O,A,B按顺时针排列),求的最大值.

解析方法1因为△OAB是等腰直角三角形(点O,A,B按顺时针排列),所以设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＞0,y1＞0,x1＜x2).

将等腰直角△OAB的条件等价转化成OA＝AB且OA⊥AB,其中OA＝AB可以利用两点间距离公式进行转化,OA⊥AB可以利用斜率之积等于－1进行转化,由此得到点B的坐标为x2＝x1＋y1,y2＝y1－x1,转化过程如图1所示.

图1

方法2将等腰直角△OAB的条件等价转化成OA＝AB且OA⊥AB,然后利用平面几何的相似性将方法1的步骤简化,得到点B的坐标为x2＝x1＋y1,y2＝y1－x1,在代数运算过程中,可以通过结构的对称性直接转化为关于x1,y1的齐次式,再转化为关于的一元函数求最大值的问题,转化过程如图2所示.

图2

作AC⊥y轴,AD⊥BD,可得△OAC≌△ABD,所以OC＝AD,AC＝BD.

设A(x1,y1),B(x1＋y1,y1－x1),下同方法1.

方法3将等腰直角△OAB的条件等价转化成∠AOB＝45°且OB＝,其中∠AOB＝45°运用正切的两角和差公式进行转化,OB＝运用两点间距离公式进行转化,转化过程如图3所示.

图3

设直线OA的斜率为k(k＞0),倾斜角为θ(0°＜θ＜90°).因为△OAB是等腰直角三角形(点O,A,B按顺时针排列),且OA⊥AB,所以直线OB的斜率为kOB＝tan(θ－45°),所以

整理得b2k2＋2(b2－a2)k＋a2＝0,下同方法1.

方法4将等腰直角△OAB的条件等价转化成M为AB中点,且tan∠AMO＝2,再通过斜率关系进行代数转化,运算量较小,转化过程如图4所示.

图4

2 反思

在实施运算分析和解决问题的过程中,要善于分析运算条件、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序,使运算符合算理,且合理简捷.换言之,运算能力不仅是一种数学操作能力,更是一种数学思维能力.

如何合理地翻译几何条件,通过转化等式的多样性,降低运算量,这是考查学生对于几何问题的理解.调整或采用某种策略和表征的过程可以体现出学生的思维方式.因此,我们可采取一些有效的方法,帮助学生改进思维方式.

1)通过强化阅读能力提高在关联的情境中确定运算对象、分析问题的能力.

数学阅读能力是正确理解运算对象的前提.苏霍姆林斯基在《给教师的建议》一书中指出:“只有学会流利地、有理解地阅读的人,才能顺利地掌握知识.”认真审题是一种能力,是阅读能力在态度上的细化表现.阅读就是与文本对话,审题就是要阅读题目的文本,要读懂题目中的已知条件和未知信息、读取题目中的数据、读清题目所提的问题.读懂文本是在大脑中重新建构文本,理解题目是否隐含了信息,具体又隐含了哪些信息? 数据之间有什么关系,符号代表什么意义? 为什么要这样问,题目的文本想表达什么?认真读题,弄清题意,将题目的外显条件和内隐条件都充分挖掘出来,并在脑海中形成一个完整、清晰的结构,进行合理地问题表征,这样才有可能开展有效的运算.

2)通过一题多解培养反思意识,教会学生针对问题合理选择运算方法、设计运算程序.

只有在学生体会到怎样想、为什么这样想时,才可以让知识在今后面临类似问题时自动浮现,才能将所学知识应用于实际问题的解决.第一,要鼓励学生进行创造性的猜想与尝试.第二,要允许学生在提问时出错、允许补充,意见不一时,允许学生保留自己的看法.这些过程中的所谓错误正是宝贵的教学资源和学生思维培养的真正着力点.第三,要善用评价,营造氛围,使学生乐于提问.第四,学生提问后,要进一步帮助学生明晰问题,寻找问题的本质,使学生提高思维能力和表达能力,进而学会问问题.

3)重视基础知识的生成、建构、延展,使学生能理解运算是一种演绎推理,在综合运用运算方法解决问题的过程中体会程序思想的意义和作用.

数学运算的实质,就是根据运算相关的定义、公式、法则,利用已知数据及算式推导出结果.在此过程中,学生如果遗忘或混淆概念、公式、法则,则必然影响运算结果的正确性.首先,教师应该重视课堂教学中基础概念的生成过程,在学生已有的认知基础和生活经验上进行教学,使其充分感知和经历知识再创造的过程.其次,教师应该创造恰当的情境,引导学生自发地对所学知识进行归纳与梳理,并主动构建更完备的知识体系.最后,教师要根据学生的学科发展情况,对基础知识进行适当推广和延展,增加学生所掌握知识的延伸性,使学生能够在计算过程中优化过程、提高运算正确率.

4)通过提升语言表达能力和书面表达能力来提高运算素养.

表达与交流能力是逻辑推理素养的重要组成部分.学生能否精准地表述问题、能否有条理地进行推理、能否正确地运用数学语言简化表达,都会影响运算的过程.运算过程中不仅要教会学生有逻辑地思考问题,还要培养学生能厘清运算的过程、明晰运算的思路的能力,并能准确地表述和交流,从而进一步提高运算素养.

首先,要教会学生将自然语言转化为数学语言.学生要学会从题目文本描述中提炼数学问题,抽象出解决问题所需的关键信息.其次,要教会学生简化语言、清晰表达.根据费曼学习法,如果学生能够用简单的语言表述,让其他学生听明白某个问题,那么说明他真正理解了.如果他的解释冗长而复杂,那说明他对问题的理解可能并不透彻,还需要进一步思考.教师应该给不善于表达的学生提供更多的交流机会.在师生交流或生生交流的过程中,通过反问、追问等方式帮助学生提高语言表达能力,准确理解数学问题.再次,教师在教学过程中要通过规范的课堂语言和规范的解题过程,提升学生的语言表述和书面表达能力,引导学生条理清晰地运用数学语言表达运算过程,提升数学运算素养.

3 小结

波利亚说:“教学生解题是意志的教育”,因此在运算指导方面,教师的首要职责是帮助学生克服运算的畏难情绪,一些学生在面对运算问题时,信心不充分,尤其看到看似复杂的运算问题时,想要放弃,教师要帮助学生树立信心,给学生创造运算的成功体验.另外,克莱因也说过,鉴赏严密性的能力是学生年龄的函数而不是数学成熟程度的函数.让学生不犯低级错误,畅谈人生理想,坚定学习奋斗目标,或许比一次又一次地机械地重复教授知识点,要更加有效.

(完)