在有效教学活动中建构数学模型

⦿江苏省苏州市彩香实验中学 杨爱霞

数学核心素养既是数学课程目标的集中体现，也是促进学生长期发展的必要品质，在学生的自主发展中有着不可替代的重要意义.数学建模的过程能够培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，通过建构数学模型还能提升学生解决问题的能力，因此在教学中可以依托培养学生建构数学模型的能力落实核心素养的培养.笔者将结合教学实践谈一谈在教学中如何培养学生的建模能力，使学生感受数学之美，提升学生的综合品质和核心素养.

1 在数学活动探究中建构数学模型

数学模型是对数学本质的建构，在教学中通过设计教学活动引导学生主动发现和分析问题，从而学会总结归纳数学知识，并掌握数学推理的思想方法，建构起知识体系[1].教师要注重设计突出数学本质的问题，挖掘数学知识之间的联系，在建构纵横知识联系的基础上理解数学知识的内涵，学会用数学符号建构具体问题的数学表达形式.

案例1七年级数学“握手问题”数学建模设计

笔者根据“握手问题”的本质，设计了一系列贴合学生实际生活的具体事例，引导学生进行探究.

问题1同学们，老师打算坐高铁去北京，在购买车票的时候想到一个问题：从南京到上海方向，中途要停靠常州、无锡、苏州、南翔北，假设从沿途各站上车，请问要准备多少种不同的单程火车票？

问题2我们班一共有46名同学，大家玩一个彼此相互握手的游戏，请问一共需要握手多少次？

问题3上个星期，我们七年级的10个班一起进行篮球比赛，第一轮采用单循环淘汰制，请问一共需要进行多少场比赛？

问题4春节来临，同学们互相赠送祝福卡片，我们班一共有46名同学，请问一共需要多少卡片才能保证同学们之间能够做到互相赠送呢？

分析说明：以上这些问题都可以称为“握手问题”，贴合学生的实际情况也容易理解.在处理这类问题时要引导学生在n个变量中通过确定两个定量进行组合的方式确定组合的总数量，并注意不要遗漏和重复，由此逐渐引导学生确定解决这类问题的数学模型.在此基础上设计相似的图形类问题，进行进一步的探究.

问题5在平面内有n个点，请问经过这些点，最多可以画多少条直线？

问题6我们知道两条相交直线有且只有一个交点，请问n条直线两两相交，最多可有多少个交点？

问题7在一个角的内部从顶点出发，引出(n-2)条射线，请问一共可以组成多少个角？

如图1，直线l和n条射线之间有n个交点，一条线段对应着一个角，那么换言之直线l上有多少线段就有多少个角.

图1

问题8请问图1中一共有几个三角形？

分析说明：以上图形类问题的设计与“握手问题”的本质是一致的.在教师的引导下，学生学会将解决生活中“握手问题”的知识迁移到图形类问题的解决中，能够熟知解决此类问题的策略，即确定基本的定量之后再进行相应的不同数量的组合，注重逻辑性和顺序性，建构起基本的数学模型.

案例1中的“握手问题”是七年级学生理解的难点，对学生来说较为抽象，在解题过程中由于逻辑混乱常常会出现遗漏，导致各种错误.因此在教学设计时，笔者联系学生的生活实际进行了举例和模拟操作，这些具体的实例与学生的实际生活紧密联系，更容易让学生入手和理解.通过“购买单程车票”进行导入，帮助学生初步认识这类问题的解题策略，进而通过“图形的初步认识”进行深入研讨，实现由浅入深、由表及里的思考和探究，引导学生逐渐抓住“握手问题”的本质.“握手问题”的本质是从n个参数中选择两个参数进行组合，求组合的数量.抓住问题的本质才能掌握解题的规律，深化知识理解，从而激发学生参与学习活动的积极性和主动性，增强学习的信心.

教师通过设计有效的数学活动，促使学生能够从不同的角度和不同的层次进行思考分析，从而找到解答问题的思路，锻炼了思维能力.在数形的相互转化中学生能够体会数学的“化归”思想，突出了问题的本质，建构起数学模型，提升了解决问题的能力，真正落实了核心素养[2].

2 在拾阶而上的数学探究中掌握数学模型建构

数学模型的建构建立在学生的知识储备、解题技能和思维能力的基础上，在教学中数学教师要基于初中学生的认知规律和特点，从初中生的思维习惯出发，关注全体学生的发展，尊重学生的差异性，设计分层问题，做到由浅入深，拾阶而上.通过问题设计激活学生思维，用问题启发学生思考，在课堂教学中要给学生充分思考的时间和空间，使学生能够进行充分的深度思考，提升思维能力，从而进行数学建模，落实核心素养.

案例2九年级“直角三角形中的折叠问题”专题复习之数学建模设计

问题1如图2，直角三角形ABC中，∠C为直角，BC和AC的长度分别为8和6，将直角三角形ABC沿着AD进行翻折，使点C与AB边上的点E重合，请问怎样才能求出折痕AD的长度？

图2

问题2如图3，将直角三角形ABC沿着BD进行翻折，使点C与BA边上的点E重合，请问怎样才能求出折痕BD的长度？

图3

师生共同讨论解决问题，总结数学模型.解决这类问题可以先将已知条件集中到一个直角三角形中，使直角三角形的一边成为已知量，另外的两条边之间具有特定的数量关系，然后利用勾股定理进行求解.

问题3如图4，将直角三角形ABC沿着CD进行翻折，使点A和BC边上的点E重合，请问怎样才能求出折痕CD的长度？

图4

师生共同总结数学模型，将直角平分后产生了两个45°的角，过点D向两条直角边分别作垂线段，由此构成了正方形，进而利用相似三角形解决正方形的边长.

问题4假设三角形在翻折时的折线不经过任一顶点，应该如何求折痕的长度呢？如图5，将直角三角形ABC沿着某一条直线进行翻折，使顶点A和B重合，请问怎样才能求出折痕DE的长度？

图5

问题5假设再换两个顶点重合又会是什么情况？

问题6假设让三角形的某一个顶点与指定的某个点重合会怎么样呢？将直角三角形ABC沿着某一条直线进行翻折，使顶点A和BC边上的中点F重合，请问怎样才能求出折痕DE的长度？

师生共同总结数学模型，在直角三角形EFC中可以利用勾股定理列方程求得CE和EF的长度，再过点F作AB的垂线段FH.在直角三角形DFH中可以通过同样的方法求得DF或者AD的长度，DE的长度自然可以求得.

问题7将直角三角形ABC沿着某一条直线进行翻折，使顶点B和AC边上的中点F重合，请问应该怎样才能求出折痕DE的长度？

设计意图：本例中的设计层层递进，符合学生的认知规律.首先，从三角形经过某一顶点的折线翻折后的情况进行讨论，引导学生学会利用勾股定理加以定量分析之后解决问题.其次，讨论三角形不经过某一顶点的折线进行翻折后出现的情况，求折痕的长度.

问题设计由易到难，满足了不同学生的需求，在层层递进的探究中提升了学生对这类问题的认识，激发了学生的学习兴趣，同时培养了学生建构数学模型的能力，在潜移默化中掌握解决这类问题的策略是先构造直角三角形，根据已知条件利用勾股定理最终获得解题的思路[3].

综上所述，建构数学模型是解决数学问题的关键与核心，也是提升思维能力的重要途径.学生在学习数学模型的建构中能够理解知识的发生和发展过程，使知识的学习与运用形成更加完美的结合，促进学生的全面发展.教师要树立课程目标意识，以学生的认知水平为基础，以核心素养为目标，有效设计教学活动，引领拾阶而上的数学探究，促进学生积极参与学习活动，开展深度学习，实现数学核心素养的提升.