以学生动手实践为载体，发展学生综合能力——以综合实践课“巧算乘法”为例

⦿珠海市第七中学 于 焱 ⦿珠海市梅华中学 吴森雄

1 引言

“综合与实践”是《义务教育数学课程标准(2022年版)》的课程内容之一，也是数学课程中学生理解数学与运用数学能力的重要载体.推进“综合与实践”课程的理解与研究，能加速数学新课标的落实、数学新课程的发展和新评价方式的转变.下面以新人教版八年级上册第122页的数学活动课和数学课程标准附录1中“例66 代数推理”为例，与同行交流、探讨.

2 教学过程

师：今天我们上一节与众不同的数学课，首先请完成表格1与表格2.

表格1

表格2

教学分析：利用知识铺垫，从学生最近发展区出发，唤醒学生潜能，启发思考，为学生学习搭建适切的阶梯，建构向上攀爬的脚手架.课堂的重点是符号表示并推导规律；难点是如何割补图形并平移到合适的位置，利用几何图形证明公式的实际意义.因此设计了2个表格，旨在让学生掌握重点、突破难点.

活动一：速算比赛.

15×15 =？

25×25 =？

35×35 =？

65×65 =？

…………

教学分析：新课探究采取知识竞赛的形式，通过游戏环节快速入题，迅速调动学生的学习情绪，提升课堂气氛.学生有口算的，也有动笔计算的，甚至小组合作，迅速完成了以上题目，有效激发了学生学习兴趣和探究欲望.动笔计算的同学非常好奇为什么有的同学可以迅速完成？主动请教那些口算顺利完成的同学.

活动二：探究一般规律.

师：你能够按照以上题目结构给身边的同学出题吗？

教学分析：学生先独立思考后互相出题，然后计算答案，组长检查组员的题目结构是否符合例题特征，结果是否正确.目的是让学生认真观察算式结构，了解算式特征，理解计算规律.

师：同学们都能够眼动观察、脑动思考、嘴动交流，且能通过小组互相合作完成上述活动.如果加大难度，请问125×125结果是多少？

教学分析：学生陷入短暂的寂静后议论纷纷，很好奇这道题也能口算吗？设置这个环节的目的是利用学生的认知冲突，激发学生的兴趣，让学生带着问题思考.

师：让我们学完这节课再来解决125×125等于多少这个问题.先观察活动一中的算式及结果，请说出结果与算式本身具有什么关系？

生1：等号的左边都是两个相同的数相乘，可以写成两位数的平方，且这个两位数的个位都等于5.

生2：等号右边的结果的个位是5，十位是2，末尾两位数是25.

师：问题的关键是左边算式两位数的十位上的数字和结果中的百位数字或千位数字之间有什么关系？

生3：由15×15 =225可得结果中的百位数的2=1×2，由25×25 =625可得结果中的百位数的6=2×3，由35×35 =1 225可得结果中的百位和千位上的12=3×4，所以猜想结果中百位数字或千位数字可以由原十位上的数字加1再与自身相乘得到.

生4：根据前面同学的总结可得，15×15 =1×2×100+25=225，25×25 =2×3×100+25=625，35×35 =3×4×100+25=1 225，所以猜想原十位上的数字加1再与自身相乘得到的结果乘100，再加上25，就是个位数字为5的两位数的平方数的结果.

师：非常棒!观察细致入微，思维清晰，逻辑缜密，归纳有理有据.请同学们结合所学的整式知识，用符号表示出刚才得到的一般性的规律.

活动三：用符号表示一般性规律.

教学分析：由数到字母的转换和用字母表示数是本节课的难点，这时候适当引导遇到困难的学生回归课堂开始部分的知识铺垫表格，凸显了课堂的引入设计非常必要及时，不仅唤醒学生对知识的理解，而且是本节课难点的有意分解，设计知识的脚手架使学生顺利解决问题.大部分学生对比表格1的独立思考后大胆猜想，小组成员对猜想结果进行分析、研讨，并总结与反思猜想过程，最后小组之间交流展示.

生5：(10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25.

师：请再举几个具有这样特征的例子，并用上述方法验证其正确性.

生6：85×85=8×9×100+25=7 225，根据上面猜想的规律得到的结果验算正确.

师：请大家利用本章所学知识推导证明生5给出的规律.

生7：从左边往右边证明，(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25=100a(a+1)+25.

生8：从右边往左边证明，100a(a+1)+25=100a2+100a+25=(10a+5)(10a+5).

生9：可以分别化简左右两边的算式，左边=100a2+100a+25，右边=100a2+100a+25，左边=右边，所以猜想成立.

师：非常棒！三种不同的证法体现了三种思考问题的方式，由左往右证明体现了正向思维，由右往左证明体现了逆向思维，第三种则是正常的整式化简，三种方法均闪耀着智慧的光芒.

师：同学们已经学习了利用图形的面积证明平方差公式和完全平方公式，你能用类似的方法通过图形面积说明以上规律吗？

活动四：每小组均有彩色卡纸，组长组织本小组同学研讨交流，画图后通过图形分割—平移—组合等步骤进行证明.

(活动目的：学生经历动手操作，了解公式的几何意义，发展数学抽象和模型思维能力.)

生10：根据前面学过的完全平方公式，可知等式的左边可以表示为一个边长为(10a+5)的正方形的面积，至于从左到右的证明暂时还没有思路.

师：正方形的面积是边长的平方，由数的平方联想到正方形的面积，其他同学有补充吗？

生11：由平方差公式的几何证明得到启发，通过切割—平移—组合图形后即可证明.等号右边100a×(a+1)+25可化成100a(a+1)+5×5，可以猜想5×5是一个正方形的面积，100a(a+1)是一个长方形的面积.所以我们小组将其中一个长为5，宽为10a的小长方形平移到如图1所示的位置，组成一个长为10a，宽为(10a+10)的长方形和边长为5的正方形，新长方形的面积为10a(10a+10)=100a2+100a=100a(a+1)，正方形面积为5×5，证明完毕.

图1

师：思路清晰，思维缜密.

教学分析：在数学学习中，利用数形结合能有效启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈.这个环节利用图形面积将几何问题与整式问题结合起来，“以形助数，用数解形”.整式乘法中不管是单项式相乘、多项式相乘还是公式中的平方差、完全平方都具有“数的特征”和“形的特征”两重性.因此，可以从数形结合的角度理解、掌握知识的本质属性.数形结合让这节综合与实践课形象起来，并使学生运用数形结合思想去思考问题.其实，本节课到底是先通过乘法公式推导规律还是先利用几何图形证明规律，笔者在不同班级授课均有尝试，两种方法都各有优劣.

师：请同学们在小组长的组织下按照以下活动清单完成自主探究活动五，时间15分钟.

活动五：

(1)速算比赛.

53×57 =；

38×32 =；

84×86 =；

71×79 =.

请举类似例子：×=……

(2)观察上述每一个算式及结果，你能发现这些结果与算式本身具有什么关系吗？

(3)猜想：以所学的整式知识，用符号表示出刚才得到的一般性规律.

规律： ______________________________________

.

(4)验证：根据本章学习的知识推导出你得到的规律.

(5)你能利用学过的图形面积说明以上规律吗？

教学分析：活动五和活动一的流程基本相同，所以把活动五交由小组自主探究，教师负责调控小组活动进程.学生在小组长的带领下根据问题串展开观察、猜想、归纳、研讨、验证、操作实验等课堂活动，教师组织有困难的小组去观摩学习，最后组织各小组进行学习成果展示.

课堂结束时，学生基本上都能独立或在小组长的帮扶下顺利掌握以下计算：

(1)95×95； (2)93×97；

(3)125×125； (4)114×116．

3 教学反思

(1)注重学生的参与与体验感

本节课中教师精心设计问题，以问题串为线，让学生亲历观察、猜想、推理、抽象、归纳、验证和实验操作等多样性课堂活动，经历发现问题，提出问题、分析、解决问题的过程.在课堂中，教师设计竞赛、游戏和实验操作等多样性活动，让学生动脑思考问题，动口交流问题，让学生在交流表达中促进对内容的理解，增强知识的迁移能力，提高分析问题的能力.引导学生经历项目式学习的全过程，学生通过小组合作或独立思考，经历发现问题和提出问题的过程.但由于各种原因或惯性使然，学生在提出问题方面的能力需要加强.

(2)注重培养学生的动手操作能力

手是思维的工具和镜子，在教学中尽可能设置与教学内容相关的动手操作实验，能够有效减少学习障碍，降低学习难度，提升学习兴趣.学生在动手的过程中理解知识、掌握方法、学会思考和交流、获得情感态度的体验，变被动学习为主动、自觉地自主探究.

(3)注重几何直观的推广

数学家希尔伯特认为：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果.”本节课教师根据教学内容尝试训练学生借助几何图形解释整式乘法运算的活动，以发展学生的几何直观能力、数形结合意识.这样的活动从不同角度推导出了公式，有利于学生巩固并理解公式，也让学生体会代数运算的几何背景，问题解决过程则让学生尝试借助图形分析解释代数运算.教师往往只在几何内容的教学中重视几何直观，新课标对几何直观提出了更高的要求，需要站在整个初中数学角度重视几何直观，学会结合图形思考问题是学习数学的基本能力.学生在体验想图、作图、读图、解图、释图的过程中，真正做到心中有图，图中有数，利用数形结合思想简明答题，做到学以致用.

(4)注重代数推理的渗透

新课标中新增了代数推理内容，本节课是引导学生在代数推理归纳的过程中发现事物变化规律的方法.学生在经历试错、纠错、释错的过程中体验由特殊数值计算到一般符号公式表达的活动，感受从特殊到一般的思维过程.学生经历“观察—猜想—证明”的项目式学习过程，在数学竞赛实际情境中发现计算规律问题，提出解决计算规律问题的思路，根据问题条件和预期结论分析，构建这类计算规律的式模和图模，体验用合情猜想发现结论、用演绎推理证明结论的代数推理过程，在这个过程中理解数学、应用数学，能够有效提升学生逻辑推理的数学核心素养.代数推理重视学生提出猜想、修正完善、发现规律和证明结论的过程.

(5)注重建模思想的培养

本节课学生从现实生活的具体竞赛情境中抽象出数学问题，然后用整式建立公式表示数学问题中的变化规律，这一环节学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括判断等数学活动，完成抽象，得到式模和图模.最后利用几何图形解释模型的意义，反思模型的合理性，通过模型去求解具体问题.其过程如图2所示.

图2

4 结语

《义务教育数学课程标准(2022年版)》强化了“综合与实践”的地位，要求教师设置实践、探究、体验、反思、合作和交流学习活动，学生利用项目式学习的方式，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题.因此，教师在每学期均应选择适量的课题，设计内容丰富多彩的“综合与实践”课，让学生充分自主地参与数学活动，培养学生的数学核心素养.