考虑路面不平度的车桥耦合系统快速建模与动力分析方法

冯东明 黎剑安 吴 刚 张 建

(1东南大学混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，南京 210096)(2东南大学智慧建造与运维国家地方联合工程研究中心，南京 211189)(3东南大学土木工程学院，南京 211189)

车辆在桥梁上的行驶会引起桥梁振动，桥梁的振动又会反过来作用于车辆，两者之间相互耦合形成了动态的车桥耦合(vehicle-bridge interaction，VBI)系统.车辆荷载是桥梁受到的主要活荷载.文献[1-2]指出，车辆在较不平顺的桥面上行驶时，产生的动态荷载明显大于车辆静荷载.桥梁一旦建成，将长期受到车辆荷载的反复加载，加之车辆超载现象日益严重[3]，势必会加剧桥梁损伤[4]，加快桥梁老化，严重时将大幅缩短桥梁的使用寿命.近年来，桥梁老化崩塌和车致桥损的事件屡见不鲜，研究车桥问题对于保证桥梁正常服役、延长桥梁使用寿命都具有重要意义.此外，VBI系统还能用于桥梁的模态参数识别[5]、损伤识别[6]、路面不平度识别[7]及其他桥梁健康监测领域[8]等.可见，VBI系统在桥梁状态评估和健康预测等方面同样具有重要的研究价值.

VBI建模是研究VBI问题的基础.目前的建模手段主要分为两类：①利用自建的有限元代码建模求解；②利用通用有限元软件建模求解[9].

第1类方法在处理车辆和桥梁时可分为以下2种方案[10]：①联立车辆方程和桥梁方程，利用数值积分方法求解联立后的VBI方程组[11]，此时路面不平度被当作内部力处理.②将车辆和桥梁分成2个子系统[12]，基于车桥接触点处的荷载平衡条件和位移协调条件，利用自建的VBI系统代码进行求解.这种方法一般采用MATLAB或者Python实现，可用于模拟简单的二维VBI模型，但在针对大型三维VBI模型时则存在较大的局限性，如难以建模、多维数组计算效率低、代码复杂通用性差、交互性和可视化难以实现等.

第2类方法是利用通用有限元软件(如ANSYS、ABAQUS)模拟VBI系统.采用软件中现成的各类单元建立VBI模型，给车辆模型施加顺桥向的位移，从而模拟车辆过桥的过程.这类方法通用性较好，易于进行模型的二次开发，可实现模型的交互性和可视化，适合于建立大型三维VBI模型.然而，该方法在考虑路面不平度时也存在不足：难以施加桥梁表面的路面不平度，或需要在桥梁表面建立凹凸不平的表面轮廓单元.文献[13]利用ANSYS软件在车桥接触点处建立接触对(接触单元和目标单元)，实现路面不平度的模拟；然而，当桥梁模型自由度较多时，接触对的存在会使软件的计算量显著增大.文献[14]基于位移协调条件，利用ANSYS软件建立了VBI系统模型，并采用单轴的弹簧阻尼器车辆模型加以验证，但其建立的车辆模型较为简单，涉及复杂的动力学公式求解，且未对多种工况进行全面对比.

本文提出了一种完全基于ANSYS的车桥耦合系统的快速建模方法.该方法不需要与其他外部软件联合仿真，利用位移协调条件和荷载平衡条件即可完成VBI的快速建模，且能有效地模拟路面不平度.

1 车桥耦合系统建模

本文所采用的二维VBI系统模型如图1所示.车辆模型为具有4个自由度的双轴半车模型，桥梁模型为二维简支梁桥模型.图中，a1和a2分别为前、后轴到车体重心的距离，且a=a1+a2；x1(t)和x2(t)分别为车辆前、后轮至桥梁左端的距离，且x1(t)=vt，x2(t)=vt-a，其中，v为车速，t为时间；r(x1(t))和r(x2(t))分别为x1(t)和x2(t)处桥梁上的路面不平度；Ks1和Ks2分别为前、后轴悬挂系统的刚度系数；Cs1和Cs2分别为前、后轴悬挂系统的阻尼系数；Kt1和Kt2分别为前、后轮胎的刚度系数；Ct1和Ct2分别为前、后轮胎的阻尼系数；mt1和mt2分别为前、后轮的质量；mv和Iv分别为车体的质量和转动惯量；zv(t)为车体竖向平动位移；θv(t)为车体转角位移；zt1(t)和zt2(t)分别为车辆前、后轮竖向平动位移；fc1(t)和fc2(t)分别为前、后轮作用在桥梁上的荷载；yc1(t)和yc2(t)分别为前、后轮处桥梁位移与路面不平度之和；L为桥梁长度；EI为桥梁的抗弯刚度，其中E为桥梁弹性模量，I为桥梁惯性矩；ρ为桥梁的密度；ξ为桥梁的阻尼比.

图1 车桥耦合模型示意图

1.1 路面不平度

路面不平度是影响VBI系统的关键因素，较差的路面会显著增加车辆荷载和桥梁响应的振动幅度.基于国际标准[15]提供的路面功率谱函数，利用谐波叠加法[16]模拟路面不平度分布，公式如下：

(1)

(2)

(3)

式中，K为路面空间频率点总数；S(fk)为第k个空间频率fk对应的功率谱密度函数，且fk=kΔf；f0为国际标准[15]提供的路面分级系数；fl为最小空间频率，一般取为0.011 m-1；fu为最大空间频率，一般取为2.83 m-1；φk为服从[0,π]均匀分布的第k个相位角.

1.2 车辆模型

车辆模型的运动方程为

(4)

式中

fc1(t)=-W1+Kt1(zt1(t)-yc1(x1(t),t))+

(5)

fc2(t)=-W2+Kt2(zt2(t)-yc2(x2(t),t))+

(6)

式中

yc1(x1(t),t)=yb(x1(t),t)+r(x1(t))

(7)

yc2(x2(t),t)=yb(x2(t),t)+r(x2(t))

(8)

式中，W1=(mva2/a+mt1)g为前轮的静荷载；W2=(mva1/a+mt2)g为后轮的静荷载；yb(x1(t),t)和yb(x2(t),t)分别为x1(t)和x2(t)处的桥梁位移.

在ANSYS软件中，利用MASS21单元模拟车体质量点，其中KEYOPT(3)=4，车体包含浮沉(UY)和俯仰(ROTZ)两个自由度.采用MPC184单元将车体质量点与车体其他节点连接，从而将上部车体模拟为一个刚性体，其中KEYOPT(1)=1.利用MASS21单元模拟车轮，其中KEYOPT(3)=3，车轮仅包含浮沉(UY)自由度.采用COMBIN14单元连接车轮和上部车体，以模拟车辆的悬挂系统，其中KEYOPT(2)=2.利用COMBIN14单元连接车轮和车桥接触点，以模拟轮胎的刚度和阻尼，其中KEYOPT(2)=2.

1.3 桥梁模型

桥梁模型采用BEAM3单元模拟，其运动方程为

(9)

Fint(t)={fc1(t),fc2(t)}T

(10)

Nb(x,t)=

(11)

式中，H1((x1(t),t))和H2((x2(t),t))分别为x1(t)和x2(t)处桥梁的Hermitian形函数.采用有限元法求解VBI问题时，车辆荷载不会完全作用在节点上，故采用Hermitian形函数将车辆荷载分配到桥梁的各个自由度上.

1.4 VBI系统模拟方法

VBI系统的模拟方法主要包括初始化部分和迭代部分.

初始化部分的步骤如下：

①定义初始时间步；

②定义车辆和桥梁的初始条件，本文假设车辆和桥梁在初始处是静止状态；

③计算车辆静荷载，并将其施加到车桥接触点处；

④根据式(7)和(8)计算车桥接触点处的桥梁位移和路面不平度之和，并将其作为边界条件施加到车轮上；

⑤求解车桥耦合模型.

迭代部分的步骤如下：

①定义新的时间步；

②假设积分步长为Δt，将车桥接触点向前进方向移动Δx，且Δx=vΔt；

③提取上一时间步中车辆和桥梁的竖向位移，利用差分法计算车辆和桥梁的竖向速度；

④根据式(5)和(6)计算车辆荷载，并将车辆荷载施加到车桥接触点处；

⑤根据式(7)和(8)计算车桥接触点处的桥梁位移和路面不平度之和，并将其作为边界条件施加到车轮上；

⑥求解车桥耦合模型；

⑦循环迭代，直至车辆离开桥梁.

以上所述的VBI系统模拟方法完全基于ANSYS软件，仿真过程中无需建立引桥.但当需要考虑车辆上桥前的振动时，也可建立引桥并施加路面不平度.由于理论解的程序没有建立引桥，为了尽量与该程序保持一致，本文建立的ANSYS车桥耦合模型也没有建立引桥，此时车辆的初始振动状态为0.在这种情况下，只有当车轴位于桥上时，该车轴才与桥梁进行耦合；若车轴未进入(或离开)桥梁，对应的车轴将受到约束，停止与桥梁耦合.

2 数值模拟

以图1所示的VBI系统模型为对象，在ANSYS软件中建立了与之相对应的有限元模型.车辆和桥梁参数见文献[17].桥梁的前5阶自振频率分别为3.90、15.61、35.12、62.43、97.54 Hz；车辆的各阶自振频率分别分0.76、1.42、6.34、6.42 Hz.

车速和路面不平度是影响VBI动力响应的重要因素.为了验证本文方法在不同工况下模拟VBI系统的准确性，考虑了4种不同的路面(光滑、A级、B级和C级路面)和4种车速(10、20、30、40 m/s).

利用Newmark数值积分方法[18]求得VBI系统的理论解，并与本文方法的模拟结果进行对比，以验证本文方法的准确性.采用归一化均方根误差(NRMSE)作为模拟结果的误差量化指标，其计算公式为

(12)

式中，ε为仿真误差；ySj、yTj分别为模拟结果和理论解中的第j个数值；yTmax、yTmin分别为理论解中的最大值和最小值；J为数据点总数.

2.1 路面影响

本文采用的光滑、A级、B级和C级路面在空间域中的分布如图2所示.车速为20 m/s时，4种路面不平度下的桥梁响应模拟结果分别见图3～图6，对应误差见表1.由图2可知，位移和加速度的模拟值与理论解基本吻合.由表1可知，位移误差为0～2%.由于桥梁加速度包含较多的高频信号，其误差较位移误差略高，误差值约为4%，但仍处于较低的误差水平.这说明采用本文方法能够在ANSYS软件中准确地模拟VBI系统，且有效模拟了路面不平度.

图2 路面不平度的空间域分布

表1 不同路面下的桥梁跨中响应误差 %

(a) 位移时程

(a) 位移时程

(a) 位移时程

(a) 位移时程

2.2 车速影响

采用A级路面，车速为10、20、30、40 m/s时的桥梁响应模拟结果见图4和图7～图9，相应的误差见表2.由图可知，不同车速下模拟结果与理论解基本一致，桥梁位移误差小于1%，加速度误差仅为4%左右.这说明所提方法能在不同车速下准确地模拟VBI系统.

综上所述，采用本文方法可以在ANSYS软件中准确地模拟VBI系统，模拟精度几乎不受车速和路面不平度影响，模拟结果与理论解基本一致.

表2 不同车速下的桥梁跨中响应误差

(a) 位移时程

(a) 位移时程

(a) 位移时程

3 结论

1)本文方法是一种完全基于ANSYS软件的方法，无需借用其他外部软件即可实现VBI的快速建模.

2)模拟结果与理论解之间误差较小，桥梁位移误差不超过2%，桥梁加速度误差仅为4%左右.

3)本文方法无需划分微小的路面轮廓单元，也无需建立复杂的接触单元，而是将路面不平度的幅值与桥梁位移合在一起作为车辆模型的边界条件，简单有效地模拟了路面不平度.

4)不同车速下，本文方法依然能准确地模拟车辆在桥梁上的行驶过程，且模拟精度几乎不受车速影响.