2022年高考数学北京卷第10题赏析

摘要：涉及平面向量的数量积问题，是新高考中比较常见的一类基本题型，往往是平面向量中“数”与“形”的和谐统一，巧妙融合“动”与“静”，巧妙实现向量概念、代数与几何等不同知识模块之间的统一.结合一道高考题，分析平面向量数量积取值范围的多种解法，进而进行变式拓展与应用，突出数学技能与核心素养的综合，引领并指导数学学习与解题研究.

关键词：平面向量；数量积；三角形；基底；极化恒等式

4 教学启示

4.1 技巧策略，归纳总结

解决此类平面向量数量积的值、最值或取值范围等问题，常见的技巧策略总结如下：

（1）坐标法.借助平面直角坐标系的合理构建，利用坐标表示与坐标运算，将问题转化为相关的函数（或三角函数）问题来求解.此方法比较容易想到，特别在涉及一些有直角、垂直等要素的平面几何图形时，经常采用此方法来解决.

（2）基底法.借助平面向量基底的合理选择，利用平面向量的线性运算与数量积公式等，结合平面几何特征与图形直观来求解.此方法的关键就是进行平面向量的合理转化，思维量相对复杂一些，也是比较常用的一种方法.

4.2一题多变，深入探究

对于平面向量的一些创新、综合与应用问题，可以合理深入挖掘，形成变式拓展，构建知识网络，从更多层面、更多视角进行深入思考.题目背景、条件要素、结论创设等各个视角都可以加以拓展，真正实现“一题多变”“一题多得”的良好效果，达到做一题、懂一片、会一类，脱离“题海战术”，拓宽数学基础知识，切实提高数学能力，真正达到举一反三、融会贯通的效果.