巧用错题资源，提升数学能力

桑代克认为：“学习就是不断进行错误尝试的过程.”如何让错误成为学习的台阶？怎样让学生在不断的尝试中获得进步？作为教师，首先要了解学生产生这种错误的根源，充分利用错误发生的原因引导学生用实践、猜想、验证与提炼等手段借“错”发挥，以完善学生的认知系统，启发思维，提高解题能力.

1 主动

高中阶段是培养学生数学核心素养的关键期.此阶段的学生已经有较强的逻辑思维能力，对学习与生活拥有着自己独特的认知.布鲁纳（T·S·Bruner）在发现学习理论中提出：“学生在教师的引导下，积极、主动地探究与思考问题、发现问题，并自主提出解决方案，可获得新的结论.”［1］由此可见，学生的身份不仅仅是一个单纯的被动学习者，还应是具有自主性与主动性的发现者.

学习过程中出现各种错误在所难免，面对错误是听之任之、不管不顾，还是做一个主动的发现者与纠错者？很显然，做一个善于思考的发现者对提升自身能力具有显著帮助.面对教师批阅后的错题，学生在教师评讲前可自主探索问题的解决办法.

例1 已知an和bn均为等差数列，Tn，Sn分别是它们的前n项的和，如果TnSn=3n+42n+1，求a8b8的值.

错解1：假设Tn=k（3n+4），Sn=k（2n+1），经计算可得a8b8=32.

错解2：假设Tn=3n+4，Sn=2n+1，可求出a8=T8－T7=3，b8=S8－S7=2，根据这两个式子可得a8b8=32.

这是常见的两种错误.为了鼓励学生养成主动纠错的习惯，笔者在批阅完毕后先将试题发给学生，并提出：本题对于大多数学生而言，难度并不大，只要稍加思考就能解决问题.大部分学生听到教师如此说，不由地产生了探究的热情.

本题出现以上两种解题错误的原因是没有完全掌握等差数列前n项和的公式.等差数列前n项和公式形如Sn=an2+bn，所以应设Tn=kn（3n+4），Sn=kn（2n+1），由此可求出a8b8=4931.

学生在对自己所出现的错误原因进行分析时，不禁感叹：“意料之内的灵感，意料之外的错误.”本以为自己解题完美，却存在漏洞，真的是出乎意料.此类错误是完全可以避免的，只要在解题时稍加思索，对数列前n项的和理解透即可.

主动纠错不仅体现在教师批阅后的练习中，还可运用于合作学习等环节，学生在集思广益的讨论与交流中，往往能发现自己思维上的不足之处，从而主动纠正错误.作为教师，应不断强化学生主动纠错的意识与行为，对自主发现错误并纠正错误的行为给予适当的赞扬与鼓励，让每个学生都能形成主动纠错能力.

2 及时

新课标倡导“减负增效”，教育学家提倡“时效性”，纠错一样需要讲究“及时性”.对于面临高考的学生而言，时间尤为宝贵.因此，面对错误的发生，教师应鼓励学生趁热打铁，及时订正，以达到及时巩固提高、查漏补缺的目的.但有很大一部分学生认为只要完成作业，学习任务就结束了，这种思想弱化了错题的反思提高功能.因此，教师应鼓励学生在面对错题时，从以下几点做起：

（1）自己会，却做错的题

首先要分析错误产生的原因，厘清错题的具体解题思路与方法.作为教师，应及时统计分析每道题的错误率与错误根源.针对共性错误，教师需在课堂中及时与学生讨论、分析，一起寻找解决办法；对于个性化的错误，教师可通过单独沟通的方式来解决问题.

（2）自己不会，但同学会的题

新课标倡导学生要在合作中共同进步与成长.面对一些自己不会，而同学却会做的题，学生可通过与同伴的交流，及时获得解题方法.不少学生在同伴的提示下，发现自己离成功的距离特别近，只要思维稍微往深一点点，即可让问题变得豁然开朗.小组合作学习也由此诞生，学生在合作中逐渐获得良好的团队精神与合作习惯.

（3）自己和同学都不会的难题

遇到真正的难题，最好的办法就是教师设计逐层递进的问题来启发学生思维，同时鼓励学生进行合作探究.学生在由浅入深的问题引导下思维逐渐开阔，学习氛围渐趋浓厚，探究效果自然会有所提升.当然，此过程需在课堂上就完成，如此才能从真正意义上实现巩固与提高的目的.同时，教师及时的督查、提问等都是纠错的催化剂.

3 务实

学生对知识的掌握程度，教师一般都是通过学案的批改而得知.因此，学生在做作业时，需要做到真实、务实两点.所谓真实就是不可以通过网络查阅资料或抄袭同学的作业来完成练习，否则教师就无法了解真实的情况.只有独立完成的作业，才能真实地反映出学生对知识的实际掌握程度，教师也能通过作业的真实情况来调整教学方案.

务实主要是指解题态度与方法，不能凭借自己的猜测或特殊化的方法来解题.只有掌握好一类题的通法，才能真正获得举一反三的能力.因此，面对试题，我们要注重命题者的出题的意图与考查目的，在务实求真中才能真正地提高解题能力.

例2 △ABC满足AB=2，AC=2BC，此三角形面积的最大值是多少？

这是高三复习阶段笔者给学生练习的一道题，此题是作为课后作业布置的，学生解题的正确率相当高.这本是件值得高兴的事.但在一个偶然的契机，笔者了解到此题在高二学习阿波罗尼斯圆时，教师就重点讲过此题，学生对此题的答案记忆比较深刻，但对于解题过程与方法，很多学生已经不记得了.

为此，笔者就例2提出了一个问题：已知一个等腰三角形ABC，腰上的中线CD的长为定值l，试问该三角形最大面积为多少？

大部分学生面对此题，提出用函数思想来解决，只有极个别学生提出用阿波罗尼斯圆来解决.由此，带给我们一个思考：学习必须务实，只有踏踏实实地掌握所学内容，才能真正地理解与掌握解题方法.

当然，务实除了表现在解题过程与方法中以外，还表现在纠错订正过程中.只有将错题认认真真地研究透彻，才能从根本上纠正错误，避免类似情况再次发生.面对错题，若只是蜻蜓点水似地大概了解下解题过程，把正确答案往旁边一写就草草了事，那肯定无法弄清错误产生的本质，下次题目稍微发生点变化，又会出现与原来类似的错误.

4 高效

错误的发生、发现、解决需要一个过程，而这个过程的长短则决定了纠错的效率.这就如同一份新鲜的海鲜，当时发现少了点盐，添一点继续吃会觉得依然美味，让人回味无穷；若过了两天再去吃，已经不再新鲜，不管添加多少作料，都无法弥补错过的时光.纠错也是一样，趁热打铁会增加学生的记忆力与理解程度，进而提高纠错效率.

作为教师，对学生的作业，应做到及时批改、沟通，对学生的情况了如指掌.如此则能制定更加人性化与个性化的学习计划，避免错误的再次发生.而作为学生，一旦发现错误，就应该从自身找原因，只有不断提高听课效率，积极参与教学活动，增强学习的主动性，才能真正达到高效的目的.

务实高效纠错习惯的形成，能让学生从更深的层次思考问题，遇到稍有难度的问题也不会选择逃避.学生纠错态度的逐渐转变中，行为习惯也逐渐发生变化，而这些点点滴滴的变化则为学生建立了学习的信心.学生在高效纠错过程中感知数学的魅力，使得纠错成为一种能力，一种享受.

总之，学习不是被动接受的过程，而是主动参与的过程.纠错更离不开学生的主动与积极，只有找准错误发生的原因，才能彻底厘清知识脉络，获得触类旁通的解题能力.正如罗杰斯所认为的，学生才是学习的主人.因此，在新课改的背景下，教师更应认识到纠错的重要性，让课堂真正成为学生成长的阵地，让错误成为学生进步的催化剂.

参考文献：

［1］杨翠蓉，周成军.布鲁纳的“认知发现说”与建构主义学习理论的比较研究［J］.苏州教育学院学报，2004（2）.：27-31.