高考数学中的“本手”“妙手”“俗手”

摘要：2022年新高考Ⅰ卷数学试题关注数学的本质，强调理性思维的价值，在数学的基础性、综合性、应用性、创新性等方面都进行了全面深入的考查，很好地发挥了数学学科高考的选拔功能.本研究点出了一些待商榷改进的地方，并针对试题从运算量过大，坡度大、区分度小，难度有些集中等几方面，提出几点改进建议.

关键词：试卷分析；优点；缺点；改进建议；应对策略

作为“双减”后的高考数学Ⅰ卷，因其题型新、难度高、计算量大，充满挑战而久居热搜.但这些“超难”的数学命题却符合“双减”背景下以能力立意的命题原则，符合新课标数学核心素养培养方向，回归数学基本定义，强调用数学语言表达问题，用数学思维解决问题，提升学生综合素质，达到选拔人才的目的.

1 重在“本手”之基础能力考查

试题回归数学考纲本源，主要考查基本概念、常见方法、传统考点.三角函数部分主要考查三角函数的图象性质、解三角形（6，18）；数列部分主要考查数列的性质、数列求通项、数列求和（17）；立体几何主要考查空间几何体的位置关系、求角、求各种距离及八大定理（4，8，9，19）；圆锥曲线主要考查求圆锥曲线的方程、定义、直线和曲线的位置关系（11，14，16，21）；概率统计主要考查计数原理、条件概率、数字特征及统计分析（5，13，20）；导数主要考查构造函数、导函数与单调性、应用导数研究函数（7，10，12，15，22）.

从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思维和方法的掌握程度.

回归数学思想本源.试题考查综合运用各种数学思想的能力，试卷贯穿对函数与方程思想（6，8，12，15，16，21）、数形结合思想（3，4，8，9，10，11，12，14，16，19，21，22）、分类讨论思想（5，8，13，14，22）、化归与整合思想（8，12，17，18，22）以及思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力与创新意识等全方位的考查.

重视数学抽象符号和数学推理的考查.数学符号是对数学问题的抽象和概括，提高数学抽象符号的理解运算能力，才能加深对数学问题本质的理解.第12题要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数的概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高要求，对抽象数学符号思维的考查也很深入.第20题用条件概率证明也是较复杂的抽象字母的运算，考查学生后续学习数学的能力.

2 贵在“妙手”之命题“三增三减”

2.1 一增“思考量”减“刷题量”

根据数学学科特点和选拔功能的需要，试题的难度设计有层次性，在思维的灵活性和深刻性，方法的综合性、探究性等方面科学把握试题的思维深度，要求学生具备解决较复杂问题的综合素养和关键能力，体现高考数学的选拔功能.

第7题极具挑战性.如果用函数与导数的思路求解，需要学生有很强的观察能力和构造函数的能力.如果用二项式定理展开式求解，也需要学生的观察力和思维能力以及对放缩法和估算法的灵活运用.如果用泰勒公式估算，要求学生深入钻研课本上的习题并加以拓展或者有竞赛功底.第12小题考查学生抽象思维能力，需要学生有较强的逻辑思维能力，若缺乏对函数及导数本质内涵的理解，则刷再多的题也是白搭.第14小题，要求学生写出一条直线方程，为不同层次的考生给了不同层次的思维空间，对知识之间的联系、直观想象素养、数形结合思想作了深入的考查，鼓励学生运用创造性、发散性思维分析和解决问题，考查思维的灵活性和深刻性，具有很好的区分度.解答题17题把构造数列、用叠乘法求通项和用裂项法求和数列的三个难点糅合在一起，每一步都需要学生思考透彻，形成闭环式知识系统.解答题20题考查学生对条件概率定义的理解及代数的证明，回归数学本质，考查学生数学素养.

2.2 二增“新题型”减“套路题”

试题突出对学科基本概念、基本原理的考查，强调知识之间的内在联系，引导学生形成学科知识系统.多知识点综合考查的题目增多.第12题对数学符号的理解、函数与导数的关系、偶函数的定义、图象的平移、函数图象的对称问题都作了深刻的考查，体现知识的相互交汇融合，要求学生有一定的数学思维素养和综合解题能力.第20题考查运用条件概率的公式进行证明，对数学抽象符号的理解及代数证明题有很高要求.第17题考查了构造法求数列、叠乘法求通项、裂项求和，一道题把数列主要的知识揉在一起，强调知识的内在联系，引导学生建立知识体系.第18题把倍角、半角公式与用正、余弦定理解三角形组合在一起，是一种全新组合.第19题一改传统第一问用“八大定理”来证明线线、线面、面面的平行和垂直的关系，而是求点到面的距离，考查学生的应变能力.第20题以现实生活中的医疗卫生为例，关注数学运用，设计统计概率应用题，考查学生对独立性检验、条件概率定义的理解，考查代数证明，改变以往主要对运算的考查，引导师生重视实验和数学运用，特别是回归数学定义的考查，都是减少套路的新颖题型，极具创新.总之，每一道大题无论从知识的交叉考查力度、难易的坡度，还是试题的样式都焕然一新.

2.3 三增“重点内容”减“面面俱到”

从数学知识面上看，重点知识重点考.其中第7，10，12，15，22题全部考查导数知识，共计32分.高中导数内容是联系中学数学与高等数学的纽带，是整个微积分学中的基础部分，也是最重要的部分，有助于考查学生进入高校继续学习的能力.第5，14，20题考查统计，计20分.在当今信息时代，概率统计知识在科学研究、工程技术、人文社会科学以及经济生活中的作用越来越重要，高中的概率与统计知识是大学学习概率论与统计论的基础.第11，14，16，21题考查解析几何，计27分.考查了直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的知识，重点考查学生用代数方法研究几何问题的能力.第16小题以椭圆为载体，考查解析几何中的“设而不求”法以及椭圆的第一定义；用弦长公式，思路常规，但运算量大；如果用焦点弦坐标公式，运算量小，但思维灵活性高；用椭圆的焦点弦倾斜角公式来求是最快的，但只有那些特别善于钻研的学生才知道这个公式.第4，8，9，19题考查立体几何，计27分.重点考查学生的空间想象能力.第9题考查线线角及线面角，选取正方体的对角线以及对角面这些代表性的几何元素，考查基本点、线、面的关系，八大定理的证明以及三种角的计算能力.

3 规避“俗手”之妙招

3.1 “运算量大”的应对妙招

第7，8，11，12，15，16小题均涉及大量运算，第21题连续两问都需要大量计算.第11，16，21三道解析几何题更是把运算考到极致，运算耗去太多时间，并且这三题有重复计算的嫌疑.比如第16题大部分学生只会想到用弦长公式求解，而用弦长公式就要求将直线与椭圆方程联立再用韦达定理计算，这样一个填空题就变成一道大题的运算量，短时间内根本无法算出，就算算出来了，也变相挤占了解其他题的时间；同时这个运算和21题的直线和双曲线方程联立用韦达定理计算明显是重复的.大多数学生做不完试卷.应对大题妙招，首先预估计算量，选择最优解题法：转化条件→选定主元→代入运算.而每一步都需要掌握多种方法和技巧，练好本手，提高效率.应对小题妙招，拓宽知识面，挖掘常见的二级结论.比如第16小题用焦点弦倾斜角公式最快.

3.2 “坡度大辨识度小”的应对妙招

第7小题是导数压轴题的难度，放在此位置，“坡度”有些陡.第8小题运算量大.填空题基本没有送分题.第17，18题，以往是“送分题”或分步送分，但今年考生得分要么零分，要么满分.应对妙招：全面理解，吃透原理，避免死记硬背、刷题突击，提升分析推理能力以及灵活运用多个知识点综合解决问题能力.

3.3 “难度大区分度小”的应对妙招

整个试卷逐题看，不是特别难，但是把较多中偏难题放在一起，感觉学了三年数学就像没有学习一样.应对妙招是科学合理安排答题顺序、培养应考心态.改变学习方式，不仅学会，更要会用；不仅要练，更会复盘，从多个角度分析思考问题.

求木之长者必固其根本，欲流之远者必浚其泉源，练好本手、方得妙手.思维量大，仅仅靠“刷题”不行；运算量大，盲目“刷题”亦不行.规避俗手方法：只有立足基本功，回归数学本质，融会贯通，培养学生抽象逻辑思维能力、计算能力，提高空间想象能力，随机应变，夯实综合运用数学思想解决问题的能力，转变应试思想，才是高考备考必须具备的新思路.