追寻问题本源 培养关键能力

摘要：2022年全国新高考Ⅰ卷数学试卷难度大幅增加，引起广泛热议.本文中以该卷为例，试图分析“双减”背景下的高考数学试题命题特点与趋势，从部分试题中探究高考的考查导向与难度变化，为2023届高考复习提供思路.

关键词：新高考Ⅰ卷；双减；数学试题；高考复习

题5 （新高考Ⅰ卷，19）如图2，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22.

（1）求点A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：此题难度等级为B.

第（1）问由等体积法运算即可得解；

第（2）问由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABB1A1.

建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

点睛：本题考查了三棱柱的体积公式、点到平面距离的求法和空间法向量的应用.解题关键有两点.一是要注意两个平面法向量的夹角与对应二面角的平面角间的关系，善于利用几何体中线线垂直关系建立空间直角坐标系；二是在求二面角的正弦值时，要防止求平面法向量出错、选用公式出错和空间中的点线面位置关系弄错.

2.4 渗透思政德育，关注数学应用

例如第4题，以南水北调工程为素材，考查学生空间想象能力、运算求解能力，渗透了数学抽象、数学建模等核心素养，也引导学生关心国家重大建设成就，增强社会责任感.第20题以疾病与卫生习惯的关系为背景，“以生考熟”，考查独立性检验和条件概率.第20题第（2）问的第（i）问“颇具新意”，考生“望而却步”，实际上很简单，仅仅只是条件概率公式的应用，但是对学生的阅读理解能力、临场应变能力和基础知识的熟练度提出了较高要求.

题6 （新高考Ⅰ卷，4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（7≈2.65）（" ）.

A.1.0×109 m3

B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3

D.1.6×109 m3

分析：此题难度等级为B.根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求解.

点睛：本题考查了棱台的概念、性质及体积公式，还有近似计算.解题关键是记准台体的体积公式，还要注意应用问题中量的单位要统一，在计算过程中要根据题设条件有效分离出7单独计算，优化算理，减轻计算量.教师教学时要注意“情境教学”，拓展“新情境”下的数学问题，加强数学建模训练，提高数学应用能力.

3 备考启示

2023年将是新高考Ⅰ卷使用省份真正全面实施“新课标”“新课程”“新教材”“新高考”（俗称“四新”工程）的元年，“新课标”就是“新考纲”，主旨要求就是落实“四基”“四能”和六大“核心素养”；教学要求就是要以学生为主体，开展研究型和创新型教学；备考要求就是用高考引领高中教学而不是要高考去适应高中教学.“双减”政策在新高考中的落地就是要让教育回归学生的天性，回到学生成长的本真上.因此，复习备考时，抓住三个关键：一是研“标”回“本”明方向，二是点面结合抓落实，三是扎实推进重习惯.

3.1 重视教材，回归本质

历年高考题中都会有一些题目来源于对课本题目的改造、延伸与拓展.加强对课本题目的研究，弄清命题者的意图，深究本质，并且可以尝试着让学生改编课本习题，锻炼思维能力，也不失为一种好的复习方式！例如，本试卷第12题考查的是抽象函数图象对称性问题，在新人教A版必修一第87页的“拓广探索”里就有介绍.虽然新高考对重点知识的考查难度升级，曾经的冷门知识进入重点考查行列，更加注重创新能力和知识的全面考查，更加凸显六大核心素养等新趋势或者新变化，但是新科技（5G的应用、大数据技术和AI技术等）革命也会给高中数学教学带来一场新变革.因此，备考中教师要更加要求考生打好基础，学好学科本源性方法，淡化特殊技巧与结论，强调通性通法的灵活应用，用直觉思维代替“机械刷题”形成的模式与套路，用创新题考查知识与方法的快速迁移代替“快餐式”教学产生的押题与磨题.

3.2 重视学考衔接，培养运算推理能力

计算是“童子功”，逻辑推理是“命根子”.教学中多设计学生参与的环节，鼓励他们成为课堂主角，以部分优异带动整体氛围，以学生之口代替教师之口，把课堂变成学生施展才华的空间，而不是教师的“报告会”.2022年高考数学题大家都反映计算量很大，这也体现了高考对数据计算和数据分析能力的要求，几乎所有的试题都呈现“思维+推理+计算”的三维作战术.例如第7，8，11，14，15，16，18，21，22等题，对计算能力很弱的同学绝对是“噩梦”.教师要指导学生坚持积累运算技巧，优化算理，提高运算熟练度及准确度，积累运算经验，用草稿纸的厚度换取计算能力，增强解题逻辑分析能力和计算基本功！

3.3 创新问题呈现方式，尽量“以生考熟”

2022年的数学试卷还发出了一个新的信号，就是过度基于现在的题海去应试，在高考中并不是有效的.我们要倡导怎样用数学知识、思维与方法去解决一些“活”的问题.这些问题的解决是得分的基本来源.例如第20题，对条件概率的考查，难度不大，但“耳目一新”，学生会在心理上觉得“难”.再如，2021年全国乙卷理科第9题，试题以“《海岛算经》中测量海岛的高”为背景，在初中数学教材中“测量建筑物的高度”的基础上进行创新，贯通了初高中知识的衔接与融合，既结合了跨学科知识，又展现了数学之美.所以，平时训练应当尽量避免枯燥的重复练习，在问题呈现与表达方面多变点花样，多让学生感受到“新鲜”感；注意知识运用的“纵向深入”与“横向联结”的双重训练，使学生在潜移默化中锻炼关键能力.这也是“双减”政策的应有之义.新高考要出新，首先就是各知识点出题的位置不能固化，但试卷总体结构还是要由易到难，所以带来了各知识点难度的大循环.这也不失为2022年高考试题命制的创新之处.

总之，在“双减”背景下，高考数学试题命制反猜题、反套路、反常规会越来越明显，中档题试题难度加大、题量增多，都会对考生提出更高要求，这是一种强烈的信号.新课标与新大纲领衔的“整体难度可控，各模块难度不可控”的出题风格，对六大核心素养的更深层次考查，将会导致新高考命题者放飞自我，题目会更加灵活多变，创新力度加大，今后的高考将会以选拔高质量的创新性人才作为主要目标，用高考来引导高中数学教学，回应“钱学森之问”.