一堂“均值与方差的实际应用”课的选题立意

摘要：新的高考制度指引着高考试题的考查方向，概率与统计是高中数学课程内容中一条突出的主线.对这部分内容的考查往往基于生产、生活、科研等背景，需要学生在掌握概率与统计中知识点的基础上，具有读功、算功、说功.借助一节高三二轮复习课的选题立意，论述对学生读功、算功、说功的训练和引导.

关键词：概率与统计；均值与方差的应用；读功；算功；说功

1 背景

高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，而且数学建模活动中也包括概率与统计的应用，所以“概率与统计”在高中数学课程中的地位更高了.高考中概率统计内容的考查试题富有时代气息，基于生产、生活、科研等背景，展现“互联网+”大数据时代特色.通过创设源于社会生活中的真实情境，注重学生解决实际问题的能力，以此考查学生的阅读、识图、计算、表达等能力，以及数学建模、数据分析、数学运算等核心素养.

为了更清楚地了解概率与统计在全国卷中的考查情况，笔者统计了近七年全国卷中概率统计大题考查位置和具体方向.笔者发现其中均值与方差部分的考查频繁，并对此类问题进行了研究归纳，然后以此为方向在一次无锡市级公开课中执教的一节高三二轮复习研讨课“均值与方差在实际问题中的应用”，获得了专家好评.下面对本节课的选题立意作出整理和说明，希望得到同行和专家的指正.

2 例题及选题立意

例1 （2017年全国Ⅱ卷）养殖场进行水产品的新、旧养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图1与图2：

请根据频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.

解析：方法一：通过两种养殖法下水箱的产量频率分布直方图计算平均产量 x和方差s2.

方法二：通过观察两种养殖法下水箱的产量频率分布直方图可以看出，旧养殖法下每箱均产量在45～50 kg，新养殖法下每箱均产量在50～55 kg，而且新养殖法比旧养殖法分布更集中.说明新养殖法产量高且稳定.

题目特点：产量信息统计以频率分布直方图呈现，直观明了，但是数据多不利于计算；问题较含蓄，比较优劣的维度需要选择.

选题立意：（1）关于均值和方差的比较，常规方向是选择计算，因此学生容易产生惯性思维.其实还有一个方向，那就是在不需要具体数据的前提下，如果频率分布两边较对称，可以大致看出产量的均值和集中程度.

（2）这是一个半开放式问题，学生不但要会做题，还要会表达.新课程标准提出要培养学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，也要会用数学的语言表达世界.

（3）这是一道较为简单的均值、方差公式运用问题，为例2作铺垫.

例2 王强在某家物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪方案.方案一：底薪100元，每派送一单另奖励1元.方案二：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.根据这家物流公司派送员100天的派送记录，在这100天中的派送量指标满足如图3的频率分布直方图，其中当某天的送派量指标在2（n－1）10，2n10（n=1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50+2n单.将频率视为概率，请根据统计学的思想，帮助王强分析选择哪种方案比较合适，并说明你的理由.

解析：设方案一的日薪为X，则X=152，154，156，158，160，可得

E（X）=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4（元）.

设方案二的日薪为Y，则Y=140，152，176，200，

可得E（Y）=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6（元）.

又发现方案一日薪的分布比方案二更集中，说明方案一的收入更稳定.

回答一：虽然方案二日薪均值相对略高，但与方案一的差距很小，且方案二的方差远大于方案一，说明波动性大，风险大，所以选择方案一.

回答二：方案二日薪均值较高，故选择方案二.

题目特点：题目篇幅较长信息数据多；问题委婉，决策标准需要选择.

选题立意：（1）解答本题既要会阅读图表语言也要会阅读文字语言、符号语言，如果没有相应的知识作为基础，读起来晦涩难懂，无法抓住题目的有效信息和关键.

（2）需要整合数据.数据信息多、乱、杂，需要学生分析材料，准确找出材料中的关键信息，并结合所有核心信息选择合适的方法重新整合.

（3）匹配数学模型.能联想学过的数学知识和数学模型，进行融合，得出解决策略.

（4）数据分析.决策性问题的结论需要数据又不完全依赖数据.本题中两个方案的均值非常接近，但当决策者要求不同，可能会有不一样的决策方案.

例3 新能源汽车技术日益成熟，产品越来越受到大家欢迎.某新能源汽车在A地预售，预售场面异常火爆，所以经销商决定采用竞价策略，规则如下：（1）竞价者网络报价，不知道其他竞价者的报价和参与竞价的总人数；（2）当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某市场调研机构利用回归分析预测了今年11月份拟参加竞价的人数为2万，并对其中200位竞价人员的报价进行了抽样调查，得到如下表的频数表：

假设所有参与竞价人员的报价X服从正态分布N（μ，σ2），μ与σ2分别由表中所示的样本平均数 x和s2估计.若11月计划提供的新能源车辆数为3 174，根据调研，得知最低成交价高于样本平均数 x，请预测最低成交价.

参考公式及数据：①6.8≈2.6；

②若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σlt;Xlt;μ+σ）=0.682 6.

解析： x=7×0.1+9×0.3+11×0.3+13×0.15+15×0.1+17×0.05=11（万元）.

易得s2=6.8，且x～N（11，6.8）.

设最低成交价为x0（x0≥μ），则

P（X≥x0）=3 17420 000=0.158 7.

又P（μ－σlt;Xlt;μ+σ）=0.682 6，则

P（X≥μ+σ）=1－0.682 62=0.157 8.

所以x0=μ+σ=11+6.8≈13.6（万元）.

故今年11月份预测的最低成交价为13.6万元.

题目特点：问题背景新潮实际，题目篇幅长、信息数据多；正态分布的均值与方差的应用.

选题立意：（1）本题以统计思想为引导，从统计角度求得概率，让概率为统计服务，考查样本估计总体的思想，体现了数学的应用价值.

（2）本题是例1和例2用均值和方差作为决策依据的延伸，考查等价转换和数形结合思想.

（3）考查正态分布的含义.

3 教学反思

有关概率统计应用部分的教学选题，要侧重关注以下三个方面：

（1）关注阅读，培养读功

高考越来越重视对数学阅读能力的考查.理解数学语言是数学阅读的核心问题，需加强三种类型数学语言的阅读：一是图表语言；二是实际生活语言；三是复杂的数学关系.培养学生在短时间内用统计的眼光阅读材料，整合数据，进而解决问题的能力.

（2）关注运算，培养算功

从课标卷来看，概率计算问题，既注重计算概率的基本根据——计数原理的应用，更注重从统计的观点来计算概率，尤其在统计与概率的解答题中体现地淋漓尽致，是新课标理念的极致体现.一方面要加强必备知识和主线核心内容，熟练使用公式和常用数学模型，注意运算技巧；另一方面也要关注统计图表的本质，在一些决策问题上能多想一点、少算一点.

（3）关注表达，培养说功

增加对数据解释的开放性，包容多种解释，学生只要给出一种解释，或者其他合理的解释都可以.鼓励学生创造性地回答问题，体会评价的满意原则和加分原则.培养学生用统计语言去表达实际问题和形成决策知识的能力，体现统计的应用价值.