基于课堂教学的数学建模能力培养策略研究

1 问题的提出

数学具有重要的价值，数学教育在培养各项能力全面发展的应用型、创新型人才中起着不可或缺的作用.数学建模是数学学习的一种方式，也是连接现实世界与数学世界的一座桥梁.数学建模是解决现实问题的基本手段之一，在现实生活中占据重要地位.因此，培养学生的数学建模能力至关重要，优质的培养策略会带来事半功倍的效果.本文中先对中学生数学建模能力培养的现状进行分析，再结合新人教版高中数学教材与课堂教学，给出培养学生数学建模能力的策略.

2 中学生数学建模培养现状

将数学建模纳入高中数学课程并不是最近几年才提出的，它已有着将近20年的历史，但数学建模课程的实施却一直存在很多问题.主要表现在以下几个方面：一是学生的数学建模意识薄弱，在面对现实问题时，无从下手；二是对数学建模流程不熟悉，没有数学建模的经验；三是学生模型选择的能力弱，在建模时不知道如何选择合适的数学模型；四是学生计算能力较弱，在求解数学模型时，无法下笔.

3 数学建模能力的培养策略

3.1 在例题讲解中渗透建模思想，增强建模意识

例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

例题是教师向学生示范解题技巧，传递知识的重要桥梁.新教材中有关数学建模的例题数量，相对于旧教材来说提高了百分之四，这些例题往往都与现实生活相联系，涉及物理、化学、经济等方方面面.教师可以利用这些例题，在讲解的过程中逐渐向学生渗透数学建模思想.接下来，笔者结合图1中的例题进行简述.

首先可以让学生思考如何建立三种投资方案所对应的函数模型.通过分析题干，易知方案一可以采用常函数，方案二可以采用一次函数，方案三可以采用指数函数.接下来指导学生用计算机画出三个函数的图象并制作累计收益的表格.通过分析图象与表格可知：投资1～6天，可以选择方案一；投资7天，可以选择方案一或方案二；投资8～10天，可以选择方案二；投资11天（含11天）可以选择方案三.

该例题贴合生活实际，符合学生的认知基础.通过对该例题的讲解，可以让学生体会到数学建模的实用性，明白数学来源于现实生活，最终也要为现实服务.其实，在教材中还有很多类似的例题，如必修一第三章的个人所得税问题、烟花高度问题，第四章第四节（对数函数）中溶液浓度的测量问题，第五章第七节中弹簧振幅问题和交变电流问题，等等.在讲解这些例题的时候，既要讲解题技巧和方法，也要着重介绍例题的现实背景.这能增强学生数学建模的意识，让学生能够在今后的生活中学会用从数学建模的视角看待世界，有意识地去发现和提出问题，体会现实与数学之间的关联性.

3.2 开展小组探究活动，熟悉数学建模流程

当拥有数学建模意识之后，学生虽然学会了从数学的视角去看待问题，但并不一定能够独立地用数学的手段去解决实际问题.究其原因，是他们对数学建模的流程还不熟悉，没有积累起数学建模经验.为了让学生能够清晰地理解数学建模的每一个步骤的实施过程.教师可以专门用几节课来开展数学建模的专题学习，在课上通过共同探究实际案例来让学生经历数学建模的流程，接着再对数学建模的每个流程进行系统讲解.在熟悉数学建模流程后，可以通过小组合作学习的方式让学生共同解决一个生活实际问题.新教材数学必修一中专门给出了一个数学建模活动的实例，这个问题是这样的：某种绿茶需要用85 ℃的热水冲泡，当茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳，当天室内气温为25 ℃，那么刚冲泡的绿茶大约要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？教师可以将学生分成几个小组，每个小组五名成员.在小组内，再确定一名课题负责人，让每位同学都有明确的分工.拿到这个问题后，各个小组对该问题进行了讨论.大家一致认为：“茶水的温度是随着时间的变化而变化的，即茶水温度是关于时间的函数.”但是有学生提出了自己的疑惑：“既然茶水温度是关于时间的函数，那么函数模型又该如何选取？”有学生认为：“可以先收集茶水随温度变化的数据，再画出图象.分析曲线的变化规律，选取适合图象的函数模型”.受到该学生的启发，大家开始分工合作.在一个小组内，一名学生通过计时器和温度计等工具收集数据，其他同学在对数据进行分析的基础上画出了图象，建立了合适的函数模型并对模型进行检验，最后将数据代入模型中进行计算求解，获得答案.在这一系列的数学建模过程，虽然有些组选取的模型不同，但他们最终都算得冲泡一杯口感最佳的茶水所需时间大约是7分钟.在求解得到最终答案后，每个小组还需要对答案进行检验.

通过以上的小组探究活动，学生不仅熟悉了数学建模的流程，提升了数学建模能力，同时也培养了合作交流能力，提升了自主学习能力.

3.3 教学中渗透数学思想方法，提升学生模型选择的能力

在数学建模的过程中想要快速地选择合适的数学模型，必须体会解决问题的过程中所需要用到的数学思想方法.数学思想方法是一般思想方法在数学领域中的具体应用，它既包含了层次分析法、线性规划、回归分析等统计方法，也包含了数形结合、分类讨论等数学思想方法.学生只有在掌握了某种数学思想方法的前提下，才有可能会运用这种思想方法，因此他们的头脑中必须储备一定量的数学方法.教师在日常的课堂教学中，可以向学生渗透有关数学建模的具体思想方法.例如，在讲“分段函数”时，教师需要着重渗透分类讨论与数形结合思想.在这一节中，有这样一道练习题：某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，不超过12 m3的部分，水价为3元/m3.超过12 m3但不超过18 m3的部分，水价为6元/m3.超过18 m3的部分，水价为9元/m3.若某用户本月缴纳水费48元，求该用户本月用水量.

显而易见，要想解决这个问题，学生需要具备分类讨论与数形结合思想.只有积累了这些数学思想方法，学生才能自然想到选取分段函数作为数学模型，画出不同区间段上的函数图象，再结合图象进行讨论求解.对于“统计”这一章节中，求父子身高相关度等问题，可以向学生介绍线性规划的方法.对于涉及求最短路径、最长路径等问题，可以向学生讲解层次分析法.当学生再次遇到类似的数学问题时，他们自然而然就能将这些数学思想方法进行迁移并应用，进而选择到合适的数学模型.

3.4 建模后及时交流讨论，培养学生模型检验能力

当学生完成数学建模的全部流程后，教师还可以与学生一起对建模的过程与结果进行总结与反思.教师可以要求每个小组撰写一份研究报告，并派一名代表在课堂上展示研究成果.接下来教师可以与学生一起对建模步骤、建模结果展开交流，提出质疑并进行辩论，开展教师评价、学生自评和学生互评.例如，在教完“解三角形”这一章后，可以向学生呈现这样一道问题：在可以自己选择工具的情况下，你能想到用什么方法测量广州电视塔的高度？

由于刚学完解三角形的知识，有些学生想到了可以利用正弦定理转化边角关系，提出：“可以选择一根长度已知的竹竿，先将竹竿垂直竖立在点A处，竹竿的另一端点为点B，测出A，B两点与塔顶的仰角，结合上面的条件，再利用正弦定理和正切函数可以算出塔的高度.”还有部分学生结合所学的物理知识，提出：“可以选择一个铁球和计时器作为测量工具，将小球从塔顶扔下，让小球做自由落体运动，测出下落时间，算出的下落高度即为塔高.”还有学生想到了相似三角形的知识，提出：“可以选择竹竿和卷尺作为测量工具，测出竹竿的长度、竹竿影子的长度和塔的影子的长度，再结合相似三角形对应边成比例算出塔高.”有些学生还想到了海拔升高，对应的气温和气压会发生变化，可以利用温度计和气压表测出塔顶的温度和气压，再选择合适的函数模型算出塔高.

这是一道开放性的题目，切合生活实际.学生提出了很多方法，教师可以与学生一起对这些方法进行评价反思，探讨这些方法的可行性、操作的难易程度等.经历数学建模活动的交流讨论后，学生的数学模型检验能力得到了提升.在交流中，学生能够相互借鉴、取长补短，数学建模能力最终也在不断提升.

4 结束语

数学建模能力的培养是一个长期的过程，在课前要对数学建模活动进行精心设计，在课中要有意识地渗透数学建模思想，在完成数学建模活动后要及时交流讨论.数学建模是学习的一种方式，可以提升自我.数学建模能力的培养也符合社会对人才培养的期望，通过数学建模，个体最终能够达到自我价值与社会价值的双重实现.