研教融合的离散数学教学研究

李伟湋

（南京航空航天大学 计算机科学与技术学院，江苏 南京 210016）

引言

《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二〇三五年远景目标的建议》提出坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位。人才是实现创新的基础，习近平总书记在中央人才工作会议上明确指出：“深入实施新时代人才强国战略。”

加快建成世界重要人才中心和创新高地，实现科技自立自强。研究型人才是实施人才强国战略，建设创新型国家的战略资源，这表明研究型教育人才培养的重要性。因此，培养当代大学生的科研素养是本科教育的重要任务，也是现代社会对高等人才培养质量的基本要求。

建设高等教育强国必须认识到本科教育是大学的主体和基础，坚持以本为本，务必将本科教育放在高等教育的战略位置，放在人才培养的核心位置，放在教育教学的基础位置，放在新时代教育发展的前沿位置［1］。首先，在政策导向上，“双一流”建设总体方案中把一流本科教育作为重要建设内容，明确指出加快推进人才培养模式改革，促进科教协同育人，完善高水平科研支撑所需的拔尖创新人才培养机制［2］。这意味着一流本科教育应更加注重研教融合，培养本科生的科研素养，坚持人才培养、学术团队、科研创新“三位一体”，才能满足当今社会对人才质量的基本要求。其次，由于新一轮科技革命的影响，大学知识更新速度已滞后于实际的科技发展，简单的课程和教学体系改革，短时间内无法彻底解决知识更新与科技发展的矛盾［3］。因此，本科生需要以各种方式参与科学研究，了解领域最新发展动态，通过科学研究更新专业知识。目前，本科生科研已形成三种具有代表性的科研形式：一是本科生参与教师的研究项目；二是本科生自主申请科研基金；三是本科生参加科技创新团队［4］。最后，本科生通过学科竞赛、课程综合实验、课程设计活动等平台参与科学研究，从而构建本科生参与科研的教学模式，可以有效地促进教学体系改革。本科生参与科研需要教师与学生进行良好地互动，促使教师熟练掌握学科发展及前沿动态，针对互动过程中产生的新观点、新角度不断反思和创新。同时，学生进行的科研工作也是教师科研的重要组成部分，促进教师科研发展。科研成果的最终需要转化为实际，将科研成果转化为实际可以促进创业教育发展［5］。

离散数学是计算机科学与技术专业、软件工程专业、网络安全等计算机类专业的基础核心课程，在计算机类专业课程体系中处于重要的基础理论支撑地位［6］。课程内容包括数理逻辑、集合论、图论、组合数学和代数系统，课程的数学知识多、理论性强，所涉及的内容抽象、概念多、知识点分散、公式多，课内学时有限，易造成学生在学习过程中概念理解不透彻、形象化不够、学习热情较低等问题。同时，在学习离散数学时，学生对专业课程了解有限，教师难以将基础知识和专业内容联系起来，易造成学生只是机械学习抽象理论知识，难以学以致用的问题［7］。

为了满足国家人才培养的需要和离散数学实践化教学的需求，离散数学的研教融合尤为重要。本文首先阐述计算机类专业科研素养培养的重要性，其次分析离散数学的知识体系，最后提出将科研案例融合与离散数学教学的方法并给出研教融合的案例。

一、培养计算机类专业科研素养的重要性

计算机类专业包括计算机科学与技术、软件工程、网络空间信息安全、数据科学与大数据技术、区块链工程等专业，其中数据科学与大数据技术专业和区块链工程专业为新增专业。相关专业包括电子信息工程、自动化、电子科学与技术、通信工程、信息工程等电子信息类专业。在本科教育阶段，需要培养学生的科研知识和科研能力，以达到学生科研素养的培养。

该类专业的科研知识涵盖科研基础知识、学科专业知识和相应的学科知识，这些知识是培养科研素养的基础。科研基础知识的掌握是保证科研规范性、科学性和有效性的前提条件。本科生要全面学习和掌握科研的基本知识，理解科研的内涵和科研的过程，进而逐步掌握科研的方法。丰富的学科专业知识是从事科研的基石。本科生参与科学研究，不仅需要掌握科研基础知识和学科专业知识，还需要掌握计算机类专业的学科知识，特别是交叉学科知识，为进一步的科研提供知识储备。

在开展科学研究活动时，运用科学方法探求事务的本质和规律的过程中所体现出来的才能即科研能力。科研素养培养的关键就是科研能力，体现为发现问题能力、开拓创新能力、信息处理能力、文字表达能力和组织协调能力等。科学研究始于发现，只有善于观察，才能在社会实践中发现有价值的问题。信息处理能力涵盖信息的分析、评估，利用信息做出决策和解决问题的能力。科学研究是一种创新性活动，需要学生具备创新精神、创新思维与创新能力，并利用创造性的思维分析和解决问题。组织协调能力和文字表达能力体现了学生的合作能力和表达能力，是科研能力培养必备的因素。

利用计算机解决科学研究中的问题一般分三个步骤进行。一是分析领域性问题，构造出计算机能解决的模型。构造领域模型的思维方法必须应用离散数学知识，离散数学中的大部分内容是讨论从基本对象的角度出发，根据对象之间的相互作用、相互联系，用通用语言如代数语言、符号逻辑语言、图形语言等构造出对象之间相互作用的模型，也称之为对象之间相互运算的模型。这是构造和生成问题模型的基本方法。二是在计算机的软硬件资源上完成模型的算法设计。模型构造完成后，需要在计算机上运行，则需要规划设计一个运算步骤，告诉计算机要做什么、怎么做，计算机根据设计的运算步骤按部就班的自动处理。这个运算步骤即算法，算法必须是可行、有限、确定的。三是实现对算法过程的有效控制。算法设计的关键是算法过程控制，该控制是根据模型的离散结构对算法进行控制，离散数学中讲解的各种离散结构在算法控制设计过程中有着重要的作用。经过这三个步骤，计算机可以自行处理结果，完成问题解决。离散数学提供这种通用模型的思维方法，通过如何从简单的对象出发、研究对象的相互作用，采用不同语言描述对象之间的相互作用，表达出通用模型。通过该过程实现了科研能力的提升。

计算机类专业的科研知识和科研能力二者相互促进，互为基础，构成了计算机类专业科研素养培养的基本要素。离散数学是计算机类专业的课程理论基础，所涉及的科研知识，在计算机科学中应用十分广泛，在数据结构、数据库、计算机编译、计算机体系结构、计算机网络、软件工程和人工智能中均有应用，处于基础地位。通过离散数学的学习能够帮助学生建立抽象思维和逻辑推理能力，建立举一反三的思维方式，提高学生的创新能力和运用数学方法分析解决实际问题的能力［8］。

二、离散数学知识体系

离散数学的名称是1974年由美国IEEE计算机协会典型课程分委会正式提出，是研究离散对象及其结构的一门数学学科。该课程是数据结构、算法与程序设计、自动机理论、人工智能、形式语言等计算机科学课程的基础。离散数学课程由五个部分组成，包括数理逻辑、集合论、图论、组合数学和代数系统，这五个部分是一个有机整体。数据逻辑和集合论是图论的基础，集合论和组合数学是代数系统的基础。每部分都有大量的概念、定理和证明，抽象程度高。

（一）数理逻辑

数理逻辑是用数学方法研究推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等逻辑问题，在人工智能、程序理论、数据库理论等研究中有着重要的应用。该部分内容包括命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑的基本概念和一阶逻辑的等值演算。主要研究自然语句的符号表示、逻辑代数、形式证明和验证推理，从简单语句的共性出发，分析内部结构培养学生对离散对象的概括能力。

（二）集合论

集合论以集合元素为研究对象、探索集合、元素和成员关系，对数学的对象、性质及其发生、发展的一般规律进行科学研究，是一门基础的学科，已成为研究计算机科学的有力工具。该部分内容包括集合基本概念、集合运算、二元关系和函数。集合论是计算机科学的基础，该部分内容培养学生对对象描述能力、分析事物间联系的能力，提高学生的思维能力。

（三）图论

图论是数据结构和数据表示理论数学基础，是计算机网络学习的基础，是离散数学的重要组成部分。图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题，以图为研究对象，已发展成为多学科领域的基础。该部分内容包括图的基本概念、树和几种特殊的图。图论部分介绍图和树的基本概念、基本事实和基本理论的基础，重点介绍欧拉图、哈密顿图、二部图和平面图。重在培养学生的逻辑思维能力、训练学生应用图论理论知识进行实际问题求解和未知探索的能力。

（四）组合数学

组合数学是研究依给定规则安排某项事物数量规律的科学。该部分内容包括基本的组合计数公式、递推方程和生成函数。组合数学首先探讨符合要求的安排是否存在，当存在的时候，如何把它们实际构造出来，如何计算符合要求的全部安排的个数，若已给出最优标准，如何求得符合要求且达到最优的安排。用组合数学算法求解实际问题，是程序设计的基础。

（五）代数系统

代数系统包含代数系统的基本概念和典型的代数系统。这部分内容包括半群、群、子群及陪集、同态，环与域和布尔代数理论，着重理解代数系统、半群、群和子群的基本概念，掌握与理解拉格朗日定理及其应用，掌握半群、群的基本性质与重要结论的证明方法和技巧，以及群与子群等的验证和判别。该部分内容重点训练学生运用代数结构进行对象抽象与问题求解，培养学生建立模型和转换模型的能力。

离散是对连续事物的分割，同时事物也不丧失其原有属性。计算机是一个离散结构，只能处理离散的或者离散化了的数量关系。在计算机中处理任何的连续量，如图像处理必须将连续量离散化后再行处理，离散对象的处理是计算机科学的核心。离散数学是计算机学科主要方法，以研究离散型的结构及其相互间的关系体系为主要目标，能够对离散量进行系统和全面的分析，为计算机提供有力工具［9］。离散数学在计算机专业中已有相关应用，如在软件测试中应用等价类的概念，在人工智能中利用逻辑推理，在编程中应用数理逻辑等［10］。

三、科研问题融入离散数学

在离散数学的教学过程中，为更好地引导学生理解并应用理论知识，结合科研项目，以科研项目中的解决方案为主线，教学与科研的融合通过提出问题、分析问题、解决问题三个步骤实现。离散数学中的集合论学习粗糙集等理论的基础、数理逻辑部分在软件工程的研究领域应用广泛，图论是神经网络、Petri等网络结果算法的研究基础，组合数学和代数系统在计算机领域应用广泛，是学生进一步学习的数学基础。

本小节将以命题逻辑推理理论课堂教学，结合实际问题为例介绍相关教学过程。在提出问题阶段，激发学生对离散数学课程的学习兴趣，让学生由被动学习转变为主动学习，在课前预习阶段，介绍科研项目中的实际问题，并利用大数据将MOOC资源等开源的资料推送给学生。在数理逻辑知识介绍部分的教学活动中，以一个看护婴儿移动机器人的安全行为检测为例，该机器人有上、下、左、右四种动作。一种典型的场景是，机器人必须重复确认婴儿状态（见图1〔b〕）和回到充电桩充电（见图1〔c〕），在这个过程中必须避开危险区域（见图1〔d〕）。

例如，在婴儿b附近，仅允许执行左转动作，当采取左转动作时，可能会发生以下情况：（1）机器人以0.1的概率撞到墙上，并把婴儿吵醒；（2）机器人以0.8的概率向左移动或以0.1的概率向下移动。如果婴儿被吵醒了，则机器人无法在一个时间步长内离开，并且要通知相关人员（见图1〔a〕）；否则，机器人应该直接返回到充电桩充电。如何用数学模型来刻画该场景的完整目标准则？

面对该科研问题，在分析问题阶段，将该问题划分成不同场景，将各个场景状态和动作进行自然语言描述，并将新课知识导入。结合该实际问题，启发学生应用数理逻辑和集合论知识描述各个场景的状态和动作。根据学生解决的情况，进一步介绍科研工作中常用线性时序逻辑表示完整的准则，并讲解时序逻辑基本语法来源于离散数学中的教学内容，引导学生将图1中的规则用线性时序逻辑语言表达如下：

图1 幼儿园场景下的综合策略总结

该公式中，（1）表示避免危险状态；（2）表示如果婴儿无人看管，在相关人员过来或者需充电之前无须回到婴儿身边；（3）通知相关人员后，立即离开并回到婴儿身边；（4）婴儿入睡后，返回到充电桩充电并无须通知相关人员；（5）充完电后，先回到婴儿身边，不用去寻找相关人员；（6）如果婴儿醒来，立即通知相关人员。

通过课前提出问题，激发学生兴趣，在课堂中分析问题，将新课导入，讨论解决问题的具体方法，启发学生将一个实际背景的科研问题用课堂中的知识点去解决，提高学生对离散数学的实际应用的认识和对科学研究的热情。教师在教学中，起到引导牵引作用，注重培养学生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力。课后，让学生组建学习小组，以小组的形式解决机器人行为检测的其他场景问题，学习如何对问题进行抽象，如何分析实际问题，如何建立数学模型，应用所学知识解决实际问题，给予学生成就感，培养和提升学生应用理论知识、解决科研问题的能力，达到以研促教的目的。

结语

结合教学目标，针对教学知识的重点和难点问题，将科研问题引入教学课堂中。教师明确学生需掌握的基本理论及核心知识点，围绕知识点设置科研问题和场景，以科研问题为主线，将科研问题与知识点相结合，通过科研问题的提出、分析和解决三个步骤完成求解，将科研问题融入教学中。具体通过科研问题引入问题，确定研讨题目，启发学生思考，分析问题，提示科研问题解决要点，进入解决问题，帮助学生厘清思路，把握要点，化解教学中的重点和难点。培养学生科研探索的素养，将科研问题进行抽象建立数学模型和算法设计，提高学生将理论知识应用于实践的能力，促进学生对知识点的吸收、理解和应用。在研究型高校的教育教学中，通过科研知识的融入，有效引导学生对科研问题的认识，激发学生对理论学习的兴趣，提高对知识点的理解和应用能力，从而有效提高离散数学的教学成效。