地面参考系和磁源参考系中感应电流的功率

高 振

山东省平邑县教育和体育局教研室，山东 临沂 273300

根据非静电力的起源，电磁感应现象中的感应电动势可分为动生电动势和感生电动势。由洛伦兹力作为非静电力产生的电动势叫动生电动势；由感生电场力作为非静电力产生的电动势叫感生电动势。在求解磁场区域运动产生的电磁感应现象中感应电流的功率问题时，要注意区分不同参考系中感应电动势的本质（非静电力的起源）及其方向，才能正确地等效电路、计算感应电流的功率。

1 一道高考题引发的问题

原题 （2017年江苏高考第13题）[1]如图1所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B，方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：

图1 原题图

（1）MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小 I；

（2）MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；

（3）PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。

该题前两问比较简单，在此不作讨论。

引发的问题：由于磁场区域和金属杆运动的速度选择的是地面参考系，但第（3）问感应电流的功率没有明确要求在哪个参考系计算，难道感应电流的功率与参考系无关吗？

2 引发问题的主流观点

在几个全国物理教师QQ大群（有些群人数高达数千人）讨论上述“引发的问题”时，群里面教师的主流观点如下：

由于金属杆所在处磁场的磁感应强度B不变，观察者无论是以地面为参考系，还是以产生磁场的“磁源”（磁体或载流线圈）为参考系，在PQ刚要离开金属杆的极短时间Δt内，穿过该回路的磁通量的有效面积减小均为ΔS=d（v0-v）Δt，由法拉第电磁感应定律得回路总电动势大小为

从（1）式的得出过程中可以看出，回路总电动势与所选惯性参考系无关。

而感应电流的功率

由（1）（2）式得感应电流的功率

（3）式与高考参考答案的结果一致。

因此，QQ群中主流观点认为，感应电流的功率与所选的惯性参考系无关。

笔者查阅文献发现，文献[1]的观点和所求结果与（3）式明显不同，而文献[2]和[3]的观点和所求结果以及高考参考答案均与（3）式相同。究竟谁是谁非呢？

3 不同惯性参考系中的定量分析和计算

3.1 在地面参考系中等效电路，计算感应电流的功率

第（3）问没有明确指出参考系，一般默认是地面参考系。地面系中的观察者看到的不是静磁场，而是磁场区域的运动（本质是产生磁场的源磁体或载流线圈的运动）产生的电磁场，既有磁场又有感生电场。根据电动力学中不同参考系的电磁场变换公式，可以得到地面参考系中的磁场和感生电场。

以产生磁场的“源”磁体或载流线圈为参考系，由于磁源系相对于地面系（静系）的运动速度v0远小于真空中的光速c，忽略洛伦兹膨胀因子，可得地面系（加撇的量）和磁源系（不加撇的量）的电磁场变换公式[4]：根据题目条件，磁源系中只有磁场，而电场=0，可知地面系中既存在沿金属杆向下的感生电场E'=v0B，又存在垂直于导轨平面向下的磁场B'=B。因此，杆中的自由电子受到的非静电力是沿杆向上的感生电场力（大小为F非1=eE'=ev0B）和沿杆向下的洛伦兹力（分力，大小为F非2=f洛=evB）的矢量和，由电动势定义得回路总电动势

从非静电力的起源看，地面系中回路总电动势（4）式由两部分组成：一部分是杆中自由电子受沿杆向上的感生电场力eE'，产生感生电动势E1=Bdv0，其方向在图1中沿金属杆向下（与回路电流方向一致，金属杆扮演着“发电机”的角色）；另一部分是杆中自由电子受沿杆向下的洛伦兹力（分力）evB，产生动生电动势E2=Bdv，其方向在图1中沿棒向上（与回路电流方向相反，是反电动势，金属杆扮演着“电动机”的角色）。因此，回路等效电路如图2所示。

图2 地面系的等效电路

显然，地面系中该题呈现的物理情境的本质就是一个电磁驱动[5]问题，金属杆同时扮演着“发电机”和“电动机”的双重角色。从电路角度看，回路等效电路图2是含有反电势的非纯电阻电路。所以，从地面系中观测到的能量转化是：感生电动势E1=Bdv0提供电能，动生电动势（反电动势）E2=Bdv和电阻R都消耗电能，则地面系中感应电流的功率

而回路中的感应电流

由（4）—（6）式得，地面系中感应电流的功率

（7）式与文献[1]的结果一致，显然文献[1]是在地面参考系中计算的感应电流的功率。

3.2 在磁源参考系中等效电路，计算感应电流的功率

在磁源系中观测到的仅是静磁场B，图1中金属杆在磁源系中以速度（v0-v）向左运动，杆中随杆向左运动的自由电子受到沿杆向上的洛伦兹力（分力）f洛=eB（v0-v）是产生动生电动势的非静电力。因此，电路中只存在动生电动势，由电动势定义得回路总电动势

由于磁源系中观察者仅观测到一个动生电动势，观察者认为金属杆只是提供电能的发电机，等效电路如图3所示，是一个纯电阻电路。显然，两个参考系中回路的等效电路明显不同（图2、图3）。

图3 磁源系中的等效电路

由图3和（8）式易得，磁源系中感应电流的功率

可见，QQ群中主流观点的（3）式、高考参考答案以及文献[2]和[3]的结果，均与磁源参考系中的（9）式一致。

对比（7）式和（9）式可知，地面参考系和磁源参考系中感应电流的功率不同。

4 结束语

本文对磁场区域运动产生的电磁感应现象中感应电流的功率问题，在地面参考系和磁源参考系中做了深入的对比分析和计算，指出了两个参考系中感应电流的功率不同的物理根源。

由于高考题目条件中没有明确指出在哪个参考系中计算感应电流的功率，一般默认是在地面为参考系中的功率，因此第（3）问感应电流的功率应该是文献[1]指出的地面参考系中计算的。而高考参考答案和文献[2]和[3]中的感应电流的功率，也是没有错误的，只要指出这是磁源参考系中感应电流的功率即可。