学生数学抽象能力发展的影响因素分析*

姜合峰 陈文鑫 谢亚锦 龚 苇

（1.太原师范学院数学系，山西晋中，030619；2.太原师范学院教育学院，山西晋中，030619）

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》中对数学抽象的表述是，通过对数量关系和空间形式的抽象，从而得出数学研究对象的素养[1]。也就是从数量与图形这两种关系中，抽象出基本概念间的关系，由事物间的关系及内部要素中抽象出一般规律和结构，最后通过数学语言表示出来。数学抽象能力与学生的数学思维之间存在着密切而复杂的联系，学生数学抽象能力的发展可以使学生的思维更加具有逻辑性，有益于把握数学知识的本质，进而深入理解数学、学习数学。

一、数学抽象的重要价值

1.数学抽象的学科价值

史宁中提出，数学的发展依赖于抽象、推理和模型三个基本思想，其中抽象是核心。通过抽象，能够把同数学有关的事物由外部世界变换到数学内部，进而转换成数学的研究对象；借助推理，获得数学的公理和计算方法，使得数学能够快速发展；透过模型，开创了极富表现力的数学语言，在数学与外界两者之间搭建了一座桥梁[2]。数学抽象作为数学发展的基本方式和渠道，贯穿于数学知识的形成、产生、发展和应用的全部过程，使得数学这门学科具有严谨性、准确性和广泛应用性。

2.数学抽象的教育作用

数学抽象是数学的本质特征，也是理性思维的基础，它渗透在整个数学学习过程中[3]。培养学生的数学抽象能力，有利于学生更好地理解数学知识的层次结构，抓住数学的本质和核心，提高理性思维水平。王光明等人的研究也表明，提升学生抽象思维能力有益于提高数学学习效率[4]。数学抽象思维与抽象能力皆具有很强的迁移功能，能够增强知识和能力的效用，可以帮助学生更加高效地解决数学中的问题，以及日常生活或其他学科中的相关难题。

二、学生层面的影响因素分析

1.学生数学知识的掌握程度

数学抽象是以知识的本质为核心，以知识的结构为基础，实现知识转化的过程，是在一个熟悉、关联或综合的情境中进行的[5]。学生对已有数学知识的整体把握程度越好，进行数学抽象的过程就越顺利。

数学知识是层层递进的，每个知识点之间都存在关联性，对数学知识之间联系的理解是进行抽象的关键之一。学生厘清知识点之间的逻辑关系，建立清晰、简明的知识框图之后，再进行数学抽象就会容易很多。需要用到哪个知识点，便能顺着知识点之间的联系，更加方便、快捷地提取所需内容，进而运用到数学抽象的过程中。

例1.（2019 全国理科卷）直四棱柱ABCDA1B2C1D2底面是菱形，AA1=4，BA=2，∠BAD=60°，E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点，求证：MN∥平面GDE.

这类题的证明过程会涉及多个性质、定理等。证明线与面平行，立刻想到线面平行的判定定理，通过直线MN与平面C1DE中一条直线平行证明线面平行，将问题的解决转到证明线线平行上。线线平行证明的方法有很多，结合已知条件选取合适的解决方法来证明即可。许多学生在思考过程中，虽然能够想到线面平行的判定定理，但是在证明两条线平行时，想不到利用平行四边形的性质来证明，这是由于学生对知识整体掌握不扎实，阻碍了相关知识的重现和提取，导致问题的解决出现困难或者错误。学生要对知识本质深度理解，并对概念之间的逻辑联系整体把握，才能通过细节“顺藤摸瓜”提取关键知识点，完成抽象过程。

2.学生数学思维的发展程度

数学是一门抽象性较强的学科，要在思维相当活跃的情况下方能收到较好的学习效果。从理论上说，数学中的符号语言实际上是数学思维的外显形式，而数学思维就是数学符号语言的内核。数学符号是数学思维的载体，反映了数学思维的基本特征。在数学抽象的过程中，学生的思维是不可缺少的一个重要因素，它为数学抽象提供帮助，为数学抽象开辟新的途径，使数学抽象进行得更加顺利。

数学知识体系是一个纷繁复杂的体系。在进行数学抽象的时候思维发散，从一点出发联想到多个相关联的知识点，便可对数学知识达到层次性的认识。若只局限于数学中的某一模块，数学抽象就会遇到障碍。当数学抽象遇到阻碍，试着转换角度、转变方向，从另一个数学角度进行分析、理解，便可能在另一范围中得到想要的结果。

例2.求（x+x2+y）5展开式中的x5y2系数。

受思维的局限，学生往往会一项一项计算，这样就很复杂。如果试着跳出这个范围，从“排列组合”的角度进行思考，就会容易很多。其实，x5y2也就是x·x2·x2·y·y，从“排列组合”的角度来思考，就是从五个x+x2+y中分别抽取一个x、两个x2、两个y进行相乘，从而求出x5y2的系数。由此可见，走出固定的“圈子”，发散思维，从多个角度进行思考，数学抽象也会变得更顺利。

3.学生数学能力水平的高低

数学能力与数学抽象能力，在抽象过程中是相辅相成的，数学能力的缺失，会让数学抽象能力降低。因此，在抽象过程中，数学能力的作用是不可忽视的。

以数学阅读理解能力为例。如果学生的数学阅读理解能力不够，那么一些偏向数学化的语言在学生看来就显得晦涩难懂，这不利于学生数学抽象能力的发展。相反，如果数学阅读能力相对较好，在看到一些题目或者阅读相关数学概念、文章等时，就能舍弃无用的干扰信息，准确地理解核心内容，并由此联想到相关的数学知识，进而能在已有的知识结构中提取相关内容，实现数学抽象。因此，要想使数学抽象能力提高，就需要让学生的数学能力保持一种较高水平。

例3.（2018 北京理科）“十二平均律”是通用的音律体系，朱载堉最早通过数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。把1 个纯八度音程划分为12 份，按顺序获得13 个单音，并且自第2 个单音开始，每个单音频率和上一单音频率之比都为，若第1 个单音频率为f，则第8 个单音频率为多少？

此题实质上是一个有关于等比数列的问题。如果学生的数学阅读理解能力有限，很容易受到题目的背景和载体信息的干扰，使其无法正确地理解题干，不能抓住题目中的关键信息。学生若具备较强的数学阅读理解能力，便能抛开题目背景以及无用信息，保留下关键的数学信息，并转化为数学问题进行解答。由此可见，在数学抽象过程中，数学阅读理解力也是必不可少的。学生数学阅读理解力足够强，才能剔除题目中与数学无关的信息，从而确定数学研究的对象，进行深入的分析。

4.同伴互助学习的有效程度

著名的教育家苏霍姆林斯基表示：在学习中，情绪对学生起着某种积极的作用，可以刺激学生产生更加强烈的学习欲望，使得学生的学习更具有成效。数学学习也不例外，良好的学习气氛以及互助活动，能使学生更加积极地思考，并参与讨论、探究互动，在轻松愉悦的环境下交流探讨新知识，通过学生之间的沟通进行思想上的碰撞，互相启发，感悟数学抽象。

数学知识的学习是枯燥乏味的，特别是一些较为抽象的数学知识更不易理解。在课堂上激励学生开展有效地互动学习，营造愉快和谐的学习氛围，能够调动学生课堂学习的积极性，在一个心情舒畅的状态下进行交流思考、互助启发、活跃思维，提高数学抽象能力。在枯燥无趣的数学课堂上，学生死气沉沉，学习氛围低沉，同伴之间也没有交流，只有教师在侃侃而谈，学生会丧失探索知识的积极性，思维也会停滞，数学思维得不到足够的锻炼，便会导致学生数学抽象能力无法得到有效提升。

部分同学可能对这道题束手无策，而有些同学则会有思路和方向，也会有一部分学生能正确解答。如果开展小组合作学习，组内进行充分交流，共同对题目进行解读，探讨解题思路，便能帮助学生利用有关的数学公式对已知条件一步步进行变形，最终解决数学问题。通过合作学习，同伴之间相互帮助，思维充分活跃起来，共同探究解题的关键，这样无思路的同学自然有了解题思路，也会在潜移默化中提高自身的数学抽象能力。

三、教师层面的影响因素分析

1.教师对基础数学知识的重视程度

教师对基础知识的钻研程度以及备课的有效性都受到其对数学基础知识的重视程度的影响。数学中的定理、公式等的证明过程蕴含着很多重要的数学方法和规律，教师对基础知识重视不够，会使这些有价值的内容不能被充分挖掘，思维过程不能完全暴露出来，不利于学生数学抽象能力的提高。反之，如果教师足够重视数学基础知识，在课前钻研教材，根据学生的认知发展，对知识进行编排重组，能使学生更加准确、深刻地理解数学知识，这对学生数学抽象能力的发展有着推动作用。

2.教师对数学抽象能力的理解

教师在学生发展过程中的角色，决定了教师应具备较高的专业水平。教师要对数学能力、数学方法、教学内容等有深度的理解，清楚自己在学生数学学习过程中所起的作用，要有计划地实施培养策略，切实提高学生的抽象能力。

教师只有逐步加深对数学抽象能力的正确理解，才会明白数学抽象能力对于学生来说具有多么重大的意义，继而真正重视起来。教师只有真正理解数学抽象，才能结合抽象的特点，对课堂教学进行改进和完善，使教学内容的编排形式有利于学生学习，从而在培养学生数学抽象能力上取得预期的效果。如果教师对数学抽象理解不到位，领悟不到数学抽象的本质和关键，就无法采取相应的措施对学生进行培养。

3.教师对教学方法的选择

学生获取知识和培养能力主要是在教师课堂教学过程中实现的，因此，要想学生的数学抽象能力要所进步，就要抓住课堂上的时间，让学生在有限的时间内，得到更多的锻炼。教师要不断地改进教学，使用不同的教学方法，增加教学环节中的趣味性，提高学生的学习积极性，使得教学效果更加理想。

学生数学抽象能力的培养并非一件简单的事，要想提高学生的数学抽象能力，就要让学生的思维充分活跃起来。如果教师教学方法单一，学生课堂参与度不足，无法紧跟教师的思路进行思考，久而久之，学生思维水平就会下降。而不同的教学方法，能充分带动学生思考，锻炼思维能力，进而便于理解数学知识。教学方法的多样化，还能在一定程度上营造良好的学习氛围，提高学生学习的兴趣和热情，这对提高数学抽象能力也起到很大的促进作用。

4.教师的教育观念

教师的教育观念会影响教学的方式方法以及对教学的理解。教师的教学方法陈旧、对教学理解不正确、对素质教育的特点和规律了解不足，皆是教师教育观念落后的表现。教育观念落后会使教师把教学授课当作一种心理负担，导致课堂教学效果不佳，学生被动接受，挫伤学生的积极性，对学生抽象能力的提升产生负面影响。如果教师能紧跟时代步伐，全面贯彻素质教育理念，正确认识学生学习能力培育的重要性，采用科学的教学方法对学生进行培养，可以收到事半功倍之效。

学生的数学抽象能力是不可能在短期内养成和发展起来的，需要经过一个漫长的熏陶过程，才能有所提升。教师在这一过程中要足够耐心时刻关注学生的学习状况，及时提供帮助，当好引路人。