几何命题教学中学生审辩式思维的培养策略

⦿南京师范大学附属中学树人学校 刘春桃

《中国学生发展核心素养》指出，思维能力是贯穿于六大核心素养之中的共同能力.“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之.”审辩式思维，又称批判式思维，始于质疑，归于反思，包括质疑、批判、论证、反思四个要素，是一个循环往复的过程.审辩式思维是学生在学习过程中最基本的探索工具，是培养学生高阶思维的关键.培养学生审辩式思维是改善学生数学学习的一个重要方面[1].

数学几何命题涵盖作图命题、论证命题、应用命题，其中蕴含的思维含量丰富，既能为学生提供广阔的思考空间，也有利于激活学生数学思维，激发学生解题欲望.因此，以思维含量丰富的几何命题教学为载体[2]，促进学生主动、持续和细致的理性思考，有利于激发学生内在数学潜能，同时也是培养学生审辩式思维的有效途径.如何将审辩式思维落实到教学活动的各环节？笔者结合苏科版七年级下册“多边形的内角和与外角和——三角形内角和”课例进行分析.

1 基于审辩式思维培养的教学流程

义务教育新课标的颁布，要求学生改变以往死记硬背的学习方式，要鼓励学生独立思考、勇于质疑、不断反省、合理判断、敢于表达.鉴于此，培养学生审辩式思维，是当前数学教学中亟待解决的重要问题[3].

笔者认为基于审辩式思维培养的教学流程应该包括以下几个环节：(1)提出问题，不懈质疑；(2)交流共享，包容异见；(3)实践运用，力行担责.旨在将审辩式思维中所包含的质疑、批判、论证、反思等要素充分融入到课堂教学的各个环节中，让学生在解决几何问题的过程中，实现对知识的内化、吸收与巩固，培养学生质疑意识及能力，发展学生的审辩式思维，提高学生的思维品质.

2 基于审辩式思维培养的教学案例

2.1 提出问题，不懈质疑

亚里士多德说过：“思维从疑问和惊奇开始.”宋代学者陆九渊曾说：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进.”课堂教学过程中的不懈质疑，是学生积极思维、主动参与学习活动的重要体现，而鼓励学生大胆质疑，正是开启学生审辩思维之门的有效方法.那么，何来质疑？这就需要教师在充分挖掘教材内容基础上，通过巧妙设问，引发学生思考.

在几何命题教学中，可以产生质疑的问题有很多，比如一些看似理所当然的问题、或没有标准答案的问题、或一题多解的问题等，而这些问题都可以通过严格的几何证明来得到验证.在苏科版教材“7.5多边形的内角和与外角和”的开篇，给出了这样一段话：“小学里，我们曾经把一个三角形的3个角拼在一起，发现了三角形内角和是180°的结论.”紧接着通过“议一议”的探索活动，引导学生去验证这一结论.

三角形的内角和定理的证明是学习了三线八角、平行线的性质的后续内容，需要利用“添加辅助线”进行知识的转化，对于学生来说，“添加辅助线”是一个难点，而且学生在小学阶段主要是通过拼接的方式对该结论进行验证，即使运用过多次，却未进行严格的几何证明，所以，对于学生而言，他们认为这是一个理所当然的结论.为此，基于学情和教材内容，笔者设计了这一环节的问题.

例1请证明“三角形的内角和等于180°”是一个真命题.

师：同学们，我们在小学阶段已经学习过三角形的基本性质，你们还记得三角形的内角有什么性质吗？

生：三角形的内角和等于180°.

师：不错，这个性质我们在很多题目中用过，但从来没有严格证明过.你们能用自己所学过的知识进行证明吗？

在问题的驱动下，学生自主思考，大部分学生都在尝试用量角器进行测量，但也有的学生提出了质疑，为什么我测量了三角形的三个角后，然后将三个角相加和却不是180°呢？这是由于测量总会存在误差，而且每个人所画的三角形不尽相同，因此，采用量角器进行测量的方法显然无法从严格意义上证明例1中命题的正确性.

师：三角形三个内角的和为180°，根据这句话你能想到什么吗？我们之前学习过什么角是180°.

生：平角.

师：对的，那能否将三角形的三个内角与平角联系起来呢？

根据学生的小学学习经验，他们很容易想到用剪一剪、拼一拼的方法(图1).

图1

这种是小学探究三角形内角和的方法，针对这一方法，有的学生继续提出了疑问，如何证明三个角拼凑在一起刚好是180°呢？由此可见，这种方法依然不太准确，也不严格.于是，针对该生疑问，笔者引导他认真观察图形，想一想在剪拼的过程中，各个角度之间有什么变化.学生很快联想到平行线的性质，发现原来的∠2和拼接后的∠2是同位角，原来的∠1和拼接后的∠1是内错角.

师：如何用平行线来证明“三角形的内角和等于180°”是一个真命题呢？

给予学生充足的时间进行思考与讨论，让他们通过查阅教材、互动交流来证明这个命题，在此过程中，教师巡视并给予适当提醒，最后由师生共同探讨命题证明的规范步骤.

由此，学生在问题的引领下，通过不断质疑、不断提问，积极思考，这一过程也是学生审辩式思维形成的过程.所以，巧设问题，鼓励学生大胆质疑，是培养学生审辩式思维需要跨出的第一步.

2.2 交流共享，包容异见

“包容异见”是审辩式思维中的核心要素，是指以多维度的视角审视问题，在多维的空间中包容不同的意见，而不是不讲原则地折中或“和稀泥”.课堂上的审辩式思维有很多，比如同学之间的讨论，老师与学生之间的讨论，学生对知识的质疑，等等.每个学生的智力水平和关注点不同，他们的思维也会存在较大差异，而交流共享活动的开展，则为学生思维的相互碰撞提供了很好的契机和平台.在这个过程中，学生不仅可以畅所欲言，开阔思维，吸纳更多的知识和观点，而且有助于学生对自身进行反省，对他人进行质疑，这也是培养学生审辩式思维的重要方式[4].

在上一环节中，我们对于例1的证明采用的是添加辅助线的方法，过三角形顶点作边的平行线，然后利用平行线和平角的性质证明了这道命题.然而，事实上，对于几何命题的证明，还可以从多个角度进行思考和证明，为了更好地拓展学生的思维，笔者继续引导学生尝试利用其他方法进行证明，并通过互动交流分享自己的意见和想法.

在分享过程中，有的学生还是利用添加辅助线的方法，但采用多种不同的方法，使得命题得以证明(图2).

图2

还有学生尝试利用《几何画板》来进行证明.他们根据旋转、平移不改变图形的几何性质，运用转化、拆分、组合等思想，结合《几何画板》的位移动画和旋转动画功能，将三角形的三个内角转化为一个平角，从而说明三角形的内角和为180°，这一动态演示过程，也是命题的证明过程，如图3.

图3

在此过程中，为了培养学生的审辩式思维，教师应帮助学生形成包容、开放的心态，通过认真倾听，吸纳和包容他人意见，产生新的思路.

2.3 实践运用，力行担责

知识只有真正运用到实践中去，才有可能真正成为知识.审辩式思维的要义是“力行担责”，具有审辩式思维的人，绝不是简单地纸上谈兵，而是能够通过“行动”或“实践”来做出正确的决策，并且承担行动可能产生的后果.在数学教学过程中，课后实践活动的开展，则为学生提供了“力行担责”的机会，让学生在实践中养成受益一生的学习和思考的习惯，并以此来改变他们的学习乃至生活.

学生通过前面两个环节的学习，已经对例1这道几何命题的证明有了深刻的认识，并且掌握了利用辅助线解决几何证明问题的方法.为了进一步强化学生对三角形内角和的认知，同时，也为新知做好铺垫.笔者设计了课外小组讨论活动.

例2请证明“四边形的内角和等于360°”是一个真命题.

在实践活动中，学生从探索三角形内角和中受到启发，有的撕下四边形的四个角，将他们拼在一起研究；也有的小组通过添加辅助线的方法，将四边形分成两个三角形的方法；还有的学生继续沿用添加平行线的方法进行证明.对于几何命题的证明，其思路有很多，这就需要学生在“做”的过程中，正确推理，科学判断，这样既能让学生感受到方法的多样化，更为重要的是促进了学生知识运用能力和审辩式思维的发展.

3 结论

人们思考问题的视角不同，提出问题后寻找解决方案的过程自然也不同.审辨思维培养的目标是通过对这些不同意见的分析、评估、判断、综合，生成合理的解决方案或做出准确的决策.审辩式教学优化了教师的教学方式、学生的学习方式，为学生独立思考搭建了合适的思维支架，让学生在审辩中提升学习力，让审辩式思维在学生的头脑中种下种子.坚持审辩式思维教学，一定能开出智慧之花！