基于三次模拟退火算法的2K-H轮系等强度优化*

李梓虓，赵 罘，龚堰珏

(北京工商大学人工智能学院，北京 100048)

0 引言

行星轮系亦可称为周转轮系，具有结构简单紧凑、传动比大等特点，因此行星轮系多用于减速器或增速器，常用于车辆变速、起重运输、航空航天等领域，但由于行星轮系中的各个齿轮材料、直径的不同，导致各齿轮的接触疲劳强度不同，从而使得各齿轮承载能力不同，强度低的齿轮先出现失效，导致整体机构失效[1]。根据统计，在实际使用中，90%的减速器失效的情况均是由于其中某一个齿轮损坏而使得整个减速器失效，所以对于缩小齿轮间的寿命差异是必要的[2-3]。

关于行星轮系齿轮强度的优化，国内学者已进行了许多研究。苏明明等[4]以风力发电机中的行星轮系为研究对象利用有限元方法证明太阳轮与行星轮一侧的接触应力较大，而内齿圈与行星轮一侧的接触应力较小，为后续等强度优化研究奠定基础。马鹏飞、杜海霞等[5-6]均以体积最小为目标建立数学模型，前者采用复合形法求解，后者采用惩罚函数法求解，在保证了齿轮强度的情况下使整体体积减小。柯凤琴等[7]用可靠性系数作为优化目标，并用外点法的惩罚函数求解。焦万铭、魏静等[8-9]把等强度和体积最小共同作为目标函数，均采用MATLAB中的fmincon函数进行求解，其中各齿轮强度的差异程度各学者有不同的表示方法，前者等强度采用强度最小的弯曲疲劳应力值与接触疲劳应力值之差来表示，后者采用安全系数之差来表示，验证了等强度优化的可行性。国外学者针对齿轮优化方面也有许多研究，PASHKERICH等[10]以减速器的体积最小为优化目标进行优化；GROMYKO等[11]以减速器整机能量消耗最小为优化目标进行优化。然而传统优化算法有可能走入局部最优解而终止，错失全局最优解，所以国内外还有许多学者将智能优化算法加入传动系统的优化设计中，如苏德瑜、陈显冰等[12-13]使用了遗传算法(genetic algorithm，GA)；杨原青、SANGHVI等[14-16]使用了非支配排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA)来进行多目标优化求解；张干清等[17]使用了粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)，均能在优化设计上达到预期要求。

本文针对行星轮系提出以安全系数的方差为目标函数的等强度优化方法，并改进模拟退火算法，在算法降温到一定程度时重新提升温度，再次回火，使算法充分搜索解空间，避免陷入局部最优解的同时，等效优化行星轮系中各齿轮的接触疲劳强度，从而提高整体机构的使用寿命。

1 行星轮系机构分析与建模

行星轮系主要由4个部分组成，分别为：太阳轮、行星轮、行星架和内齿圈，如图1a所示为行星轮系结构简图。行星轮的个数通常为1～6个，由转动副与行星架配合并均匀排布在太阳轮四周。太阳轮和行星轮可以为直齿或斜齿齿轮。

图1 行星轮系的结构简图与三维模型图

行星轮系通常可以实现大传动比的变速，计算传动比时，通常采用反转法将行星架固定后及计算，如图1b所示直齿行星轮系，内齿圈固定，设输入转矩作用在太阳轮上，输出转矩由行星架传出，可得整个系统的传动比为：

(1)

2 等强度优化数学模型建立

2.1 齿轮的失效形式与强度设计准则

一般来说，齿轮的失效是指轮齿的失效，其中较为常见的轮齿失效形式有以下几种：轮齿折断、齿面磨损、齿面点蚀、齿面胶合和塑性变形[18]。根据上述失效形式，在设计齿轮传动系统时，针对齿轮进行齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度校核，当以上两个强度分别小于对应许用应力值时，即认为齿轮满足设计要求[18]。

由于在进行齿轮强度设计时，行星轮系中的各齿轮是分开计算的，所以容易发生在同样满足设计要求的情况下，计算应力与许用应力之间相差程度不同，则会导致计算应力与许用应力相差小的先失效，反之相差大的后失效。且根据实践生产可知，对于闭式软齿面齿轮传动，通常以保证齿面接触疲劳强度为主；若对于闭式硬齿面齿轮传动，通常以保证齿根弯曲疲劳强度为主[18]。所以在优化时，在保证各齿轮弯曲疲劳强度符合要求的情况下，对各齿轮的接触疲劳强度进行等强度优化。

2.2 齿根弯曲疲劳应力与齿面接触疲劳应力

齿根弯曲疲劳应力计算公式为：

(2)

式中，KF为弯曲疲劳强度载荷系数；T1为齿轮传递的转矩；YFa为齿形系数；Ysa为应力修正系数；Yε为弯曲疲劳强度重合度系数；Yβ为弯曲疲劳强度螺旋角系数；β为斜齿轮螺旋角；φd为齿宽系数；mn为法向模数；z1为斜齿轮齿数。

齿面接触疲劳应力计算公式为：

(3)

式中，KH为接触疲劳强度载荷系数；ZH为区域系数；ZE为弹性影响系数；Zε为接触疲劳强度重合度系数；Zβ为接触疲劳强度螺旋角系数；d1为斜齿轮直径；u为齿数比，且正号对应外啮合，符号对应内啮合。

2.3 许用应力与安全系数

齿轮许用应力的计算公式为：

(4)

式中，KN为寿命系数，当计算弯曲疲劳的许用应力时带入弯曲疲劳寿命系数KFN，同理计算接触疲劳的许用应力时带入接触疲劳寿命系数KHN；σlim为齿轮疲劳极限，亦可用弯曲疲劳应力σFlim和接触疲劳极限应力σHlim分别带入求解；S为疲劳强度安全系数，亦可分别带入弯曲疲劳安全系数SF，其取值范围为1.25～1.5，和接触疲劳安全系数SH，其取值为1。

齿轮的等强度反映的是齿轮的寿命，强度安全系数则可以体现出安全的程度。为考虑实际情况，本文引入计算安全系数，以体现在当前工况下结构的安全程度[19]。接触疲劳计算安全系数SHS的计算公式为：

(5)

则根据计算安全系数可以构建优化目标函数[9]。

2.4 优化变量和目标函数

在齿轮设计时通常对齿轮的压力角、齿数、模数进行设计，根据式(2)可知，弯曲疲劳应力还与齿宽系数φd和螺旋角β有关，综合以上条件，保持压力角为标准压力角20°不变，选择行星齿轮等强度优化变量为：

X=[zs,zp,zi,mn,β,b]T

(6)

式中，zs为太阳轮的齿数；zp为行星轮的齿数；zi为内齿圈的齿数；mn为法向模数；b为斜齿轮齿宽。

方差能够较好地体现单个样本值与平均值的差异程度，当各齿轮间的强度趋于相同时，各齿轮的安全系数方差应该趋于0。所以本文以计算安全系数的方差作为优化目标函数，故接触疲劳等强度目标函数为：

(7)

式中，SHSv为接触疲劳计算安全系数的平均值。本文研究对象选择1个太阳轮、1个行星轮、1个内齿圈和1个行星架的单级行星轮系减速器，所以式(7)中n的取值为3。

2.5 约束条件

在设计计算过程中，首先需要保证齿轮的加工，其次装配过程中不能发生干涉，且要均匀分布等，所以应满足以下8个条件。

(1)齿轮不根切约束。为使得各齿轮不发生根切，各个齿轮的齿数均需满足齿轮不根切条件，即：

(8)

(2)法向模数约束。在设计时，模数的选择需要遵循一定条件，用于动力传动的齿轮模数应大于2[1]，并参考表1进行模数选取，优先选择系列Ⅰ，应避免选择系列Ⅱ中的6.5[20]。

表1 法向模数推荐值mn (mm)

(3)装配啮合约束。为使得行星轮和太阳轮能与内齿圈啮合，则其中心距需满足装配啮合条件，即：

zs+2zp=zi

(9)

(4)齿数封闭约束。为使得行星轮能均布在太阳轮和内齿圈之间，则太阳轮和内齿圈的齿数应满足齿数封闭条件，即：

(10)

式中，N为行星轮的个数；C为任意自然数。

(5)齿数互质约束。为防止出现几对轮齿总是啮合从而导致的轮齿之间磨损程度不均匀的情况，一对啮合的齿轮的齿数应为互质数。则有：

(11)

式中，%为取余运算。

(6)星轮邻接约束。为使得各个行星轮之间不会产生干涉，则行星轮和太阳轮的齿数应满足星轮邻接条件，即：

(12)

(7)弯曲疲劳强度约束。本文虽以接触疲劳强度作为等强度优化目标函数，但在设计时仍应满足齿轮弯曲疲劳强度，即：

σF≤[σF]

(13)

式中，σF为弯曲疲劳应力；[σF]为弯曲疲劳许用应力。

(8)传动比约束。为使得算法计算过程中不产生超差解，故限制行星轮系的传动比范围，即：

-1

(14)

式中，i23为行星轮系传动比。

3 模拟退火算法

3.1 模拟退火算法的提出

设固体某一时刻的微观状态i与优化问题的某一解空间i等价，则固体该时刻的能量Ei与优化问题的目标函数值f(i)等价。引入控制参数t作为固体退火过程中的温度T，在算法执行过程中，缓慢减小t的值，即对应固体退火过程中的徐徐降温。引入Markov链长度k，作为在同一温度下，进行迭代的次数。所以在固体退火降温过程中，每进行一次降温，模拟退火算法就进行了k次Metropolis算法，即“产生新解—判断—接受或舍弃”的过程[21]。

其中Metropolis算法的数学表达为：

(15)

式中，t为控制参数；f(i)为旧解空间对应目标函数值；f(j)为新解空间对应目标函数值；Pt(i→j)为接受新解空间的概率。利用随机数发生器在[0,1)区间内产生一个数，与Pt(i→j)做对比，当接受概率大于随机数时，则判断系统接受新解空间，即使该新解空间对应的目标函数值大于旧解空间对应的目标函数值。重复执行，并引入降温速度参数λ，即每次降温λ，使控制参数t缓慢减小至终止条件时，系统趋于能量最小的基态即目标函数趋于全局最优解[21-22]。

3.2 多次模拟退火算法

在固体退火过程中，有时会在特定温度进行保温升温后进行二次退火，通过晶体之间的变化从而得到需要的机械性能或物理性能。推广到模拟退火算法上来，在算法进行的过程当中，选择适当的温度，将温度适当升高，以此来重新激活各稳定态的接收概率，从而避免算法陷入到局部最优当中[23]。

3.3 程序流程图

根据模拟退火算法的思想，绘制出如图2所示程序示意流程图。

图2 模拟退火算法程序示意流程图

可以看出，模拟退火算法实现过程中有两层循环嵌套，其中内层循环为等温过程中的迭代，对应在这一温度下固体粒子趋于平衡态的过程，即趋于局部最优解的过程；而外层循环为徐徐降温过程，对应固体粒子从一平衡态至另一平衡态的过程，即趋于全局最优解的过程。

本文在全部算法过程中进行了两次回火操作，即升温过程，如图2中的未超过回火次数后升温操作。

4 优化分析

以市场常见的带式输送机中的行星减速器为算例进行计算分析，采用斜齿轮传动，从太阳轮输入功率P=10 kW，转速为n=960 r/min，工作寿命为30 000 h，精度等级选择为7级，行星轮个数为1。行星减速器的各项参数如表2所示。

表2 行星减速器各项参数

根据模拟退火算法初始化要求，选定初始温度T=100 ℃，Markov链长度k=200，降温速度λ=0.98。当温度降低小于等于50 ℃时，进行第一次回火，升温30 ℃；当温度第二次小于等于50 ℃时，进行第二次回火，升温20 ℃。由于模拟退火算法是以概率为主要驱动的算法，其解具有一定随机性，为减少这种随机性带来的误差，将代码重复运行20次，记录各次结果并综合各项考虑选择最终优化结果，各次运行结果如表3所示。

表3 模拟退火算法20次运行结果

续表

由表3中的数据分析可得，在第20组达到目标函数最小的全局最优解：

X=[zs,zp,zi,mn,β,b]T=[59,20,99,8,11,105]T

(16)

其程序运行示意图如图3所示。

(a) 局部最优解的趋近情况 (b) 全局最优解的趋近情况

(c) 退火温度

对各参数和目标函数值进行比较，结果如表4所示，可以发现计算安全系数方差显著减小，基本上可以满足各齿轮等强度。并且与单次模拟退火优化的目标函数更低，目标函数值减少了36.16%。

表4 优化前后参数对比

5 结论

本文提出了以安全系数的方差为目标函数的2K-H

行星轮系的等强度优化数学模型，根据齿轮间约束条件利用模拟退火算法进行求解，得出以下结论：

(1)筛选出的优化参数对应的目标函数值明显小于原始参数，表明各齿轮间的安全系数接近或趋于一致，能够使寿命平均从而更加有效发挥各齿轮的性能，保证整体传动系统的可靠性。

(2)通过与单次模拟退火算法优化结果进行对比，三次模拟退火算法优化结果中目标函数值减少了36.16%，表明在退火过程中在适当温度下进行升温可以避免算法陷入局部最优解，从而更接近全局最优解。