永磁同步直线电机自适应反演滑模控制*

李泽声，贺云波，刘述进，廖回隆，钱其豪

(广东工业大学精密电子制造技术及装备国家重点实验室，广州 510006)

0 引言

目前数控机床、半导体封装设备、检测设备等自动化设备正朝着高速高精度的方向发展，对驱动系统提出了越来越高的要求。而传统的驱动系统是旋转电机加滚珠丝杆的驱动方式，该驱动方式因有联轴器和滚珠丝杆等中间环节，那么就存在反向间隙和弹性变形等缺点，这都导致了传统的驱动系统无法满足高速高精度的加工要求[1]。直线电机的直接驱动方式通过电能直接驱动负载运动，没有中间传动环节和反向间隙，且直线电机的结构简单紧凑、传动精度高、调速范围宽[2]。

永磁同步直线电机(PMLSM)系统是一个非线性、强耦合的复杂系统，且系统本身容易受到系统参数变化、外界扰动以及端部效应等不确定因素的影响。滑模控制是一种特殊的非线性控制策略，其根据当前的状态变量不断地调整控制量，迫使响应曲线跟踪规划曲线，且滑模控制具有响应速度快、对外界动不敏感等优点。张育增等[3]提出了一种基于负载推力观测器的新型变指数趋近律模糊滑模变结构控制方法，该方法的响应速度快、鲁棒性好且跟踪误差小。苏普春等[4]针对直驱H型平台设计了非奇异快速终端滑模控制与交叉耦合控制的复合控制方法，该方法可以提高直驱H型平台的位置跟踪精度和同步控制精度，且鲁棒性强。刘大伟[5]提出一种基于滑模变结构控制方法的鲁棒控制器，该控制器可以在较大的外界扰动的情况下仍保持良好的跟踪性能。刘正华等[6]提出了自适应反演滑模神经网络控制方法，该方法可以对存在多种不确定因素的仿真转台进行较好的鲁棒性控制。霍龙等[7]提出一种反演滑模并行复合控制策略，对存在系统的参数变化及外界扰动的情况下都可以实现鲁棒控制。彭文典等[8]采用自适应反演滑模控制对转向电机进行控制，在不同工况下都可以保证较高的控制精度和响应速度。刘青等[9]提出了一种基于干扰观测器的航向跟踪自适应反演滑模控制算法，可以对水下航行器在不同的水流干扰状况下实现稳定跟踪。赵希梅等[10]提出了一种自适应反推滑模控制和多阶段速度规划相结合的控制方法，该方法提高了PMLSM的响应速度、跟踪误差及鲁棒性，降低了超调量。

1 永磁同步直线电机数学模型

永磁同步直线电机系统是一个非线性、强耦合、多变量的系统，为了简化分析，在建模前进行以下假设[11]：

(1)忽略空间谐波，各相绕组的磁动势波形沿气隙圆周正弦规律分布；

(2)忽略铁心饱和，端部效应；

(3)忽略涡流和磁滞损耗；

(4)忽略绕组电阻和气隙磁场所受到的来自电流频率和环境温度的影响。

采用id=0的矢量控制方法，则永磁同步直线电机的电磁推力方程为：

(1)

永磁同步直线电机的机械运动方程为：

(2)

式中，x为动子的位移；v为动子的速度；M为电机动子及其所连接负载的总质量；Bv为粘滞摩擦系数；Fl为总扰动力。

2 加减速控制方法

加减速控制是数控系统运动规划的重要组成部分,是数控系统开发的关键技术之一[12]。自动化设备要完成高速高精度的运动，一方面需要伺服系统的响应速度快、定位时间短；另一方面还需要保证运动过程平稳，不产生冲击与残余振动，实现柔性加减速控制。常见的加减速控制方法有梯形加减速控制、指数加减速控制、三角函数加减速控制、S型加减速控制等。梯形加减速控制的算法简单、且计算量小，但存在加速度突变，会产生冲击与残余振动，导致设备的使用寿命减短。指数加减速控制的算法复杂，因而需要的运算时间长，也存在加速度突变，导致产生冲击与残余振动。三角函数加减速控制由于三角函数的运算复杂，难以满足系统的实时性要求，达不到响应速度快的要求，满足不了高速度、高加速度的运动要求。S型加减速控制根据速度表达式的最高阶次不同可以分为二次多项式S型加减速控制、三次多项式S型加减速控制、四次多项式S型加减速控制等等。不同次数多项式的加减速控制算法的计算量各不相同，在实际运用时应当根据伺服系统的运算能力进行选择。

综合不同的S型加减速控制方法的特点，设计了一种三次多项式S型速度规划算法，该算法的计算量小，且可以保证速度和加速度连续光滑变化。

三次多项式S型速度规划根据是否可以达到给定速度分为四段式三次多项式S型速度规划和五段式三次多项式S型速度规划。四段式三次多项式S型速度规划如图1所示，整个运动过程分为加加速段[0,t1]、减加速段[t1,t2]、加减速段[t2,t3]、减减速段[t3,t4]。五段式三次多项式S型速度规划如图2所示，整个运动过程分为加加速段[0,t1]、减加速段[t1,t2]、匀速段[t2,t3]、加减速段[t3,t4]、减减速段[t4,t5]。

图1 四段式三次多项式S型速度规划 图2 五段式三次多项式S型速度规划

在进行速度规划设计时，用户需要先设置运动的目标位置Send、目标速度Vmax和目标加速度Amax，然后根据设置运动参数判断是否存在匀速段，再根据设置运动参数和边界条件计算出各个运动阶段时间及推导出各个运动阶段对应的位置、速度、加速度和加加速度表达式。

若设置的运动参数关系式为：

(3)

当设置的运动参数满足式(3)时，此时速度规划存在匀速段，即为五段式三次多项式S型速度规划，则位置、速度、加速度、加加速度的表达式如下。

位置表达式为：

(4)

速度表达式为：

(5)

加速度表达式为：

(6)

加加速度表达式为：

(7)

式中，

(8)

3 自适应反演滑模控制器设计

根据式(2)可得永磁同步直线电机的数学模型为：

(9)

F=ΔAx2+ΔBu+D+ΔD

(10)

定义位置跟踪误差为：

e1=x1-dr

(11)

式中，dr为规划位置。

对位置跟踪误差求导可得速度误差为：

(12)

定义稳定函数为：

φ=ke1

(13)

式中，k>0。

定义：

(14)

定义李雅普诺夫函数为：

(15)

对式(15)求导得：

(16)

把式(13)代入式(16)得：

(17)

定义切换函数为：

s=ce1+e2

(18)

式中，c>0。

对式(18)求导得：

(19)

定义李雅普诺夫函数为：

(20)

对式(20)求导得：

(21)

由式(21)可得反演滑模控制器的等效控制律为：

(22)

为了保证全局快速趋近滑模面，提高系统对外界扰动和不确定因素的鲁棒性，提出了一种基于幂指数的切换控制律，其表达式为：

(23)

式中，g>0；1>α>0。

因此，反演滑模控制器的控制律为：

(24)

将式(24)代入式(21)得：

(25)

取

(26)

由于

(27)

此时

(28)

由于

(29)

在实际的控制系统中，不确定因素总和F通常是未知的，且F的上界也难以精确确定到某一个值。因此采用自适应算法对F进行估计。

定义：

(30)

定义李雅普诺夫函数为：

(31)

式中，λ>0。

系统的不确定因素的总和F变化缓慢，则：

(32)

对式(31)求导得：

(33)

设计自适应反演滑模控制律为：

(34)

(35)

将式(34)、式(35)代入式(33)得：

(36)

根据式(27)、式(36)可以化成：

(37)

因此，自适应反演滑模控制系统是稳定的。

为了减小抖振现象，用sigmoid函数代替符号函数，式(34)可改为：

(38)

式中，sigmoid函数为：

(39)

式中，a>0。

4 仿真与结果分析

电机的参数为Kf=52.3 N/A，M=5 kg，Bv=0.6 N/(m/s)。在MATLAB中的simulink仿真环境下建立基于自适应反演滑模控制器(ABSMC)的PMLSM的伺服系统仿真模型。采用所设计的三次多项式S型速度规划，设置规划位置为12 mm，加速度为100 m/s2。

PID与ABSMC的位置响应曲线如图3所示，PID与ABSMC的位置跟踪误差如图4所示。PID与ABSMC的运动性能对比如表1所示。由图3可得，PID上升时间比ABSMC快1.5 ms，但超调量比ABSMC大一倍，因此总体而言ABSMC的响应性能更好。PID的调整时间比ABSMC长，即PID定位时间长。由图4可得，ABSMC的最大动态误差比PID小，即ABSMC的跟踪性能好；ABSMC的稳态误差比PID小，即ABSMC稳态时的振动小。

图3 PID与ABSMC的位置响应曲线 图4 PID与ABSMC的位置跟踪误差

表1 PID与ABSMC的运动性能对比

在上个仿真实验的条件下，在0.11 s时给系统加入60 N的干扰并持续0.01 s，则得到加入60 N干扰后PID与ABSMC的位置响应曲线如图5所示，加入60 N干扰后PID与ABSMC的位置跟踪误差如图6所示。

图5 加入60 N干扰后PID与ABSMC的位置响应曲线 图6 加入60 N干扰后PID与ABSMC的位置跟踪误差

由图5和图6可得，加入60 N干扰后，PID的最大位置跟踪误差为18.7 μm，ABSMC的最大位置跟踪误差为3.5 μm。与PID相比，ABSMC在受到外界干扰后能在更短的时间内恢复到稳态，且受到外界干扰时的位置跟踪误差更小，即ABSMC的鲁棒性更强。

5 实验验证

为了验证所设计的自适应反演滑模控制器的控制性能，搭建了高速高精度的XY平台，该实验平台由本实验室团队自主研发的永磁同步直线电机、固高的GHN系列控制卡、固高的GTHD系列驱动器、海德汉的LIDA477系列读数头组成。实验平台如图7所示。

图7 实验平台

设置规划位置为4 mm，加速度为20 m/s2。PID与ABSMC的位置响应曲线如图8所示，PID与ABSMC的位置跟踪误差如图9所示。PID与ABSMC的运动性能对比如表2所示。

表2 PID与ABSMC的运动性能对比

图8 PID与ABSMC的位置响应曲线 图9 PID与ABSMC 的位置跟踪误差

由图8可得，PID上升时间比ABSMC快0.9 ms，但超调量比ABSMC大了75%，因此总体而言ABSMC的响应性能更好。PID调整到±2 μm时间比ABSMC长，即PID定位时间长。由图9可得，ABSMC的最大动态误差比PID小，即ABSMC的跟踪性能好；ABSMC的稳态误差带与PID一样。因此，与PID相比，ABSMC的响应性能和跟踪性能更好，定位时间短。

6 结论

本文采用三次多项式S型速度规划作为伺服系统的位置指令输入，设计了自适应反演滑模控制器。仿真与实验的结果表明，与PID控制相比，自适应反演滑模控制器的响应时间较短且超调量小、最大动态误差小、调整时间短、受外界干扰后可以迅速恢复稳态，即自适应反演滑模控制器具有较好的响应性能、跟踪性能、定位性能，鲁棒性强。由于采用sigmoid函数替代符号函数，该控制器也很好地抑制了滑模控制固有的抖振现象。因此，自适应反演滑模控制器可以满足自动化设备的高速高精度的运动要求。