核心素养下的高中数学新旧教材比较分析——以三角函数中的“诱导公式”为例

◎林巧婷 谢加良 刘小辉

(集美大学,福建 厦门 361021)

一、引言

2014年,教育部发布《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》,第一次提出“核心素养体系”的理念.2018年,教育部颁布《普通高中数学课程标准(2017 年版)》(以下简称“新课标”),明确提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学学科核心素养.2020年,依据新课标编写的新版高中数学教材正式在福建省投入使用，这是一套以数学学科核心素养为导向的新教材.因此,比较分析高中数学新旧教材的差异,挖掘数学学科核心素养在新教材中的渗透,是摆在一线教师面前的首要任务.

在数学教育的过程中培养学生的数学学科核心素养是极其重要的.本文以三角函数中的“诱导公式”一节为例,以挖掘数学教材中的核心素养为主线,从课标要求和教材内容两个维度出发,分析总结了2019版的《普通高中教科书·数学必修第一册(A版)》(以下简称“新教材”)与2004版的《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4(A版)》(以下简称“旧教材”)的差异.首先，在课标要求方面,对“诱导公式”这一节对应的新旧课标要求进行比较分析,以此说明新课标更加重视对数学学科核心素养的培养.其次，在教材内容方面,从导入、探究、概念、小结、习题五个部分入手,梳理总结两者的异同点,解读新旧教材变化的原因,挖掘数学学科核心素养在新教材中的渗透,帮助一线教师理解新教材,重视在教学过程中对学生数学学科核心素养的培养,以提高自己的教学质量.

二、课标要求

课程标准是指导教科书编写的官方性文件,为教科书的编写提供了重要依据.所以,不同的课程标准必然导致不同版本的教科书内容上的差异.因此,为了分析新课标下教学理念的变化,我们首先以三角函数中的“诱导公式”为例,分析其对应的新旧课标要求,结果发现，新课标对数学学科核心素养的重视程度在逐渐增加.

诱导公式的推导方法从借助单位圆的三角函数线转化为借助单位圆的对称性,这种变化本质上是为了强调三角函数的性质是单位圆几何性质的代数化,突显了直观想象素养的重要性.而直观想象素养是数学六大核心素养之一.因此,从上面的分析来看,新课标确实更重视学生的数学学科核心素养的培养.

三、教材内容

本章我们仍以三角函数中的“诱导公式”为例,依次从导入、探究、概念、小结、习题五个方面入手,具体分析新旧版本教材内容上的异同点,进一步解读新旧教材变化的原因,探究新课标下教学理念的变化.

(一)相同点

公式导入思路基本一致:圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质,因此，新旧教材都借助单位圆的对称性研究三角函数的对称性.所以，新旧教材在这节课都采用复习导入的形式,由函数的奇偶性联系到三角函数的对称性,体现了数学知识之间的衔接.这种导入方式培养了学生的逻辑推理能力,提高了学生的逻辑推理素养.

公式推导思路基本一致:新旧教材都是借助单位圆的对称性,首先将角之间的关系(数)映射在角的终边的对称关系(形)上,然后再推导出角的终边与单位圆的交点的坐标(数)之间的关系,最后得到它们的三角函数值之间的关系表达式,也就是诱导公式.新旧教材都是借助诱导公式(数)与单位圆(形)的紧密结合进行公式的推导.这种推导思路渗透了数形结合的思想方法,帮助学生认识、理解了知识内容.

公式转化思路基本一致:新旧教材的公式转化思路基本一致.下面以教材中任意角的正弦函数值转化为锐角的正弦函数值的思路为例,用流程图的方式进行说明.

由图1可知,任意负角的三角函数可以通过公式三或公式一转化为任意正角的三角函数;任意正角的三角函数可以通过公式一转化为[0，2π]内的角的三角函数;[0，2π]内的角的三角函数可以通过公式二或公式四转化为锐角的三角函数.新旧版本的高中数学教材在此部分的内容上基本一致.这种转化思路培养了学生的化归思想,帮助学生学会举一反三,灵活运用公式,提高了学生全面发展的综合素质.

图1 公式转化思路流程图

(二)差异点

本章主要比较分析了新旧教材教学内容上的具体差异,深入挖掘教材变化的原因,为今后一线教师理解和使用教材提供一定的帮助.

如表1所示,新旧教材的内容主要在探究、概念、小结、习题等部分存在明显差异,下面分别做具体的分析.

表1 新旧版本“诱导公式”教材内容的差异

1.探究部分

通过对比,我们发现新教材的探究活动明显增加，如在三角函数“诱导公式”这一节内容中,旧教材只有一个探究框(探究公式二至公式五),而新教材有三个探究活动(分别是探究公式二至公式四、公式五、公式六).新旧教材对公式二至公式五的探究思路基本一致,但新教材却把它们分成了两个探究活动.看似多此一举,实际上大有深意.有了前面公式二至公式四的探究活动的铺垫,学生才有可能自主推导出诱导公式五.设置对公式五的探究活动是为了让学生类比前面的探究活动的推导过程,进一步领会研究方法,锻炼学生的逻辑推理能力.由此可见,在新教材中增加探究活动,其目的是增强学生的自主探究能力,培养学生的逻辑推理素养.

2.概念部分

删除这些概括内容的意义在于让学生理解性地记忆诱导公式,自己归纳总结运用诱导公式的诀窍,帮助学生认识到:重要的数学结论往往都是“看”,也就是观察出来的,而不是靠死记硬背公式记住结论.从观察到归纳出数学结论则锻炼了学生的直观想象能力.直观想象能力是指以几何图形为载体,构建数学模型,借助几何直观理解和描述问题.因此,新教材删除所有诱导公式的概括表达,其目的是培养学生的直观想象能力,提高学生的直观想象素养,让学生自己借助单位圆理解记忆诱导公式的内容.

3.小结部分

通过对比,我们发现，新旧教材在小结部分也略有差异.如在利用公式一至四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤部分,旧教材只提出:“上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想.”而新教材总结到:“数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题,数学家制作了锐角三角函数表,并通过公式一～公式四,按上述步骤解决了问题.”

4.习题部分

由此可见,新教材在习题部分做了以上三个方面的修改,其目的是培养学生的转化思想和整体思想,强化数学知识的衔接,进一步加强对学生数学学科核心素养的培养.

四、结语

本文通过对新旧教材中三角函数“诱导公式”这一节内容的比较发现，新旧教材的公式导入、推导、转化思路基本一致.但与旧教材相对比,新教材增加了探究活动,改变了公式六的推导过程,删除了所有公式的概括表达,加强了数学文化的渗透,在习题部分也有所增减.这些变化突显了新教材培养学生自主探究的能力,弱化学生对诱导公式的代数运算,加强学生对数学思想方法的重视,培养学生的数学学科核心素养的意图.

新课标指出,数学教育要发展学生的数学学科核心素养.基于上述理念和比较结果,我们可以构建包括导入、探究、概念、小结、习题五个部分的课堂教学模式.

(一)复习导入,创设问题情境,启发学生思考

在导入部分,教师要紧扣数学知识的现实背景,创设好的问题情境,启发引导学生思考.从研究对象的现实背景出发,创设相关的问题情境,引导学生思考,锻炼学生从问题情境中提炼出数学问题的能力,进一步提高学生的数学思维能力.问题是数学的心脏,因此，教师要借助环环相扣的问题,在启发引导学生思考的过程中,帮助学生实现数学能力的提升和数学思维的突破.在本节课中,教师首先要解释清楚为什么要利用圆的对称性研究三角函数的对称性,让学生明白数学知识的来龙去脉,然后再以问题为导向,启发引导学生思考,推动学生的自主探究活动.

(二)重视探究,培养数学思维,发展逻辑推理

在探究部分,教师要重视培养学生的数学思维,发展学生的逻辑推理素养.在教学过程中,教师要重视探究环节和核心素养的培养,应该灵活运用教材,设置多种形式的探究活动,让学生借助已有的数学活动经验,自主完成学习任务,真正实现学生数学学科核心素养的提高.在本节课中,教师要引导学生进行深层次的思考,自主推理论证诱导公式,实现数学思维的突破.诱导公式的三个探究活动层层递进,教师要利用好这些活动之间的内在联系.教师要引导学生在探究活动1的基础上,通过类比的方法,发现单位圆内其他对称形式的坐标关系,自主完成探究活动2和3.

(三)阐明概念,加深公式理解,发展直观想象

在概念部分,教师要帮助学生加深对公式的理解,发展学生的直观想象素养.因为重要的数学结论往往都是“看”出来的,也就是观察出来的,而不是靠死记硬背公式记住结论.所以，教师要教会学生“怎么看”,要在教学过程中锻炼学生观察图形或者利用图像归纳出数学结论的能力.在本节课中,教师在阐明概念的同时也要让学生以单位圆为载体,借助直观想象,自己尝试建立各组公式与图形之间的联系,加深对公式的理解,在理解的基础上利用单位圆记忆诱导公式.

(四)课堂小结,构建知识体系,渗透数学文化

在小结部分,教师要构建完整的知识体系,渗透数学文化和社会主义核心价值观.首先，教师要抓住锐角三角函数这个点,展开说明任意角的三角函数与锐角三角函数之间的关系以及诱导公式在联系它们时所起到的作用.其次,教师要在总结中帮助学生把前后涉及的数学内容串联起来,帮助学生理清数学知识之间的联系,构建一个完整的知识结构体系.同时,教师要在教学过程中适当渗透数学文化和正确的社会主义核心价值观,真正做到贯彻立德树人的教育理念.

(五)利用习题,归纳解题步骤,形成通性通法

在习题部分,教师要利用习题帮助学生归纳解题步骤,形成通性通法.首先，教师要帮助学生梳理利用诱导公式解题的求解过程,提高面对题目选择合适的公式的能力.其次,在归纳完解题步骤后,教师要注重培养学生通过一道题解决一类问题的思想方法,即通性通法.