压电压磁材料中正n边形孔边裂纹分析

徐 燕， 杨 娟

(1.宁夏大学新华学院，银川 750021; 2.宁夏大学 民族预科教育学院，银川 750002)

1 引 言

20世纪60年代科学家首次注意到磁有序晶体中存在线性磁电效应[1]，但仅是大多数单相磁电材料只在低于室温的环境下检测到微弱的磁电效应，严格的温度/磁场范围限制了尖端技术领域对磁/电智能材料及元器件的广泛应用。直到1972年，科学家第一次成功制备出磁电转换系数较大的压电压磁材料BaTio3-CoFe2o4，才逐渐拓宽了磁电智能材料的使用范围。压电压磁材料是一种新型的智能材料和信息功能材料，同时具有优良的力电/力磁转化功能、较强的磁电耦合效应和对激励快速响应等优势，广泛用于磁场探测器、磁电存储器、微机械传感器和智能滤波器等智能元器件中。近年来还在新能源、航天航空、生物医疗和国防信息化建设等领域具有巨大的应用潜能，但是，压电压磁材料天然固有的脆性特征，使其在铸造过程中极易产生裂纹和孔洞等缺陷。在复杂的力、电和磁耦合载荷环境下缺陷处容易引起应力集中分布,最终导致材料断裂损坏[2]。断裂力学研究对于压电压磁材料和智能元器件的设计及其性能优化具有十分重要的工程价值和理论意义,近年来成为人们关注的热点，并在这方面已取得许多重要的研究成果[3-5]。

孔边裂纹问题的研究更是该领域中一个非常活跃的课题，国内外学者已做了大量工作。文献[7，8]分别给出磁电弹性介质中圆孔边周期裂纹和椭圆孔边多裂纹反平面问题的解析解及数值算例。文献[9]求解了唇形裂纹反平面问题的解析解。文献[10]通过引入一个拱形映射公式，讨论了磁电弹体中含椭圆孔边不对称双裂纹的静力学和动力学问题。文献[11]通过将纳米椭圆孔简化为纳米裂纹，获得问题的闭合解。文献[12]探索了表面效应对磁电弹性材料中含带四条裂纹的正4n边形纳米孔的影响。但是，至今未发现关于压电压磁材料中正n边形孔边裂纹反平面断裂问题研究的报道。

2 压电压磁材料基本理论

本文对含正n边形孔口单裂纹的横观各向同性压电压磁材料的断裂性能的研究中，以x3轴为磁电极化方向，以垂直于x3轴的x1-x2平面为各向同性面，故本构方程可化简为

(k=1,2)(1)

平衡方程及磁-电麦克斯韦方程

σ3i,i+bi=0,Di,i+be=0,Bi,i+bm=0

(i=1,2)(2)

若不考虑体力、体电荷密度和体电流的作用，即bi=0，be=0和bm=0，则

B02U=0

(3)

(4)

因为|B0|≠0，则由式(3)可得控制方程为

2U=0

(5)

式(5)的一般解可表示为

(z=x1+ix2)(6)

利用Stroh公式，引入一个广义应力函数向量φ[13],可得

(7)

式中下标的逗号表示求偏导。

将式(1)代入式(7)得

(8)

由式(8)可得

(9)

因此，式(6,9)的一般解可以写成Stroh公式的形式

(z=x1+ix2)(10)

式中A=I,B=iB0,I为一个3×3阶单位矩阵，f(z)为一个由边界条件决定的解析函数向量。

3 压电压磁材料中正n边形孔边裂纹问题的解析解

3.1 力学模型

如图1所示,在含有正n边形孔口缺陷的无限大横观各向同性压电压磁材料中,有一条沿x1轴方向的孔口边水平裂纹，其长度表示为L，其中缺陷的孔口边长表示为a，并沿磁电极化方向穿透。假设压电压磁材料在无穷远场受均匀反平面剪切应力、面内电载荷和磁载荷共同作用。

图1 无限大压电压磁材料中带单裂纹的正n边形孔口

3.2 场强度因子

在压电压磁材料内，复势向量函数形式[14]为

f(z)=c∞z+f0(z)

(11)

式中c∞为一个与远场载荷条件有关的复数形式的常向量，f0(z)为一个在无穷远处取值为零的未知复函数向量，即f0(∞)=0。

对式(10)关于x1求偏导数，得

(12)

式中F(z)=df(z)/dz。将式(11)代入式(12)，再令z→∞得

(13)

(14)

压电压磁材料中正n边形孔边及其裂纹面上的力、电和磁边界条件可表示为

ts=(t3-Dn-Bn)T

(15)

式中t3为沿边界所受的反平面剪切应力，Dn为法向电位移，Bn为磁感应强度。

考虑磁电全非渗透型边界条件时，假设孔口和裂纹面是自由的，则式(15)化为

(16)

将式(11)代入式(16)得

(17)

为了容易求解函数方程组，引入合适的数值保角变换[15]

(18)

其中常数R为正n边形的形状系数，a为正n边形的边长.此映射可将z平面上正n边形孔洞外部区域映射到z1平面上单位圆孔外部区域。

利用式(18)能够把z平面上正n边形孔边裂纹外部区域映射到ζ平面上单位圆内部，获得复合映射函数为

(19)

2(1+ε)(1-ζ2)2]1/2}

(20)

式中ε为一实参数,且ε=(1+l+(1+l)-1/2，其中l为z1平面的裂纹长度,点的对应关系式为

d+L=R[(1+l)+c1(1+l)1 - n+

c2(1+l)1 - 2n+…+ck(1+l)1 - k n]

(21)

式中d为正n边形的顶点到中心的长度,对应关系为z1=d+L=ω(1)。

利用保角映射z=ω(ζ)，式(17)在ζ平面上可变为

(22)

(23)

(|ζ|<1)(24)

运用Cauchy积分公式，对|ζ|<1内任一点ζ满足

(|ζ|<1)(25)

运用留数定理，式(25)右端的积分结果可表示为

(26)

将式(26)代入式(25)，并对两端关于ζ求导，得

(27)

式中F0(ζ)=df0(ζ)/dζ，且

(28)

式中

2(ε+1)(1+ζ2)]/{ε(1+ζ)2+(1-ζ)2+

由文献[17],ζ平面内ζ=1处的应力、电位移和磁感应强度因子可表示为

(29)

将式(27)和式(14)的第一个公式代入式(29)得

(30)

(31)

(32)

(33)

式中L′=(h+L)/2，当n取奇数时，h为正n边形的高，当n取偶数时，h为正n边形的两个顶点之间的最大距离.

故式(30)可化简为

(34)

当不考虑磁场时，所得研究结果与文献[18]的结果相一致。

3.3 能量释放率

对于磁电全非渗透型裂纹，能量释放率的数学表达式为[9]

(35)

式中

(36)

将式(34～36)代入式(35)，得

(37)

式中

3.4 结果与讨论

(1) 当n=3时，由式(33,37)可获得压电压磁材料中正三角形孔边单裂纹问题的解析解

(38)

G=[πL′(K*)2/(2detB0)]Λ

(39)

(2) 当n=4时，由式(33，37)可获得压电压磁材料中正四边形孔边单裂纹问题的解析解

(40)

G=[πL′(K**)2/(2detB0)]Λ

(41)

当不考虑磁场时，式(40，41)分别退化为压电复合材料中正四边形孔边单裂纹的等效场强度因子解析表达式和能量释放率的解析表达式。这与文献[5]退化为孔边单裂纹反平面问题的结果相吻合，由此进一步印证了计算方法的有效性。

(3) 当n=5时，由式(33，37)可获到压电压磁材料中正五边形孔边单裂纹问题的解析解

(42)

G=[πL′(K***)2/(2detB0)]Λ

(43)

4 数值算例及分析

本文以磁电弹性复合材料BaTio3-CoFe2o4为例，其材料常数如下[19]

c44=4.4×1010Pa,e15=5.8 C/m2

d11=5.2×10-12Ns/VC

临界能量释放率为Gr=5.0 N/m。

取n=3,4,5，图2和图3分别显示了等效场强度因子K与裂纹长度L/a和孔口边长a的变化关系曲线。可以看出，裂纹长度和孔口边长起初增大都会引起裂纹扩展，后趋于稳定状态。另外，在相同条件下，n=3时对应的等效场强度因子最大。

图2 等效场强度因子K随L/a的变化关系

图3 等效场强度因子K随a的变化关系

取L/a=0.01,a=0.02 m。图4给出了等效场应力强度因子K随正n边形边数量的变化关系曲线。可以看出，带一条裂纹的孔口为正三角形时等效场应力强度因子最大，随着正n边形边数的增加，等效场应力强度因子逐渐减小，并且趋于带一条裂纹的圆孔的等效场应力强度因子。所以 图4 表明正n边形边数越小，孔边裂纹扩展得越快。

图4 等效场强度因子K随n的变化关系

图5 对不同a,无量纲能量释放率G/Gr随L/a的变化关系

图6 对不同无量纲能量释放率G/Gr随的变化关系

图7 对不同无量纲能量释放率G/Gr随的变化关系

图8 对不同无量纲能量释放率G/Gr随的变化关系

从图6～图8可以看出，在相同条件下，n=3时对应的无量纲能量释放率最大，这说明材料中含正三角形孔边单裂纹更容易损坏。

5 结 论

本文采用复势法和Schwarz-Christoffel(CS)变换技术，系统地研究了压电压磁材料中含带单裂纹的正n边形孔边裂纹的反平面问题。所得的研究结果适用于任意规则多边形孔边裂纹问题。通过对几种特殊情形的数值算例结果绘图对比分析，揭示了压电压磁材料断裂的破坏机理。同时得到一些有用的结论。

(1) 正n边形的孔洞边长尺寸和裂纹长度的增加会促进裂纹的扩展，并且孔洞边长尺寸变化对裂纹的扩展影响更显著一些。

(2) 在磁电全非渗透边界条件下，根据能量释放率准则，机械载荷对裂纹的扩展有显著影响；电位移载荷既能促进也能抑制裂纹的扩展；磁载荷对裂纹扩展的影响与电场相似，主要与所施加的机电载荷组合的大小有紧密联系，但磁场影响作用远小于电场。

(3) 在相同条件下，等效场强度因子和无量纲能量释放率随着正n边形边的数量增加而逐渐减少，并最终无限接近于带一条裂纹圆孔的值。反之正n边形边的数量越小，缺陷扩展越快。研究结果显示正三角形孔边裂纹构型更易损坏。