四边简支功能梯度圆锥壳的非线性振动分析

张宇航， 刘文光， 刘 超， 吕志鹏

(南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063)

1 引 言

由高韧性、耐腐蚀金属和耐高温陶瓷组成的功能梯度材料FGMs(Functionally Gradient Materials)不仅具备良好的力学特性，而且具有优异的热防护性能，在高超音速飞行器的热防护系统设计中具有良好的应用前景。然而，由于高超音速飞行器服役时，振动贯穿其发射和飞行直至着落等全部过程，所以，了解FGMs结构的振动特性对于热防护系统的动力学设计具有重要的意义。

在高超音速飞行器结构中，板壳是最为常见的构件之一。近年来，针对FGMs板壳结构的振动力学问题，研究者做了大量的研究工作。蒋伟男等[1]研究了简支和固支边界条件下FGMs夹层板的自由振动。利用一阶剪切变形理论，Liu等[2]讨论了多种边界条件下几何尺寸和材料组分对FGMs圆柱壳模态频率的影响。结合Love薄壳理论和微分求积法，Ebrahimi等[3]推导了FGMs壳的自由振动方程，分析了FGMs壳的模态频率。考虑材料沿径向呈梯度分布，滕兆春等[4]采用微分求积法求解了不同边界条件下FGMs环扇形板的自由振动频率。基于Flügge理论，杨萌等[5]研究了FGMs圆柱壳振动响应的计算方法。

动载荷作用下，板壳结构经常发生大的几何变形，致使越来越多研究者关注FGMs板壳的非线性振动。Allahverdizadeh等[6]建立了FGMs薄板的振动方程，采用半解析法求解了薄板的非线性自由振动和轴对称受迫振动。基于Sigmoid材料分布函数，Wang等[7]研究了含孔隙FGMs薄板的非线性振动特性。基于Kirchhoff薄板理论，胡宇达等[8]研究了热环境对FGMs圆板非线性强迫振动响应的影响，分析了FGMs圆板进入混沌运动的路径。Nayfeh等[9]采用多尺度分析法求解非线性方程，讨论了边界条件对圆板非线性振动响应的影响。考虑弹性基础的作用，Sheng等[10]研究了弹簧系数对FGMs圆柱壳非线性振动的影响。考虑剪切应力的作用，Sofiyev等[11]研究了正交异性FGMs圆柱壳的非线性振动特性。

工程实践中，板壳结构广泛应用于航空航天领域，尤其在高超音速飞行器结构中，很多结构设计为圆锥形。在保证结构耐用性和使用寿命的前提下，圆锥壳不仅节省了材料用量、减轻了结构重量和提高了经济性能，而且圆锥壳有利于减少飞行阻力，提高飞行速度。高速飞行时，锥壳结构不可避免地要承受振动冲击和高温高压等载荷的作用，致使圆锥壳产生非线性振动[12,13]。与其他板壳结构不同，圆锥壳的半径随不同位置而不同，建模和计算的难度增大，甚至导致计算不可求。因此，本文以FGMs圆锥壳为对象，考虑von-Karman几何非线性，并结合Galerkin方法推导出FGMs圆锥壳的单自由度非线性振动微分方程，并探讨圆锥壳几何参数以及陶瓷体积分数指数对非线性振动响应的影响，进一步推进FGMs在高超音速飞行器热防护结构上的应用。

2 FGMs圆锥壳模型

如图1所示为FGMs开口圆锥壳，假设壳的几何尺寸分别为,壳厚为h，母线长为L，圆锥小端的半径为R1，圆锥大端的半径为R2，圆锥壳的半锥角为α0，圆锥壳的张角为θ0。

以圆锥壳的中面为基准，建立图1所示的柱面坐标系(x,θ,z)。坐标系中，x表示圆锥壳的母线方向，θ表示圆锥的圆周方向，z表示圆锥壳的厚度方向。

图1 FGMs圆锥壳模型

假设FGMs圆锥壳的外表面为纯陶瓷，内表面为纯金属。材料沿厚度方向的分布用Voigt模型来描述[14]，其物理属性表达式为

P(z)=PcVc(z)+PmVm(z)

(1)

(2)

式中N为陶瓷体积分数指数。

3 FGMs圆锥壳的运动方程

根据一阶剪切变形理论，FGMs圆锥壳上任意点的位移沿x,θ和z轴上的分量可由中面上的位移表示为[15]

(3)

式中u，v和w为圆锥壳上任意一点的位移，u0，v0和w0为圆锥壳中面上的位移，Φx和Φθ分别为圆锥壳沿轴x和θ方向的转角，t为时间变量。

因此，FGMs圆锥壳的动能K为

R(x)dSdz

(4)

圆锥壳中面任意一点的半径R是关于坐标x的函数，

R(x)=R1+xsin(α0)

(5)

考虑von-Karman几何非线性，圆锥壳的应变分量与中面位移分量的关系为

(6)

式中

(7)

基于胡克定律，FGMs圆锥壳的应力应变关系为

(8)

式中σx和σθ为壳内任意一点沿x和θ方向的正应力，τx θ为xθ平面内的切应力，τx z为xz平面的切应力，τθ z为θz平面的切应力，Qi j(i,j=1,2,6)为刚度元素。

因此，FGMs圆锥壳的应变能U为

τθ zγθ z+τx zγx z)R(x)dSdz

(9)

考虑式(14，15)，根据Hamilton原理[2]，FGMs圆锥壳的运动方程可表示为

(10a)

(10b)

Nxw0,xR(x),x+Nx,xw0,xR(x)+

(10c)

(10d)

(10e)

式中Nx，Nθ和Nx θ为内力，Mx和Mθ为弯矩，Mx θ为扭矩，下标,表示对变量求导，上标 ¨ 表示对时间t求二阶导数，I1，I2和I3为惯性矩，表达式为

(11)

假设FGMs圆锥壳四边简支，其位移函数可表示为[16]

(12)

式中um n(t),vm n(t),wm n(t),pm n(t)和qm n(t)为关于时间t的变量，n和m分别为环向波数和轴向波数。

4 FGMs圆锥壳的非线性振动求解

将式(12)代入式(10)，应用Galerkin积分，只考虑横向振动[17]，圆锥壳简化为单自由度模型，

(13)

式中Q1为线性刚度系数，Q2和Q3为非线性刚度系数。

为便于后续分析，令

(H=1 m)

(14)

将式(14)代入式(13)，可得

(15)

(i=1,2,3)(16)

考虑式(15)含强非线性项，使用L-P法求出的结果与实际有较大误差[18]。本文采用改进的L-P法分析FGMs圆锥壳的非线性振动。根据改进的L-P法，可得圆锥壳的非线性频率ωm n,n - l和位移W，即

(17)

(18)

(19)

式中A为初始无量纲振幅，ωm n 0为线性频率。

(20)

5 讨论与分析

5.1 模型验证

SUS304和Si3N4的材料参数列入表1。假设圆锥壳的几何尺寸为L/R1=4，R1/h=20，θ0=120°，α0=15°，h=0.01 m。通过式(20)计算了FGMs圆锥壳的模态频率，并与文献[19]进行对比，图2 结果表明，两者十分吻合。

图2 FGMs圆锥壳无量纲频率的对比

图3和图4对比了A=1时的位移响应以及相图的解析解和数值解。结果表明，采用改进的L-P法时，选取的阶数满足求解精度。因此，后续研究采用改进的L-P法计算非线性频率以及频域响应，使用Runge-Kutta法计算时域响应。

图3 FGMs圆锥壳的非线性位移比较(m=1,n=1,N=1)

图4 FGMs圆锥壳的速度与位移相图比较

5.2 圆锥壳结构对振动频率的影响

图5研究了张角θ0取90°,120°和180°时，圆锥角对非线性频率的影响。结果表明，当α0取0°～50°时，FGMs圆锥壳的非线性频率随着锥角的增大而增大;当α0大于50°时，非线性频率显著下降，减小速率由明显趋于平缓。而当α0越趋近90°时，张角对FGMs圆锥壳的非线性频率影响微小。

图5 不同张角下圆锥角对频率的影响(N =1,A =0.01)

图6研究了α0分别取0°，30°和45°时，张角θ0对线性频率的影响。结果表明，θ0在20°～40°范围内时，非线性频率随θ0的增大而减小，非线性频率下降幅度明显。在θ0较小的范围内，锥角α0的变化对FGMs圆锥壳的频率影响不大。在结构上，圆锥壳结构趋近闭合时，即θ0不断增大至180°，此过程中其频率逐渐增大。值得一提的是，当α0=90°时，结构变为圆环结构，与取其他锥角情况不同，FGMs圆锥壳的频率随θ0增大而逐渐减小，θ0越大，频率的下降幅度越小，最后趋近于平稳。

图6 不同圆锥角下张角对频率的影响(N =1,A =0.01)

分析认为，增大FGMs圆锥壳的张角，会降低锥角α0对频率的影响。即θ0取小值时，结构频率的变化主要取决于θ0，与之相反，FGMs圆锥壳趋于圆环时，频率变化主要受圆锥角α0的影响。

5.3 FGMs组分对振动响应的影响

图7给出了不同陶瓷体积分数对圆锥壳频率比的影响。图8研究了不同体积分布指数对圆锥壳位移响应的影响。

图7 不同N时振幅与非线性频率比的关系(A =0.01)

图8 不同N时FGMs圆锥壳的位移-时间曲线(m =1,n =1,A =1)

结果表明，随着N的增大，频率比增大，但整体上分布指数对频率影响不明显；N并不改变圆锥壳的振动趋势，只是通过影响频率从而改变振动周期。

5.4 结构几何尺寸对振动响应的影响

图9研究了L/R1分别取5，10和20时，初始振幅对频率的影响。图10给出了L/R1对位移响应的影响。可以看出，振幅越大,频率比越大，且变化速率越来越快,是由于长径比越大，结构刚度减小，频率下降，导致振动周期增大。图11给出了不同h/R1时，频率比随振幅的变化情况。图12研究了h/R1对位移响应的影响。分析发现，与L/R1类似，h/R1越大，圆锥壳的非线性频率比越小。h/R1越大，圆锥壳的刚度越大，相对应的振动周期缩短。

图9 不同长径比时振幅与非线性频率比的关系(N =1,A =0.01)

图10 不同长径比时FGMs圆锥壳的位移-时间曲线(m =1, n =1,N =1,A =1)

图11 不同厚径比时振幅与非线性频率比的关系(N =1,A =0.01)

图12 不同厚径比时FGMs圆锥壳的位移-时间曲线(m =1,n =1,N =1,A =1)

6 结 论

在考虑von-Karman几何非线性的基础上，利用Galerkin法对圆锥壳的运动方程进行离散化处理，得到圆锥壳的非线性自由振动微分方程，然后采用改进的L-P法以及Runge-Kutta法求解，得到方程的解析解和数值解，研究了圆锥壳的几何尺寸以及陶瓷体积分布指数对其频率以及响应的影响。主要结论如下。

(1) 增大FGMs圆锥壳的张角，锥角对频率的影响减小；当圆锥壳结构趋近于圆环时，圆锥壳的张角对频率影响甚微。因此，合理设计圆锥壳的圆锥角和张角可有效节约材料。

(2) 陶瓷体积分布指数越大，陶瓷材料占比越小，圆锥壳的刚度越小，非线性频率越小，振动周期随之增大。

(3) 增大圆锥壳的长度和厚度，圆锥壳的非线性频率比减小。因此，改变圆锥壳的几何参数会影响整个结构的振动响应。

(4) 改变功能梯度材料的组分和锥壳的几何尺寸，都会导致圆锥壳的非线性幅频特性曲线呈向右弯曲的态势，圆锥壳具有明显的弹簧渐硬非线性振动特性。