指向数学理解进阶的体悟式教学实践

摘 要 数学学习的过程是数学理解不断进阶的过程，数学素养的提升过程也与数学理解的进阶紧密相关。要实现数学理解的不断进阶，需分解对象的要素、划分理解的层次、明晰理解的内涵。围绕认知要素设计合适的数学活动，能增加学生的具身体验；设计恰当的思辨问题，能促进学生深度感悟。以“简单图形的平移”一课为例，可以组织五个层次的体悟活动：一是借助观察体验活动，在辨识中感知平移要素；二是借助操作体验活动，在解惑中感悟平移特征；三是借助画图体验活动，在追溯中掌握平移方法；四是借助想象体验活动，在比较中感悟转化思想：五是借助探究体验活动，在应用中抵达创造生成的高度。

关  键  词 数学理解进阶 体悟式教学 表象理解 解释理解

引用格式 王广科.指向数学理解进阶的体悟式教学实践[J].教学与管理，2022（35）：49-53.

数学充满着抽象的符号与严密的逻辑，数学学习的过程是数学理解不断进阶的过程。数学教学应该深入学生的思维层，使思维的提升过程与数学理解进阶的过程同行并进。学科素养的提升是学生持续发展的动力，数学观察、数学思考和数学表达等数学关键能力的提升都和数学理解的进阶紧密相关。毋庸置疑，数学理解得到了广泛的价值认同。但如何实现学生数学理解的不断进阶，路径在哪里？教学如何优化？依然是值得深入探讨的问题。笔者认为，教师深入解读数学理解的内涵，明晰数学理解的进阶路径是数学理解不断进阶的前提；设计出指向数学理解的教学活动，引导学生深度体悟数学理解的对象，是数学理解不断进阶的基本路径。

一、明晰数学理解进阶的内涵

现代认知心理学认为理解建立在学习者对信息传输与编码的基础上，学习者根据自己的已有经验和认知结构，主动建构心理表征，进而获得心理意义。在此过程中原有知识与新的外界刺激相互作用，发生了意义同化[1]。从过程上看，数学理解是动词，指的是学习者对学习对象进行数学化的再造；从结果上看，数学理解是名词，指的是学习者对学习对象的认知层次。

国内外学者对数学理解的内涵、特征、层次和教学策略等进行了广泛的研究，在语言表述上各有不同，但主要观点是趋同的。第一，对需要理解的对象进行分解，把一个大的概念分解成若干要素逐步理解并建构关联。宏观上看，可以分为数学概念、数学命题和数学图形。也有学者进一步细分为数学概念、数学符号、数学命题、数学技能、数学方法和数学思想。当然从微观的角度，具体到一个概念，还需要根据具体课时进行厘定。第二，对理解的程度进行分层。二分法一般分为工具性理解和关系性理解[2]。SOLO分类理论根据理解的过程分为前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平、抽象扩展结构水平五个层次[3]。还有学者根据理解的深浅分为表象理解、解释理解、建立联系、思想运用、创造生成[4]。本文在研究“简单图形的平移”这一课时，采取第三种分层的方式。在横向上将“简单图形的平移”拆分成平移现象、平移要素、平移特征、平移方法和平移思想，在纵向上，沿着“表象理解—解释理解—建立联系—思想运用—创设生成”的台阶不断提升，以理解对象为经，理解层次为纬，经纬交织，升华学生的数学理解，发展学生的高阶思维，提升学生的核心素养。

二、探明数学理解进阶的路径

如何帮助学生不断进阶数学理解？开展体悟式教学是一条重要路径。体悟式教学就是把具身体验和离身感悟这两种学习方式结合起来的一种教学样态，包括两层含义：一是“体”，二是“悟”。“体”指向身体和体验，强调对细节的具身认知，“悟”指向心灵和沉浸，强调对整体的全身心感悟。体悟式教学能够充分发挥师生生命的自主性和自觉性，通过共同体验、反思与感悟把认知对象融入到师生的内心世界中，并与原有的认知结构、生活经验相结合，以生成新的意义，最终实现学生的全面发展。

由此，我们可以探明数学理解不断进阶的路径：从“具身认知的体”走向“离身认知的悟”，这需要做好两件事：一是设计合适的数学活动，增加学生的具身体验；二是给学生创设自主反思的时空，在“回头看”的过程中洞察本质，关联知识、习得策略、感悟思想，不断提高数学理解的水平。

三、明确数学理解进阶的操作步骤

借助以上观点来分析“简单图形的平移”这一课时，可以分解出四个数学理解对象（平移现象在三年级已经掌握，属于学生的前概念）和理解的五阶水平。对应数学理解的对象可以选择或者设计出对应的体悟式数学活动（如图1），借助这些活动给学生创造深层体验的机会，引导学生在反思中获得深度感悟，构建“为理解而教，为理解而学”的数学课堂。

五轮体悟式数学活动的设计，拾级而上，指向不同的理解对象，将学生的理解层次引领到相应的发展水平。五轮体悟式数学活动的开展，既充分尊重学生的主体地位，让学生入乎其中进行沉浸体验，实现“深入”；又充分发挥教师的组织引导作用，让学生出乎其外，把握数学理解的关键，实现“简出”。

1.表象理解：借助视觉体验，辨识中感知平移要素

认知过程是一个从模糊到清晰、从具体到抽象、从整体感知到聚焦关键的过程。认识简单图形的平移，学生具备的前概念是“能辨别生活中的平移现象”，本课时的学习是一次從生活中的平移走向数学上的平移的一次飞跃，例1的“小船图”和“金鱼图”（如图2）既具备生活的元素，也具备平面图形的特征。

“小船图和金鱼图是怎样运动的”和“它们的运动有什么相同点和不同点”这两个问题指向平移的两个要素：方向和距离。为了给学生带来更加强烈的视觉冲击，教学时，可以将静态的素材做动态化处理，在观察中形成简单图形的平移表象，有了表象的支撑，学生比较容易发现平移的方向相同。但对另一个要素——平移的距离，会产生一定的分歧，有的学生回答“平移的速度不同”，有的学生回答“平移的时间不同”，还有学生回答“平移的距离不同”等等。对此，教师可以再次慢放平移的过程，看清楚是“平移速度相同”“平移时间不同”“平移距离不同”。接着引导学生说一说速度、时间和距离的关系，借助数量关系“速度×时间=距离”，引导学生认识到它们是相关联的三个量，研究图形时，数学更关注的是距离这个要素。这样，学生就从图形的大小、平移速度、平移时间、平移距离、平移方向等众多要素中抽离出方向和距离，对平移现象的整体辨别上升到对平移要素的准确辨识，数学理解水平实现了第一次进阶。

2.解释理解：借助操作体验，解惑中感悟平移特征

儿童的思维在他们的指尖上，将学生的思维从平移的外部特征引向对平移内部特征的探究，离不开动手操作这一关键环节。教材设计的第二个环节是“数简单图形平移的距离”（如图3）。

数一数，下面的小船图向右平移的距离是几格？

教师把这个问题抛给学生之后，出现了三个答案：4格、5格、9格。面对三种情况，教师要谨防“一鸟入林，百鸟压音”的现象。切记不要让回答正确的学生先发言，否则其他学生就不会表达出自己的真实想法，“病症”就会被掩盖。教师应该先让平移4格、平移5格的同学说出自己的想法，最后再让平移9格的同学回答。平移4格的同学认为应该数平移前后两条船之间的间隔长度（如图4），平移5格的同学认为应该数平移前后两条船之间的间隔格数（如图5），平移9格的同学认为应该数对应点之间的距离（如图6）。由此，我们发现学生出现分歧的关键点是对平移距离这一概念的理解不同。要解开学生心中的疑惑，需要回归平移距离这一核心要素，引导学生重新思考：“平移距离是什么意思？”聚焦了关键点，学生就会在合作交流中认识到以下两点：第一，距离是长短而非大小，平移几格，不能数方格，而要数长度，平移5格的想法是在数方格，对距离的理解认知不到位，所以是错误的。第二，不能把间隔距离当作平移距离，否则会出现矛盾，比如“船帆之间的间隔”“甲板之间的间隔”和“船底部之间的间隔”都不一样。另外，回归到初始状态进行二次操作验证，能够发现小船图实际上平移了9格。在获得正确答案之后，进一步追问：“除了数船头这一组对应点之外，请你再选择一组对应点，数一数平移的距离，看一看还是9格吗？小船图上有多少组对应点？”通过选择不同的对应点数平移距离，容易发现平移的特征：每组对应点之间的距离都相等 。

基于上述教学片段，我们能够得出这样的教学经验：结果源于方法，方法源于概念，学生的方法出现问题，要溯源到概念上进行解决。因为学生对概念的理解不同，解决问题的方法才会出现差异，推演出的结果才会各不相同。仅仅着眼于方法，用正确去覆盖错误，不能真正解决学生的困惑。引导学生回归概念，紧扣“什么是平移距离”进行思考，准确把握内涵之后，数平移距离的方法以及平移的特征也就在概念认知的基础上自然而然地生长出来。学生数学理解也从表象理解的水平发展到了解释理解的水平。

3.建立联系：借助画图体验，追溯中掌握平移方法

“简单图形的平移”需要学生理解和掌握的第三个对象是：画平移后图形的方法。思考怎么画的过程本质上是在应用中再次认知平移要素、感知平移特征的过程（如图7）。第一种画法是错误的，可以追溯到平移距离，进一步强调平移距离是对应点距离而非间隔距离。第二种画法也是错误的，可以追溯到平移方向，实线图形是平移后的图形，应该画在右侧。第三种画法也是错误的，可以追溯到平移的特征，学生对错误的认知往往只能达到第一层水平：平移前后图形的形状不能改变。教师可以做进一步的追问：为什么图形的形状会发生变化呢？从整幅图聚焦到关键点，引导学生从平移的核心特征——所有对应点平移相同的格数去思考，进而理解图形变形的内在原因是没有按照平移的特征进行操作，平行四边形上面的边平移了6格，而下面的边平移了7格，每组对应点平移的格数不同，因而发生了形状变化的问题。

画出平行四边形向右平移6格后的图形，下面的三种画法对吗？

借助对错因的追溯，不仅深化了对画平移后图形的方法的理解：把每组关键对应点平移相同的格数，再依次连线。而且巧妙地将平移要素、平移特征和画平移后图形的方法这些认知点联系在一起，学生对“简单图形平移”的理解也上升到了建立联系的认知水平。

4.思想运用：借助想象体验，比较中明晰转化方法

“简单图形的平移”是数学认知的对象，具有独立性，同时也是认知其他数学对象的手段。平移不仅仅是一种运动，也是一种策略。因此，对“简单图形的平移”的认知，不能仅仅停留在概念的内部，而应该放在“图形与运动”这个领域去认知。平移是将平行四边形转化成长方形的重要方法，虽然这节课的教学是在学习平行四边形的面积之前，但在练习环节，可以做出适当的拓展（如图8）。

（1）将第一幅图中左边的三角形向右平移（    ）格可以把平行四边形转化成（     ）形。

（2）将第二幅图中左边的梯形向右平移（    ）格可以把平行四边形转化成（     ）形。

处理这个问题时，可以引导学生借助想象在大脑中进行简单图形的平移。学生借助表象平移，能够想象出平移后拼成的是长方形，但容易产生“第二幅图平移距离更远”的错觉。此时可以引导学生聚焦关键点思考，借助平行四边形左侧斜边上的点，学生能够发现：不管是切下直角三角形，还是切下直角梯形，都是把切下的图形向右平移6格。这样处理，一方面发展了学生的空间观念，另一方面体会到将面转化成点进行思考的价值，并为后续推导平行四边形的面积公式做好思想层面的铺垫。其数学理解也从建立联系的理解水平发展到思想运用的理解水平。

5.创设生成：借助探究体验，应用中创生解题策略

对平移的理解，不仅要跳出平移这一节课，在“图形与运动”领域进行研究；还可以跳出“图形与运动”的知识领域，与解决问题相结合，引导学生进行探究，在应用平移思想的过程中， 引领学生将数学理解升华到创设生成的高度。例如图9中的问题。

小船的速度是每秒5格，小鱼的速度是每秒4格，它们同时出发，通过一段5格的深水区，谁先通过？

解决“谁先通过”这个问题，也就是计算穿越深水区的时间问题。根据“时间=路程÷速度”，很显然，需要先明确小船图和金鱼图平移的距离，这就需要本节课学习内容的支撑。首先需要引导学生明确“穿越深水区”是“船尾”和“鱼尾”都要通过深水区，因此应该选择船尾和鱼尾上的一个点作为观测点进行思考，得出小船图需要平移10格，每秒5格，需要2秒。金鱼图需要平移8格，每秒4格，也是需要2秒。在这个问题的解决过程中，需要借助数量关系，将“谁先通过”这个实际问题转化成计算时间这一数学问题，再将计算时间的问题化归为确定平移距离的问题，最后将确定图形平移距离的问题转化成确定关键点平移距離的问题，学生获得了丰富的解题经验，同时又深化了对平移的理解，在平移解决问题的过程中，抵达了创设生成的高度。

数学理解是数学学习的核心，内隐于学生思维之中，不易察觉，但依然可以通过合理的教学设计促进它不断地进阶。可以设计适合具身认知的数学活动，激活学生的思考；可以组织有效的交流，体察学生数学理解的水平；可以提出思辨性的问题，引发学生感悟，实现最后一公里的提升。我们应该认识到：在小学阶段，很多时候教师的高度就是学生的“天花板”。因此，教师提升自身的数学素养尤为重要。我们更应该认识到，数学理解的不断进阶必须由学生自己来完成，因而教学不应该是教师“曲高和寡”的一味灌输，而应该是教师引导下的具身体验加离身感悟。

参考文献

[1][2] 李新成.现代认知心理学关于理解过程的研究［J］.教育理论与实践，1997（02）：46－50.

[3] 郝小飞.基于SOLO分类理论的数学理解水平研究[D].上海：上海师范大学，2021.

[4] 王瑞霖，綦春霞.数学理解的五层递进及教学策略[J].中国教育学刊，2014（12）：40-45.

*该文为江苏省教育科学“十四五”规划青年专项重点课题“基于具身认知的小学数学‘体悟式教学研究”（C-b/2021/02/57）的研究成果