不可压流在Fourier-Besov空间中的Gevrey正则性及时间衰减

张 瑜

(南京财经大学 应用数学学院, 江苏 南京 210023)

0 引言

长期以来,分数次扩散可压缩流体模型的研究获得广泛关注[1-7]，其中对于流体方程的正则性研究, Gevrey 类的方法得到广泛的应用.1989年,Foias和Temam创造了Gevrey 正则性方法,并首次使用它来研究具有空间周期性边界条件的Navier-Stokes方程的解析性[8-9].之后,许多作者充分利用这种方法并继续深入挖掘,将其推广到各种泛函空间和方程中.例如,Andrew 和 Edriss[10]研究了一类二维球体上的解析非线性抛物线方程解的正则性. Chueshov和Polatin[11]展示了具有周期性边界条件的广义 Benjamin-Bona-Mahony动力系统的全局吸引子的Gevrey 解析性.

具有分数次耗散项-κΛαv的多孔介质方程由下式给出

(1)

系统(1)可以通过Duhamel原理表示为以下积分方程

(2)

其中e-κtΛα:=F-1(e-κt|ξ|αF).F表示傅立叶变换,F-1表示傅立叶逆变换.

1 预备知识

首先给出本文提到的符号.对于两个常数A和B,如果存在一个随行变化的常数C使得A≤CB,用记号AB表示.接下来给出关于Littlewood-Paley理论和Fourier-Besov空间的基本结论.

定义以下频率局部化算子：

Δju=φj(D)u=F-1φj(ξ)Fu;Sju=ψj(D)u=F-1ψj(ξ)Fu,

由支集性质易得以下结果，若|i-j|≥2,则ΔiΔjf≡0;若|i-j|≥5,则Δi(Sj-1fΔjg)≡0.通过Bony分解,可将乘积uv分为uv=Tuv+Tvu+R(u,v),并且

定义1 对于s∈R,p,r∈[1,∞],Fourier-Besov空间定义如下,

在这里,当p=∞或q=∞时,范数作通常的改变, 其中P是所有多项式的集合.

定义2 对于0

2 适定性

为了方便证明,将系统(1)写成下面的积分形式

证明首先,要证明

事实上

(3)

接下来证明

(4)

证明为了方便,用B(u,v)表示非线性部分,也就是

接下来,用Δj作用到B(u,v)上,然后做傅立叶变换并取Lp范数,应用Minkowski不等式,得到

‖F(ΔjB(u,v))‖Lp‖F(Δje-κ(t-τ)Λα(uv))‖Lpdτe-κ(t-τ)2αj‖F(Δj(uv))‖Lpdτ.

根据Bony仿积分解,有

即

‖F(ΔjB(u,v))‖LpI1+I2+I3.

其中

基于支集的性质,有

对于‖F(Δj(Sj′-1uΔjv))‖Lp,利用Hölder不等式和Young不等式,得到

综上

下面,用同样的方式估计I2.

接下来,估计I3.已知,存在常数N0使得

当1≤p≤2时,利用Hölder不等式和Young不等式,有

当p>2时,仍然可以得到相似的结论，

因此

接着,‖F(ΔjB(u,v))‖Lp关于时间取L∞范数,得到

(5)

(6)

下面进一步估计上述方程.首先,用·作用到方程u=-κ(p+gγv)上,再利用自由散度定理·u=0,得到

-Δp=∂nv.

从而解出p并将p带到原式.可得

u=-(-Δ)-1∂nv-γv.

即ui=-RiRnv(i=1,2,…,n-1).un=-RnRnv-v.其中Ri(i=1,2,…,n)表示Riesz变换[14].因此,观察到 ‖ui‖Lp≤C‖v‖Lp,其中1

当‖F(ΔjB(u,v))‖Lp关于时间取L1范数时,得到

(7)

(8)

综合式(6)和式(8),引理2得证.

现在证明方程(1)的适定性.

首先,在度量空间Δ={v:‖v‖Xp,r≤Cε,d(v-u):=‖v-u‖Xp,r}(I=[0,∞))上定义一个映射:

对于任意的u,v∈Δ,可以得到

(9)

和

‖ϑv1-ϑv2‖Xp,r2Cε‖v1-v2‖Xp,r

(10)

基于式(9)和(10)的估计,应用标准压缩映射[15],若2Cε≤1,则ϑ是压缩映射.因此,存在v∈Δ使得ϑ(v)=v,则v是方程(1)的唯一解.最后,得到

由上述结果可得,定理1得证.

3 Gevrey正则性

定理2 对应定理1,在定理1中得到的时间上的全局解满足

利用上述正则性,可进一步获得适度解的长时间衰减估计.

(11)

很明显,B(U,V)表示这部分新的非线性项,即

证明由于

因此

由

有

由以上证明可以得到,引理3成立.

证明因为

又

所以

(12)

利用Bony仿积分解,可得

(13)

然后把式(13)代入式(12),利用支集性质,有

‖F(ΔjB(U,V))‖LpJ1+J2+J3

(14)

其中

(15)

总之

类似地,可以得到

当估计J3时,先考虑

也就是

根据第三部分的结果,得到,当1≤p≤2时,

当p>2时,

通过以上推导,有

‖F(ΔjB(U,V))‖LpK1+K2+K3+K4.

因为剩下的证明与第三部分对应的相同,证明略.再次利用不动点定理证明定理2,得到

5 适度解的时间衰减

定理3 在定理1的假设下,对任意σ>0,全局解满足下面的时间衰减估计,

其中Cα,σ是独立于α和σ的常数.

根据以上两个公式,有

因此

定理3得证.