融合预测控制和SQP算法的地铁列车编队运行控制研究

张熠雯，李树凯，陈泽彬，杨立兴

(北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京 100044)

随着我国经济的快速发展，城市轨道交通路网规模不断扩大，城市轨道交通凭借其安全高效的特点成为人们出行的重要交通方式之一[1]。然而，大客流需求造成了轨道交通拥挤，乘客等待时间增加等问题，与此同时，既有线路建设成本高昂，改造难度大，因此，在既有基础设施条件下，列车控制技术及运营管理技术的革新成为城市轨道交通发展的关键[2]。目前，我国城市轨道交通列车控制系统多采用基于通信的列车运行控制(CBTC)系统。CBTC系统采用连续大容量的车-地(T2G)通信结构双向传输列车状态信息及控制指令，轨旁设备繁多，子系统间耦合程度较高，且其技术体制属于移动闭塞信号系统(MBS)，在一定程度上限制了线路运行效率[3]。基于5G时代下3C技术的进一步发展，针对新一代列车控制系统，可通过双向连续的车-车(T2T)通信体系，减少列车与地面之间的信息负荷，以满足高自动化，高可靠性的未来城市轨道交通列车运行需求[4]。当前，城市轨道交通所采用的CBTC系统基于绝对制动安全防护模式实现多列车协同优化控制，而T2T通信技术下的列车编队基于相对制动安全防护模式实现列车编队协同优化控制[5]。对于列车编队追踪运行模型及优化控制策略，国内外学者进行了相关研究。宋鸿宇等[6]在移动闭塞条件下建立了高速列车群信息交互模型，并基于该模型提出一种多列车协同优化方法，从而实现列车群速度曲线的动态生成。贾宝通等[7]构建了基于MBS的列车追踪控制模型，并设计一种借鉴分子间作用力的列车追踪算法，由此提出一种考虑节能目标的列车运行控制方案。LI等[8]利用势场和LaSalles不变性原理，设计一种CBTC系统下的列车编队协同巡航控制策略以保证相邻列车间的有界安全距离。GAO等[9]提出一种列车编队协同自适应控制方案，使得任一列车与其前行列车保持最小期望间距，并利用李雅普诺夫稳定性定理严格证明了列车编队的稳定性。LIU等[10]基于一种启发式算法，建立了高速列车编队区间追踪运行模型，并设计一种列车运行轨迹动态调整优化控制策略。FELEZ等[11]构建了基于模型预测控制算法框架的列车编队跟随模型，并进一步设计了列车运行控制器。LIU等[12]研究了多智能体高速列车编队，利用预测控制理论，提出一种局部轨迹优化控制模型。荀径等[13]对比分析了分别考虑相对速度和经典制动下的列车安全制动模型和列车车站追踪间隔模型，并衡量了不同追踪模式下的列车动态性能。与此同时，考虑编队内列车高速小间隔的运行特征，为保证列车运行的安全性与可靠性，新一代列车控制系统对DCS，ATS，ATO等提出了更高的实时性要求[14]。因此，需设计一种高效求解算法。对于求解具有光滑目标函数和约束的非线性规划问题，SQP算法具有优秀的数值效果和稳定性，因此广泛应用于优化控制领域[15−17]。此外，作为现代控制技术中最具影响力的控制策略之一，预测控制基于有限预测范围内的在线优化，实现一般约束条件下多输入多输出变量非线性系统的优化控制。在车辆运行优化控制领域，基于预测控制算法，针对车辆运行轨迹的动态生成问题，相关学者已展开了大量研究，令车辆能够实现良好的追踪效果并保持车辆运行过程中的稳定性[18−20]。综上所述，满足高实时性的多编队列车追踪运行优化控制策略的相关研究目前仍存在一定空白。本文在现有研究成果的基础上，考虑编队内列车对列车通信技术的高实时精准要求，与此同时，为保证当编队内相邻列车在通信失效等情况下解耦成为不同编队列车时，两连续列车仍能在一定通信结构下安全运行，针对列车编队运行优化控制问题，基于编队内列车采用T2T通信、编队间列车采用T2G通信的多通信结构，结合列车编队控制系统框架和列车安全防护模式，采用分布式控制方式，建立编队内及编队间列车追踪运行的非线性优化控制模型，并提出一种融合预测控制和SQP算法的列车编队优化控制策略，以减小列车追踪运行优化控制问题的计算规模，从而实现高密度列车编队追踪运行的实时控制。

1 问题描述

1.1 列车类型

令M为编队的集合，M={1,2,…,m}，j表示列车编队，j∊M；Nj为编队j内的列车集合，Nj={1,2,3,…,nj}，i表示编队j内的列车，i∊ Nj；列车(i,j)表示列车编队j内的第i辆列车。根据列车位置结构，编队内列车可分为领导列车和跟随列车。令Lj和Fj分别表示领导列车和跟随列车的集合，Lj={1}，Fj={2,3,…,nj}。

1.2 列车编队控制系统框架

编队内及编队间列车控制系统框架如图1所示。编队内(IRA)列车采用基于T2T通信结构的列车控制系统，编队间(IER)列车采用基于T2G通信结构的CBTC系统。基于MBS，CBTC系统下的区域控制中心(ZC)根据区域内运行列车的状态信息，结合ATS子系统传输的列车限速区间等相关信息，生成移动授权(MAIER)，随后，车载控制器(CC)根据MAIER，计算基于绝对制动安全防护模式下的列车运行曲线，从而实现列车在授权终端(EoA)处的完全制动；对于编队内列车控制系统，ZC同样向列车传递MAIER，然后，列车根据前行列车通过T2T层传输的状态信息，并结合该车当前状态，由CC生成MAIRA用以计算基于相对制动安全防护模式下的列车运行曲线。考虑相邻列车的制动率，相对制动令后行列车在到达EoA时减速至前行列车当前速度。对于无前行列车或与前行列车间隔距离足够大的首编队领导列车，可根据线路条件以及ATS生成的运行图等信息计算列车运行曲线。

图1 IRA及IER列车控制系统框架Fig.1 Frameworks of train control systems of IRA and IER

1.3 优化控制方案

根据IRA及IER列车控制系统框架，不考虑环境因素引起的外加扰动，针对单条线路上运行的列车编队，提出一种优化控制策略。首先，构建时间离散的列车编队动力学模型，并根据列车位置结构设定列车追踪目标，以及相关速度限制，边界条件，间隔距离等安全约束条件，建立各编队列车非线性优化控制模型。然后，基于预测控制建立各采样点下的列车预测模型，并采用SQP算法求解预测时域内的子问题，通过反馈校正及滚动优化，动态求解各列车的最优控制轨迹，从而实现对列车编队的实时控制。

此外，本文采用分布式控制，即各车基于其前行列车的行车信息并结合该车的控制目标构建优化控制模型，各车分别计算其最优运行轨迹。与传统的集中式控制方法相比，分布式控制框架下优化控制问题计算规模极大减小，有利于满足列车优化控制的实时性要求。

2 模型建立

2.1 列车动力学控制模型

考虑列车运行过程中受牵引力、制动力及运行阻力的共同作用，将各列车看作一个质点，其动力学模型构建如下：

其中：t为时间采样点；sij(t)和vij(t)分别为列车(i,j)的位置和速度；Fij(t)为列车的单位控制力；FBij(v(t))为列车的单位基本运行阻力；FEij(s(t))为列车的单位附加运行阻力；Δt为采样周期。

2.2 列车编队优化控制模型

给定运行区间内，各列车在运行过程中还需满足如下约束：

其中：式(2)为初始采样点t0时刻状态变量的初始条件，s0,ij和v0,ij分别为列车(i,j)的初始位置和初始速度。式(3)为终点时刻tf列车运行状态变量约束，sf为终点位置，εs为列车停站位置精准度。式(4)～(6)分别为列车最大允许速度约束、列车动力系统牵引/制动特性限制和列车平稳运行约束，vij,max(s(t))为列车在时间点t所处位置的最大允许速度，F-ij和F+ij分别为列车的最大制动力和最大牵引力，Eij,min和Eij,max分别为列车单位控制力减小和增大的最大变化率，用以衡量列车运行平稳程度。对于首编队领导列车(1,1)，不考虑其前行列车，而其余编队列车追踪前行列车运行，因此，构建安全间隔距离约束(7)，s͂iĵ(t)为列车 (i,j)的前行列车(î,ĵ)运行至时间点t时的位置，前行列车的状态信息通过列车通信系统由前行列车传递给列车(i,j)，考虑信息传递时间误差；Liĵ为前行列车的车长；Smiĵ为前行列车的最小安全防护距离。

在满足列车相关约束的条件下，令首编队领导列车追踪参考运行曲线运行，并减小列车能耗。基于此，离散时间系统下，首编队领导列车非线性优化控制问题的目标函数为：

其中：vij,r(t)为列车的参考运行速度；ωij和ρij分别为速度权重系数和运行能耗权重系数。考虑约束(1)～(6)和目标函数(8)，得到首编队领导列车优化控制模型。

此外，IRA和IER列车追踪其前行列车运行，因此，对于各编队内跟随列车和除首编队外的编队领导列车，构建如下目标函数：

其 中 ：viĵ(t)为 前 行 列 车 (î,ĵ)在 时 间 点t的 速 度 ；Smiĵ,r为前行列车参考安全防护距离；αij，βij和γij分别为速度权重系数，间隔距离权重系数和运行能耗权重系数。考虑约束(1)～(7)和目标函数(9)，得到各编队跟随列车和除首编队外的编队领导列车离散时间系统下的非线性优化控制模型。

3 算法设计

针对列车编队控制系统，模型求解算法需满足列车控制的实时性要求，从而实现列车编队的高效安全运行。基于此，设计融合预测控制和SQP算法求解非线性优化控制问题。

3.1 预测控制

预测控制首先考虑相关约束条件进行模型预测，然后通过滚动优化迭代求解并结合实况反馈信息动态校正系统预测值，最终获得系统的优化控制策略。在各采样点下，预测控制仅需求解预测时域Tp内的优化控制问题，减小了原问题在有限问题时域内求解的计算复杂度，有利于满足列车优化控制的实时性要求。此外，滚动优化和反馈校正能够综合实际情况动态更新列车状态信息，在一定程度上保证了列车控制器的稳定性和鲁棒性。

3.1.1 预测时域内列车编队优化控制模型。

基于预测控制，在采样点t，对预测时域内各时间点k，重构时间离散的列车动力学模型，列车状态变量边界条件，列车最大允许速度、列车动力系统牵引/制动特性限制、列车平稳运行约束以及安全间隔距离约束如下：

其中：vij,r(s(t+Tp,t))为列车在当前采样周期预测时域终端时刻运行至某一位置所对应的参考运行速度。式(12(a))在最大允许速度限制的基础上，进一步保证了滚动优化过程中任意采样周期内任意时间点下列车运行的安全性。

此外，由于预测时域外各时间点的前行列车状态信息未知，基于IRA及IER列车不同通信结构及列车安全防护模式，引入预测时域终端的安全间隔距离约束：

其中：a*ij和a*iĵ分别表示列车(i,j)及其前行列车的最大制动加速度。式(17)表示IRA列车追踪运行预测时域终端安全间隔距离约束，需同时考虑相邻列车预测时域终端速度、终端位置及最大制动加速度。式(18)表示IER列车追踪运行预测时域终端安全间隔约束。基于相对制动安全防护模式，IER列车控制系统仅需考虑最小安全防护距离与前行列车预测时域终端位置，以保证列车的安全运行。

在采样点t，基于离散时间系统，考虑预测时域内各时间点k，重构列车编队优化控制问题的目标函数，得到预测时域内首编队领导列车非线性优化控制模型：

以及预测时域内各编队跟随列车和除首编队外的编队领导列车追踪运行非线性优化控制模型：

3.1.2 滚动优化

基于实时变化的系统参数，求解当前采样点下的列车预测模型，并根据决策变量预测值u*ij=输入采样周期内的控制输入，并在下一采样点，根据实际情况获得的反馈信息更新列车状态变量作为初始值，由此得到新一轮预测模型。通过模型滚动及优化求解，直至列车运行至终点中心里程，从而得到有限问题时域内列车的最优控制输入。

根据上述内容，基于预测控制的列车编队实时优化控制算法流程如算法1所示。

3.2 序列二次规划算法

基于3.1节，构建了预测时域内具有一般约束的非线性优化控制问题。SQP算法是一种有效的NLP求解算法，可将SQP算法与预测控制结合，用以求解滚动优化控制问题，以满足列车非线性优化控制的实时性要求。

首先，令状态变量x=(s,v)T，引入拉格朗日泛函LA：

其中：Ji'j(x,u)为列车(i,j)预测时域内非线性优化控制问题的目标函数；eij(x,u)和cij(x,u)分别为非线性优化控制问题的等式约束和不等式约束；λij,r和μij,s分别为非线性优化控制问题第r个等式约束和第s个不等式约束的拉格朗日乘子。为简化表达，将eij(x,u)和cij(x,u)写作eij和cij。

基于LA及其KKT条件，构建第p次迭代下的QP子问题：

ij为原NLP问题的搜索方向；Hp ij为第p次迭代LA的Hessian矩阵；∇表示1阶梯度；

2.3.2 移栽：适期早栽利于早结瓜，多结瓜，适期内栽插越早产量越高。一般在西瓜团棵期，即6月上中旬以后可栽植地瓜。过早，地瓜枝叶繁茂，影响通风透光，西瓜产量降低；过晚，地瓜生育期缩短，产量下降，地瓜移栽后，应浇足水。缓苗后及时补栽，以免缺苗断垄。

求解问题(22)，得到第p次迭代下QP子问题的解由此更新(x,u)p+1ij：

其中：ϑ为参数，可通过引入价值函数并采用回溯线搜索计算其最优搜索步长来确定该参数的值。

QP子问题的迭代终止条件为：

其中：εq为收敛容差；Nmax为最大迭代次数。

若不满足迭代终止条件，采用BFGS算法更新Hp ij：

其中：φpij为参数，可根据如下公式确定：

采用BFGS-SQP求解预测时域内非线性优化问题的算法流程见算法2。

算法2

4 算例研究

4.1 算例描述

相关参数设置如下：1) 根据如下Davis方程计算地铁列车运行基本阻力：FBi(v(t))=0.022 476v2(t)+1.094 53v(t)+56.934 08，单位为N/T；2) 为同时停靠多辆列车于站台，设地铁列车为2节车厢编组，列车长度为40.0 m，列车参考间隔距离为8.0 m，最小间隔距离为4.0 m。在实际应用中，可根据站台长度、列车属性以及编队数目需求，调整列车单元的列车编组。3) 设列车控制采样间隔Δt为0.1 s，预测时域Tp为3.0 s，始发站的地铁列车发车间隔为 5.0 s；4) 对任意(i,j)∊{(i,j)|i∊Nj,j∊M}，权重系数wij=ρij=αij=βij=γij=1。

4.2 结果分析

本文采用MATLAB编程语言，对该算例进行仿真求解，计算设备采用Intel(R) Core(TM) i5-6300HQ CPU 4.0GB RAM。

首先，地铁列车(1,1)为首编队领导列车，该车优化控制不受后行列车影响，不同编队结构下该车的运行曲线相同。当n=2时，a组实验表示地铁列车(1,1)和(2,1)构成一个列车编队，进行基于相对制动安全防护的编队内列车追踪运行优化控制；b组实验表示列车(1,1)和(1,2)各成列车编队，进行基于绝对制动安全防护的编队间列车追踪运行优化控制。

图2和图3分别给出了2辆地铁列车在不同编队结构下的速度偏差和列车间隔距离。由图2可知，基于绝对制动的IER相邻列车的平均速度偏差为2.06 m/s，最大速度偏差7.99 m/s，基于相对制动的IRA相邻列车的平均速度偏差为0.54 m/s，最大速度偏差为3.94 m/s，显著小于IER相邻列车的速度偏差。由图3可知，绝对制动安全防护模式下IER相邻列车间的最大间隔距离为270.95 m，平均间隔距离为154.60 m，与之相比，相对制动安全防护模式下IRA相邻列车最大间隔距离为91.59 m，平均间隔距离为46.67 m，在满足安全运行间隔距离的条件下，地铁列车最大间隔距离和平均间隔距离分别减少了66.20%和69.81%。

图3 n=2时，不同编队结构下相邻列车间隔距离Fig.3 Distance interval with different structures of metro train formation when n=2

图4表示不同编队结构的2辆地铁列车在各站的发车间隔。在始发站，地铁列车发车间隔相同，且对于第1个列车运行区间，与基于相对制动的IRA列车相比，基于绝对制动的IER地铁列车具有更长的运行时间和更大的到站延迟，使得地铁列车在其余站点的发车间隔增大。对于整条运行线路，绝对制动安全防护模式下IER列车平均发车间隔为8.46 s，到站延迟为9.9 s，相对制动安全防护模式下IRA列车平均发车间隔为2.94 s，到站延迟为4.2 s，分别减少了65.25%和57.58%。因此，将列车构成编队并采用基于T2T通信结构的相对制动安全防护模式对编队内列车进行优化控制有利于提升既有线路运力，减少乘客等待时间，对提高城市轨道交通运营组织的服务水平具有一定的实际意义。

图4 n=2时，不同编队结构的地铁编队列车在各站的发车间隔Fig.4 Headway with different structures of metro train formation when n=2

当地铁列车数量为4时，基于不同的安全防护模式，优化控制不同编队结构的地铁列车编队，各列车追踪运行曲线如图5所示。由图5可知，IRA列车能够保持较小间隔距离以及较小速度偏差行驶，IER列车的间隔距离及速度偏差较大，同时，不同编队结构下最后一辆列车的到站延迟大小关系为：c组

图5 n=4时，不同编队组成的地铁编队列车追踪运行曲线Fig.5 Operation profiles with different structures of metro train formation when n=4

基于a组实验，针对列车(2,1)追踪运行的预测控制模型，分别采用SQP算法、滤子线搜索内点法和有效集算法进行仿真验证，不同算法下单位控制阶段的目标函数值Fval，迭代次数Iter，运算时间Time，以及运算时间范围T_range和所设置的终止相对容差Tol(x,f)、终止约束容差Tol(Con)如表2所示。由表中数据可以看出，在终止容差相同的条件下，SQP算法和滤子线搜索内点法的Iter和Time相近，且两者都能够在控制时域0.1 s内完成计算，满足列车优化控制的实时性要求。而SQP算法的Fval明显小于滤子线搜索内点法Fval，由此可见，SQP算法的求解结果优于滤子线搜索内点法的求解结果。此外，与SQP算法和滤子线搜索内点法相比，有效集算法的Iter和Time分别为51.994和2.822 1 s，算法收敛速度较慢，不能满足实时控制要求。

表2 地铁列车追踪运行优化控制问题的SQP算法、滤子线搜索内点法和有效集算法比较Table 2 Comparisons among SQP method, interior point line search filter method and active-set method for optimal control problem of metro train tracking operation

此外，在实际应用中，可根据实际线路运行条件和列车运行信息进行参数训练并存储，以提高求解效率。

5 结论

1) 根据编队内及编队间列车控制系统框架和列车运行特征，建立列车编队运行时间离散的非线性优化控制模型，并设计融合预测控制和SQP的求解算法。预测控制减少了问题的计算规模，并根据实际情况提供反馈校正。SQP算法采用BFGS算法更新Hessian矩阵并加入回溯线搜索。将2种算法结合，可实现列车编队的实时控制。

2) 结合地铁线路相关数据进行仿真实验，基于编队内及编队间不同列车安全防护模式，对比分析了不同编队结构下的列车运行追踪曲线。结果表明，采用相对制动安全防护模式能够有效缩短列车发车间隔，减小相邻列车间的间隔距离和速度偏差。针对地铁列车编队，可根据不同通信结构及列车安全防护模式，实现编队内及编队间列车的协同优化控制，有利于提升既有线路空间利用率。

3) 本文只研究了针对单条线路上运行的，不考虑外加扰动的离散时间系统下的确定性列车编队优化控制模型以及优化控制策略，并未涉及复杂路网，基础设施限制等，后续可围绕复杂运行场景下考虑多种影响因素的列车编队优化控制展开研究。