安装误差对弧线齿面齿轮接触特性影响分析

赵玉龙，冯占荣，郭正华，熊光劲，高凌锋

（南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063）

0 引言

面齿轮[1～3]传动是一种新型的齿轮传动，具有重合度大、传动平稳、振动小等优点[4]，主要应用于直升机主减速器的动力分流机构，适应于高速、重载的工作环境。面齿轮的啮合分析在面齿轮设计与制造中有着重要的影响，其中接触应力与接触区域是影响齿轮副传动的承载能力、传动效率以及噪声等综合技术指标，因此要着重研究该方面。目前，国外在面齿轮传动接触应力方面研究，主要为F.L.Litvin等[5～7]利用TCA（tooth contact analysis）理论，结合有限元方法对面齿轮啮合点处接触应力和啮合位置做了大量研究，得到了不同啮合位置对其的影响规律。国内，赵宁[8,9]分别对直齿与斜齿面齿轮齿面仿真以及接触应力进行了研究；陈书涵[10]对含安装误差对直齿面齿轮传动接触轨迹与接触应力进行了研究，得出了直齿面齿轮安装误差与接触轨迹与应力的变化规律；在弧线齿面齿轮方面，沈云波[11]对弧线齿面齿轮传动承载接触进行了分析,利用有限元的方法得到面齿轮在一定外加扭矩的情况下齿面载荷分布均匀。苏进展[12]对弧线齿面齿轮齿面接触进行了分析，分析了产形齿轮齿数、刀倾角和刀尖半径对齿面接触印痕的影响。以上关于直齿面齿轮的齿面设计及齿面接触研究成果较为详实，对于弧线齿面齿轮相关研究还较少。

本文主要对弧线齿面齿轮的几何展成方法以及轮齿接触进行了分析，提出包含安装误差的弧线齿面齿轮展成方法以及啮合点主曲率与最大接触应力的算法，研究了安装误差对接触轨迹与最大接触应力的影响规律。

1 弧线齿面齿轮副的齿面方程推导

1.1 弧线齿圆柱齿轮齿面方程的推导

采用刀具渐开线弧线齿圆柱齿轮展成的方法来加工弧线齿面齿轮，利用假想刀具齿轮与被加工圆柱齿轮的啮合运动，展成加工出被加工圆柱齿轮。建立图1刀具渐开线弧线齿圆柱齿轮齿轮坐标系Os和Oh，其中图2与图3分别为弧线齿圆柱齿轮齿线截面图与圆柱齿轮截面图。

图1 弧线齿圆柱齿轮坐标系

图2 圆柱齿轮齿线截面图

图3 圆柱齿轮截面图

可以得到在坐标系Os下渐开线圆柱齿轮齿面方程为：

坐标系Oh到Os坐标变换矩阵为：

经坐标变换可得到刀具渐开线弧线齿圆柱齿轮齿面方程为：

式(5)中B为渐开线弧线齿圆柱齿轮齿宽，R1分度圆半径，Rb为基圆半径，其中L在分度圆柱面上的展开图上的标准圆弧，圆弧半径为RT，θS是渐开线上一点的角度参数，θS0是渐开线起始点的角度参数，方程中±号代表两侧齿面，β为位置角，h为齿宽参数。

1.2 弧线齿面齿轮齿面方程的推导

图4所示为刀具齿轮展成加工出弧线齿面齿轮的坐标系，O0、O2分别为刀具齿轮和弧线齿面齿轮固定坐标系，O1、O3分别为刀具齿轮和弧线齿面齿轮的旋转坐标系。刀具展成加工弧线齿面齿轮时，就像是模拟两个齿轮的啮合过程，其中φ1和φ3分别为刀具齿轮和面齿轮展成时所转过的角度。

图4 正交弧线齿面齿轮坐标系

其中得到从弧线齿圆柱齿轮动坐标系转换到面齿轮动坐标系的变换矩阵为：

经坐标变换可得弧线齿面齿轮齿面方程为：

其中弧线齿面齿轮齿面单位法向量为：

其中，L31为坐标转换矩阵M31的前三行和前三列元素组成的子矩阵。

由齿轮啮合原理可知，圆柱齿轮与面齿轮啮合条件式为：

其中v(1,3)为刀具齿轮与被加工面齿轮的齿面接触处的相对速度。可根据啮合条件式(9)得到φ1与θS和h的关系，将这两个值离散化取值代入到弧线齿面齿轮齿面方程式(7)联立求解，即可以到面齿轮工作曲面方程。

2 齿面接触分析

弧线齿圆柱齿轮和面齿轮的传动中，若采用与面齿轮加工刀具参数完全一致的弧线齿圆柱齿轮，则啮合传动形式为线接触，这种理想传动形式很难实现，相反还可能因边缘接触而发生偏载，破坏正常传动。在这里我们采用实际参与啮合的弧线齿圆柱齿轮比刀具齿轮齿数少1～3，形成点接触的传动形式，其余参数均与刀具齿轮相同，因此只需将刀具齿轮的下标“S”改为“1”即可。

∑S与∑1为分别为刀具齿面与啮合传动的弧线齿圆柱齿轮齿面，图5为假想的内啮合情形，其中rbs、rb1分别为刀具齿轮和弧线齿圆柱齿轮基圆半径，rs、r1分别为刀具齿轮和弧线齿圆柱齿轮分度圆半径，其中b为两齿轮转轴之间的最短距离由式(10)决定：

图5 刀具齿轮与被加工齿轮假想内啮合图

齿轮接触分析（TCA）就是通过计算机仿真进行啮合与接触的过程，建立如图6弧线齿面齿轮接触分析坐标系，在固定坐标系O1c下，弧线齿圆柱齿轮与面齿轮齿面∑1与∑2进行啮合接触，可知啮合点的位置矢量和单位法向量相等。建立如图7和图8包含安装误差的弧线齿面齿轮啮合传动坐标系，将其代入弧线齿面齿轮接触分析坐标系中。

图6 弧线齿面齿轮接触分析坐标系

图7 含安装误差的弧线齿面齿轮副啮合坐标系

图8 刀具与弧线齿圆柱齿轮坐标关系

其中O1c为弧线齿圆柱齿轮的固定坐标系，Oh和Oq为辅助坐标系，模拟齿轮间的装配误差。ΔE为轴偏置安装误差，Δq为轴向位移安装误差，Δγ为轴夹角安装误差。在弧线齿圆柱齿轮固定坐标系O1c下，弧线齿圆柱齿轮与面齿轮的位置矢量与法向量分别为：

式中，φ1与φ2分别为弧线齿圆柱齿轮与弧线齿面齿轮啮合时的转角。M1c,1为弧线齿圆柱齿轮动坐标系到静坐标系的齐次变换矩阵，L1c,1为齐次变换矩阵M1c,1的旋转矩阵。M1c,3为弧线齿面齿轮转动坐标系到弧线齿圆柱齿轮固定坐标系的齐次变换矩阵，L1c,3为齐次变换矩阵M1c,3的旋转矩阵。弧线齿面齿轮传动啮合接触的基本方程为：

将上式方程(16)向x,y,z轴投影，可得6个标量方程，其中=1，得到5个独立的方程，联合啮合方程(9)，即有6个方程，7个未知数，给一定步长φ1的值，可求出其他6个未知量，将求得的值代回弧线齿面齿轮方程，可以得到完整的面齿轮齿面的啮合线。

3 弧线齿面齿轮接触点主曲率与接触应力计算

根据微分几何理论，曲面的曲率可以由两类基本量来确定，用E,F,G,L,M,N来表示。弧线齿面齿轮曲面的参数方程可以用r=r(u,v)表示，其中u、v表示齿面参数。假设曲面上的一点P(u,v)，则该曲面的单位法向矢量为：

其中E=ruru，F=rurv，G=rvrv，L=-nuru，M=-nu rv，N=rvvn。

则P(u,v)点沿方向du/dv的法曲率kn为：

化简公式(18)则得到主曲率的计算公式为：

该方程存在两个不同的实数解，就是弧线齿面齿轮上一点处两个不同的主曲率，而且主方向相互垂直。其中K11与K12为弧线齿圆柱齿轮两个主曲率；K21与K22为面齿轮两个主曲率，将两个齿面方程按上述步骤计算即可求得。

基于赫兹接触理论，如图9可知在假设弧线齿面齿轮与渐开线齿面在O点接触，负载的转矩T已知，弧线齿面齿轮与弧线齿圆柱齿轮啮合方式为点接触，在啮合点O的法向接触力Fn的作用线与其法线共线，可知其法向接触力与基圆相切，得齿面接触点法向接触力为：

图9 弧线齿面齿轮啮合点法向力

式(20)中，T为弧线齿圆柱齿轮施加的转矩，Rb1为圆柱齿轮基圆半径。

其中接触点处最大接触应力σmax为：

式(21)中，a接触椭圆长半轴、b短半轴，可以由式(22)求出：

其中，α、β、γ为计算系数，其值由cosθ=B/A确定，可查表并线性插值得到。E1、E2，μ1、μ2分别为弧线齿圆柱齿轮和弧线齿面齿轮材料的弹性模量和泊松比。其中A,B关于两个齿面接触主曲率的方程，可由式(23)得出：

4 算例

4.1 安装误差对面齿轮接触轨迹影响

表1为弧线齿面齿轮传动副的基本参数。图10为弧线齿面齿轮传动副装配图。根据前文提到的公式(16)编写MATLAB文件，分别对三种安装误差进行轨迹接触分析所得结果如图11～图13所示。其中，T为弧线齿圆柱齿轮施加的转矩为T=24N·m；泊松比μ1=μ2=0.3，弹性模量为E1=E2=2.07×105MPa。

表1 弧线齿面齿轮副基本参数

图10 弧线齿面齿轮副

图11 轴交角误差对接触轨迹的影响

图12 轴交错误差对接触轨迹的影响

图13 轴偏移误差对接触轨迹影响

对图11～13分析可知，三幅图的接触轨迹类似在一条从齿顶到齿根的直线上，轴交角误差为正，可知啮合点轨迹是向面齿轮内端移动，轴交角误差为负，啮合点轨迹向面齿轮外端移动。轴交错误差为正，啮合点轨迹向面齿轮外端移动，轴交错误差为负时，啮合点轨迹向面齿轮齿面内端移动。轴偏移误差为正时，啮合点轨迹向面齿轮齿面外端移动，当轴偏移误差取负时，啮合点轨迹向面齿轮内端移动。

相比较三种误差对啮合点轨迹的影响，轴交错误差取值偏大，接触轨迹移动与其他两种误差偏移相近，可以得出轴交错误差对接触轨迹影响相对较小。但轴交角误差取值很小，接触轨迹已发生较大移动，所以在安装面齿轮副时，要严格控制轴交角误差。

4.2 装配误差对单齿最大接触应力影响

根据表1中面齿轮副的基本设计参数，结合式(20)～式(23)对面齿轮啮合点的长短半轴以及单齿最大接触应力进行相关计算，所得仿真结果如图14～图16所示。

分析图14～图16我们可以得出结论：

通过计算，当弧线齿面齿轮齿面上的啮合点从齿顶位置向齿根位置移动时，啮合点的椭圆长轴在减小，短轴在增大，因而从图14～图16可以看出最大接触应力是先减小，后减小缓慢；在有安装误差的情况下，最大接触应力先减小后有增大的趋势。

由图14可知，当轴交角误差为正时，啮合点的最大接触应力大于无误差的最大接触应力，当轴交角误差为负时，啮合点的最大接触应力小于正常的最大接触应力。

图14 轴交角误差对最大接触应力的影响

由图15～图16可知，当轴交错误差与轴向偏移误差为正时，最大接触应力小于正常接触应力；当轴交错误差与轴向偏移误差为负时，最大接触应力大于正常接触应力。

图15 轴向偏移误差对最大接触应力的影响

图16 轴交错误差对最大接触应力的影响

5 结语

建立了弧线齿面齿轮啮合坐标系，分别推导了弧线齿圆柱齿轮齿面方程与弧线齿面齿轮齿面方程，得到了齿面可视化，并且通过建立正交弧线齿面齿轮副的模型，验证了齿面推导的正确性。

建立了含三种安装误差的弧线齿面齿轮啮合接触坐标系，对接触轨迹与接触应力进行了分析，得到三种安装误差均会影响接触轨迹位置与接触应力大小，其中轴交角误差影响最为显著，应避免轴交角误差；适当的选取轴交错误差与轴向偏移误差可增加弧线齿面齿轮副的承载能力。