水平转动圆盘中两体问题的分析策略

许冬保

(江西省九江第一中学 332000)

1 摩擦力作用下水平转动圆盘中的两体问题

置于水平圆盘上的物体维持其做圆周运动所需要的向心力，是依靠静摩擦力来提供的．静摩擦力，具有隐蔽性、被动性与可变性特点．当静摩擦力达最大值时，出现临界角速度．同一圆盘上的两体问题，要求能从因果关系的视角，根据动力学及圆周运动的知识进行推理分析及逻辑判断．

例1 如图1，两个质量分别为m、2m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a、b与转轴OO′(俯视图中只仅标出O)的距离为l．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( ).

图1

A．b一定比a先开始滑动

B．a和b滑动前，b所受摩擦力大于a所受摩擦力

例2(2022年河南郑州一中高考复习阶段性水平测试)如图2，质量为m的小木块a和质量为2m的小木块b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是 ( ).

图2

A．b一定比a先开始滑动

B．a、b所受的摩擦力始终相等

点评以上2例是基于学习探索情境为依托的凸显科学探究要素的试题，主要考查学生“科学思维”学科素养中的科学推理以及“物理观念”中的运动与相互作用观念．试题涉及静摩擦力的分析、圆周运动规律、牛顿运动定律等内容．要求学生理解静摩擦力的可变性，以及应用圆周运动中的有关知识，解决具体问题．两小木块无论质量或半径关系如何，分析的思维方法是相同的．

2 弹力作用下水平转动圆盘中的两体问题

圆盘上的两体通过轻绳或轻弹簧相连，若忽略摩擦，则轻绳或轻弹簧产生的弹力提供向心力．弹力具有被动性与可变性特点．分析轻绳时一般不计绳子的伸长量；分析轻弹簧时，弹簧长度、弹簧形变量以及圆周运动半径注意不要混淆．

例3如图3，足够大的水平圆盘可绕过O点的竖直中心轴转动．圆盘上有两个质量分别为m1、m2的小物块被一长度为l的轻绳相连，轻绳通过位于O点的非常小的光滑卡环(图中未画出)．已知轻绳能承受的最大张力为Tm，不计小物块圆盘之间的摩擦．圆盘转动的角速度可调，求圆盘稳定转动时的最大角速度以及质量为m1的小物块转动的半径r1．

图3

解析设圆盘转动的最大角速度为ωm．对质量分别为m1、m2的小物块，分别由牛顿运动定律，有

例4如图4，一个足够大的水平圆盘，绕过O点的竖直中心轴转动．中心转轴O点上被串上两根劲度系数均为k的轻弹簧，按如图方式连接两个小物块A、B．已知小物块A、B的质量均为m．弹簧与O点及两小物块A、B均固定连接．若系统绕中心轴稳定匀速转动，且转动中保持两弹簧在同一直线上．不计小物块与盘面之间的摩擦，弹簧形变在弹性限度内，求以角速度ω转动时两弹簧长度之比．

解析设两弹簧的原长为l0，系统稳定匀速转动时，图中近轴弹簧长度为l1，远轴弹簧长度为l2，则l1>l0，l2>l0．系统转动时，对两小物块，由牛顿运动定律，有

k(l1-l0)-k(l2-l0)=ml1ω2

k(l2-l0)=m(l1+l2)ω2

点评以上2例讨论圆盘上通过轻绳、轻弹簧连接的两体问题．试题情境为学习探索情境，主要考查学生“科学思维”学科素养中的模型建构、科学推理以及“物理观念”中的运动与相互作用观念．试题涉及弹力分析、圆周运动规律的应用．例1中，小物块做圆周运动所需要的向心力由轻绳的弹力提供，对于两小物块系统，在轻绳不被拉断的条件下，无论圆盘转动的角速度多大，稳定时系统的质心位置一定在O点与角速度大小无关．若绳子改为轻弹簧，分析方法相同．

3 弹力及摩擦力作用下水平转动圆盘中的两体问题

由于摩擦力及弹力均为被动力，具有可变性特点．因此，在转动圆盘中的两体问题中，若同时涉及摩擦力及弹力提供向心力，情形比较复杂．一般地，随圆盘转动角速度的增大，所需要的向心力亦不断增大，最先产生静摩擦力然后出现弹力．其中，两体分布在圆心同侧及圆心异侧是两类最基本的情境．

例5如图5，两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，a、b之间用长为l的强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，分析a、b尚未开始滑动的情况．下列说法正确的是( ).

图5

A．a比b先达到最大静摩擦力

B．a、b所受的摩擦力始终相等

例6(东北三省三校2022年高三第一次联合模拟考试)如图6，质量为mA、mB的物体A、B用轻绳连接放在水平圆盘上，A、B距圆盘中心转轴距离相等，此时细线伸直且恰无张力，A、B与圆盘间动摩擦因数分别为μA、μB．若圆盘从静止开始转动，且在角速度ω缓慢增大的过程中，若最大静摩擦因数等于滑动摩擦因数．下列说法正确的是 ( ).

图6

A．无论μA、μB大小关系如何，A、B一定同时达到最大静摩擦力

B．当μA=μB，mA>mB时，A先达到最大静摩擦力

C．当μA=μB，mA>mB时，随角速度的缓慢增大，B的摩擦力方向将发生改变

D．当μA>μB，mA>mB时，随角速度的缓慢增大，A、B将向B的一侧发生滑动

解析据题意，A、B距圆盘中心转轴距离相等．因此，A、B随圆盘做匀速圆周运动所需要的向心力取决于两者的质量．且最大静摩擦力与最大静摩擦因数(等于动摩擦因数)及质量有关，选项A错误；当μA=μB，mA>mB时，A、B做圆周运动需要的向心力与圆盘所能提供的A、B所受最大静摩擦力的比例相等．因此，同时达到最大静摩擦力，选项B错误；当μA=μB，mA>mB时，进一步分析知，当A、B达最大静摩擦力时，绳子开始出现张力．随角速度的缓慢增大，A所需要的向心力始终大于B所需要的向心力，张力达到一定值时，B所受摩擦力会反向，选项C正确；同理知，当μA>μB，mA>mB时，随角速度的缓慢增大，A、B将向A的一侧发生滑动，选项D错误．综上，正确选项是C．

点评上述2例，主要考查学生“科学思维”学科素养中的模型建构、科学推理、科学论证等要素以及“物理观念”中的运动与相互作用观念．例1中，转动圆盘上的两体分布在圆心同侧，角速度较小时，向心力为静摩擦力；达最大静摩擦力之后，随角速度进一步增大，轻绳产生张力，直到轻绳断裂或整体发生滑动；例2中，转动圆盘上的两体分布在圆心两侧，情形比较复杂，随角速度增大，其中B侧物体受到的静摩擦力发生突变(包括大小及方向)；刚要发生滑动时，系统同时出现最大静摩擦力.

解题训练的目标是发展能力、提升素养．水平转动圆盘中两体问题的分析，能有效地促进“科学思维”学科素养中模型建构、科学推理、科学论证等要素的发展水平，在优化认知结构的同时，形成更加清晰、系统的运动与相互作用观念，进而有效提高学生的理解能力、推理论证能力以及模型建构能力．上述分析中，例题图示，分别运用侧视、俯视、正视等不同的视角呈现，旨在提升学生的识图能力．本文以两体为例进行分析，实际中三体或多体问题的分析思路与方法与此基本相同．