水平转动圆盘中两体问题的分析策略

2022-12-10 02:37许冬保
数理化解题研究 2022年31期
关键词:转轴向心力圆盘

许冬保

(江西省九江第一中学 332000)

1 摩擦力作用下水平转动圆盘中的两体问题

置于水平圆盘上的物体维持其做圆周运动所需要的向心力,是依靠静摩擦力来提供的.静摩擦力,具有隐蔽性、被动性与可变性特点.当静摩擦力达最大值时,出现临界角速度.同一圆盘上的两体问题,要求能从因果关系的视角,根据动力学及圆周运动的知识进行推理分析及逻辑判断.

例1 如图1,两个质量分别为m、2m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a、b与转轴OO′(俯视图中只仅标出O)的距离为l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( ).

图1

A.b一定比a先开始滑动

B.a和b滑动前,b所受摩擦力大于a所受摩擦力

例2(2022年河南郑州一中高考复习阶段性水平测试)如图2,质量为m的小木块a和质量为2m的小木块b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度.下列说法正确的是 ( ).

图2

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

点评以上2例是基于学习探索情境为依托的凸显科学探究要素的试题,主要考查学生“科学思维”学科素养中的科学推理以及“物理观念”中的运动与相互作用观念.试题涉及静摩擦力的分析、圆周运动规律、牛顿运动定律等内容.要求学生理解静摩擦力的可变性,以及应用圆周运动中的有关知识,解决具体问题.两小木块无论质量或半径关系如何,分析的思维方法是相同的.

2 弹力作用下水平转动圆盘中的两体问题

圆盘上的两体通过轻绳或轻弹簧相连,若忽略摩擦,则轻绳或轻弹簧产生的弹力提供向心力.弹力具有被动性与可变性特点.分析轻绳时一般不计绳子的伸长量;分析轻弹簧时,弹簧长度、弹簧形变量以及圆周运动半径注意不要混淆.

例3如图3,足够大的水平圆盘可绕过O点的竖直中心轴转动.圆盘上有两个质量分别为m1、m2的小物块被一长度为l的轻绳相连,轻绳通过位于O点的非常小的光滑卡环(图中未画出).已知轻绳能承受的最大张力为Tm,不计小物块圆盘之间的摩擦.圆盘转动的角速度可调,求圆盘稳定转动时的最大角速度以及质量为m1的小物块转动的半径r1.

图3

解析设圆盘转动的最大角速度为ωm.对质量分别为m1、m2的小物块,分别由牛顿运动定律,有

例4如图4,一个足够大的水平圆盘,绕过O点的竖直中心轴转动.中心转轴O点上被串上两根劲度系数均为k的轻弹簧,按如图方式连接两个小物块A、B.已知小物块A、B的质量均为m.弹簧与O点及两小物块A、B均固定连接.若系统绕中心轴稳定匀速转动,且转动中保持两弹簧在同一直线上.不计小物块与盘面之间的摩擦,弹簧形变在弹性限度内,求以角速度ω转动时两弹簧长度之比.

解析设两弹簧的原长为l0,系统稳定匀速转动时,图中近轴弹簧长度为l1,远轴弹簧长度为l2,则l1>l0,l2>l0.系统转动时,对两小物块,由牛顿运动定律,有

k(l1-l0)-k(l2-l0)=ml1ω2

k(l2-l0)=m(l1+l2)ω2

点评以上2例讨论圆盘上通过轻绳、轻弹簧连接的两体问题.试题情境为学习探索情境,主要考查学生“科学思维”学科素养中的模型建构、科学推理以及“物理观念”中的运动与相互作用观念.试题涉及弹力分析、圆周运动规律的应用.例1中,小物块做圆周运动所需要的向心力由轻绳的弹力提供,对于两小物块系统,在轻绳不被拉断的条件下,无论圆盘转动的角速度多大,稳定时系统的质心位置一定在O点与角速度大小无关.若绳子改为轻弹簧,分析方法相同.

3 弹力及摩擦力作用下水平转动圆盘中的两体问题

由于摩擦力及弹力均为被动力,具有可变性特点.因此,在转动圆盘中的两体问题中,若同时涉及摩擦力及弹力提供向心力,情形比较复杂.一般地,随圆盘转动角速度的增大,所需要的向心力亦不断增大,最先产生静摩擦力然后出现弹力.其中,两体分布在圆心同侧及圆心异侧是两类最基本的情境.

例5如图5,两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l,a、b之间用长为l的强度足够大的轻绳相连,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,开始时轻绳刚好伸直但无张力,用ω表示圆盘转动的角速度,分析a、b尚未开始滑动的情况.下列说法正确的是( ).

图5

A.a比b先达到最大静摩擦力

B.a、b所受的摩擦力始终相等

例6(东北三省三校2022年高三第一次联合模拟考试)如图6,质量为mA、mB的物体A、B用轻绳连接放在水平圆盘上,A、B距圆盘中心转轴距离相等,此时细线伸直且恰无张力,A、B与圆盘间动摩擦因数分别为μA、μB.若圆盘从静止开始转动,且在角速度ω缓慢增大的过程中,若最大静摩擦因数等于滑动摩擦因数.下列说法正确的是 ( ).

图6

A.无论μA、μB大小关系如何,A、B一定同时达到最大静摩擦力

B.当μA=μB,mA>mB时,A先达到最大静摩擦力

C.当μA=μB,mA>mB时,随角速度的缓慢增大,B的摩擦力方向将发生改变

D.当μA>μB,mA>mB时,随角速度的缓慢增大,A、B将向B的一侧发生滑动

解析据题意,A、B距圆盘中心转轴距离相等.因此,A、B随圆盘做匀速圆周运动所需要的向心力取决于两者的质量.且最大静摩擦力与最大静摩擦因数(等于动摩擦因数)及质量有关,选项A错误;当μA=μB,mA>mB时,A、B做圆周运动需要的向心力与圆盘所能提供的A、B所受最大静摩擦力的比例相等.因此,同时达到最大静摩擦力,选项B错误;当μA=μB,mA>mB时,进一步分析知,当A、B达最大静摩擦力时,绳子开始出现张力.随角速度的缓慢增大,A所需要的向心力始终大于B所需要的向心力,张力达到一定值时,B所受摩擦力会反向,选项C正确;同理知,当μA>μB,mA>mB时,随角速度的缓慢增大,A、B将向A的一侧发生滑动,选项D错误.综上,正确选项是C.

点评上述2例,主要考查学生“科学思维”学科素养中的模型建构、科学推理、科学论证等要素以及“物理观念”中的运动与相互作用观念.例1中,转动圆盘上的两体分布在圆心同侧,角速度较小时,向心力为静摩擦力;达最大静摩擦力之后,随角速度进一步增大,轻绳产生张力,直到轻绳断裂或整体发生滑动;例2中,转动圆盘上的两体分布在圆心两侧,情形比较复杂,随角速度增大,其中B侧物体受到的静摩擦力发生突变(包括大小及方向);刚要发生滑动时,系统同时出现最大静摩擦力.

解题训练的目标是发展能力、提升素养.水平转动圆盘中两体问题的分析,能有效地促进“科学思维”学科素养中模型建构、科学推理、科学论证等要素的发展水平,在优化认知结构的同时,形成更加清晰、系统的运动与相互作用观念,进而有效提高学生的理解能力、推理论证能力以及模型建构能力.上述分析中,例题图示,分别运用侧视、俯视、正视等不同的视角呈现,旨在提升学生的识图能力.本文以两体为例进行分析,实际中三体或多体问题的分析思路与方法与此基本相同.

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