因式分解中考题展示

吉方华

因式分解是中考常见题型之一，现采撷五例，加以分析，供同学们参考.

一、结合整体思想分解

例1 （2022·黑龙江·绥化）因式分解：（m + n）2 - 6（m + n） + 9 = .

解析：通过观察思考，将m + n看作整体，寻求解题的途径.

原式 = （m + n）2 - 2·（m + n）·3 + 32 = （m + n - 3）2.

故应填（m + n - 3）2.

二、利用互逆关系求值

例2 多项式39x2 + 5x - 14可因式分解成（3x + a）（bx + c），其中a，b，c均为整数，a + 2c的值为（）.

A. -12         B. -3         C. 3           D. 12

解析：由于多项式39x2 + 5x - 14可因式分解成（3x + a）（bx + c），

利用分解因式是整式乘法的逆过程，

可得（3x + a）（bx + c） = 3bx2 + （3c + ab）x + ac，

∴3b = 39，3c + ab = 5，ac = -14，

∴b = 13，a = 2， c = -7，

∴a + 2c = 2 + 2 × （-7） = -12.

故选A.

三、结合新定义求值

例3 （2022·湖南·娄底）若10x = N，则称x是以10为底N的对数. 记作：x = lg N.  例如：102 = 100，则2 = lg 100；100 = 1，则0 = lg 1. 对数运算满足：当M > 0，N > 0时，lg M + lg N = lg （M·N）. 例如：lg 3 + lg 5 = lg 15，则（lg 5）2 + lg 5 × lg 2 + lg 2的值为（）.

A. 5       B. 2         C. 1       D. 0

解析：首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算求解即可.

（lg 5）2 +  lg 5 × lg 2 +  lg 2 = lg 5×（lg 5 + lg 2） + lg 2 = lg 5 × lg （5 × 2） + lg 2

= lg 5 × lg 10 + lg 2 = lg 5 + lg 2 = lg 10 = 1.

故选C.

四、构造完全平方式求值

例4 （2022·四川·乐山）已知m2 + n2 + 10 = 6m - 2n，则m - n =.

解析：构造完全平方式，并根据非负数性质求得m和n的值.

∵m2 + n2 + 10 = 6m - 2n，

∴m2 - 6m + 9 + n2 + 2n + 1 = 0，

∴（m - 3）2 + （n + 1）2 = 0，

∴m = 3， n = -1，∴m - n = 4.

故應填4.

五、配方非负数求最值

例5 （2022·四川·凉山）已知实数a，b满足a - b2 = 4，则代数式a2 - 3b2 + a - 14的最小值是.

解析：∵a - b2 = 4，∴b2 = a - 4，

∴a2 - 3b2 + a - 14 =  a2 - 3（a - 4） + a - 14 =  a2 - 2a - 2

=  a2 - 2a + 1 - 1 - 2 = （a - 1）2 - 3.

∵b2 = a - 4，b2  ≥ 0，∴a - 4 ≥ 0，a ≥ 4，

∴当a = 4时，a2 - 3b2 + a - 14的最小值为6.

以上五例是中考试卷中因式分解考题的缩影. 希望同学们不仅要夯实因式分解基本功，还要加强对因式分解应用新题型的研究，只有知己知彼，方能百战不殆.

（作者单位：江苏省兴化市大垛中心校）

答案速递

第29页：（1）1，2，2，1.5；2a + 1.5b = 7，2，2. （2）y = 0.5x + 12

第31页：1. 3n - 4 2. 20   [32n2] + [32n]

第35页：（1） [-12] （2）264