整式乘法中考题赏析

杨金林

在近年的中考试题中，出现了一些与整式的乘法有关的创新题型，这些试题设计新颖，重在考查观察能力、探索能力和归纳概括能力. 现举例说明.

一、规律性问题

例1 （2022·安徽）观察以下等式：

第1个等式：（2 × 1 + 1）2 = （2 × 2 + 1）2 - （2 × 2）2 ，

第2个等式：（2 × 2 + 1）2 = （3 × 4 + 1）2 - （3 × 4）2 ，

第3个等式：（2 × 3 + 1）2 = （4 × 6 + 1）2 - （4 × 6）2 ，

第4个等式：（2 × 4 + 1）2 = （5 × 8 + 1）2 - （5 × 8）2 ，……

按照以上规律. 解决下列问题：

（1）写出第5个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明.

解析：（1）观察4个等式中相同位置数的变化规律，

可得第5个等式：（2 × 5 + 1）2 = （6 × 10 + 1）2 - （6 × 10）2，

故应填（2 × 5 + 1）2 = （6 × 10 + 1）2 - （6 × 10）2.

（2）猜想：第n個等式为（2n + 1）2 = [（n + 1）·2n + 12] - [（n + 1）·2n2].

证明：等式左边：（2n + 1）2 = [4n2+4n+1]，

等式右边：[（n+1）·2n+12-（n+1）·2n2]

[=（n+1）·2n+1+（n+1）·2n·（n+1）·2n+1-（n+1）·2n]

[=] [（n+1）·4n+1×1][=4n2+4n+1]，

因此，[2n+12=（n+1）·2n+12-（n+1）·2n2]成立.

二、数形结合题

例2  （2022·浙江·宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图1所示不重叠地放置在矩形[ABCD]内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等. 若知道图1中阴影部分的面积，则一定能求出（）.

A. 正方形纸片的面积 B. 四边形[EFGH]的面积

C. [△BEF]的面积 D. [△AEH]的面积

解析：根据题意可知，四边形EFGH是正方形，

设正方形DMGN的边长为x，正方形EFGH的边长为y，

则长方形APHM的宽为x - y，

所以S阴影 = S正方形EFGH  + 2S△AEH + 2S△DHG = [y2+2×12y（x-y）+2×12xy] = 2xy，

根据题意，已知阴影部分的面积也就是已知xy的值，

正方形纸片的面积为x2，无法求出，不符合题意；

四边形EFGH的面积为y2，无法求出，不符合题意；

[△BEF]的面积为[12xy]，根据已知条件可以求出，所以符合题意；

[△AEH]的面积为[12y（x-y）=xy-y22]，无法求出，不符合题意.

故选 C.

例3 （2022·浙江·金华）如图2，将长为[2a+3]，宽为[2a]的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图3），得到大小不等的两个正方形.

（1）用关于a的代数式表示图3中小正方形的边长.

（2）当[a=3]时，该小正方形的面积是多少？

解析：（1）∵直角三角形较短直角边长为[12×2a=a]，

较长直角边长为[2a+3]，

∴小正方形的边长[=2a+3-a=a+3]；

（2）S小正方形 = （a + 3）2 = a2 + 6a + 9，

当[a=3]时，S小正方形 = （3 + 3）2 = 36.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：3分钟

若（x - 2）（x2 + ax - 8b）的展开式中不含x的二次项和一次项. （1）求b的值；（2）求（a + 1）（a2 + 1）（a4 + 1）…（a32 + 1） + 1的值. （答案见第33页）

（作者单位：山东省枣庄市第二中学）