平行线变化之模型

王雪洁

大连春田中学李丹丹老师的直播课《平行线背景下角的转移》，选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科名师公益课堂”，旨在引领教师专业发展，服务学生自主学习，减轻学生学业负担。

Ｄ

观看了李丹丹老师的直播课《平行线背景下角的转移》，收益颇多. 普通的平行线搭上截线后，会产生同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，依此可以推导出很多角相等或角互补的结论，形成相等的角“四处串”的效果. 若遇到变化的平行线，你还能处理其中角的关系吗？

模型构建

“猪爪”模型，因长得像猪爪而得名，也叫M模型.

例 如图1，AB[?]CD，求证：∠B + ∠D = ∠E.

学法指导：利用过拐点构造平行线或者延长某条线的方法，可使平行线搭上截线. 辅助线引法1：如图2，过点E作MN[?]AB；辅助线引法2：如图3，延长BE交CD于点F. 也可以构造截线，使平行线搭上截线. 辅助线引法3：连接BD，通过△BED的内角和与两条平行线间同旁内角之和为180°得出结论. （请同学们自己尝试作图）

变式演练

变式1：如图4，现有两根平行木棒 AB 和 CD ，其间有一点P，用皮筋缠绕使它与 A，C 两点相连，请你猜想∠PAB，∠PCD，∠APC 这三个角之间的数量关系，并说明理由. （点P不在直线 AB、直线 CD、直线 AC 上. ）

学法指导：如图5，通过构造平行线或截线，可发现点P在不同区域时结论不同.

如图4，当点P落在（1）区时，可以利用两组同旁内角的和、周角或四边形内角和的知识来求得∠PAB  + ∠PCD + ∠APC = 360°，如图5所示. 此时构成“铅笔”模型.

当点P在（2）区时，如图6②，構成“猪爪”模型，∠APC = ∠PAB  + ∠PCD.

当点P在（3）（6）区时，如图6③，构成“骨折”模型，∠PCD = ∠APC + ∠PAB.

当点P在（4）（5）区时，如图6④，构成“靴子”模型，∠PAB = ∠APC + ∠PCD.

变式2：（拐点为两个）如图7，已知 AB[?]EF ，过点 D 作 DH[?]EF ，则平行线 AB 和 HD 之间可看作“猪爪”模型，则 ∠C = ∠B + ∠ HDC ，由 HD[?]EF 得∠HDE = ∠E，因此∠B + ∠CDE = ∠C + ∠E.

变式3：（拐点为三个）如图8，已知 AB[?]EF ，过点 D 作 DH[?]EF ，由两个“猪爪”模型，可得 ∠B + ∠HDC = ∠C，∠HDG + ∠F = ∠G，则∠B + ∠CDG + ∠F = ∠C + ∠G.

变式4：（拐点为n个）如图9，已知AB[?]CD，求证∠E1 + ∠E2 + … + ∠En = ∠B + ∠F1 +  ∠F2 + … + ∠Fn - 1 + ∠D.  （其实也就是左边所有角之和等于右边所有角之和，请同学们自己证明这个“锯齿”模型的结论）

反思：模型多，名字也多，这只是为了我们沟通方便用的，记起来吃力的话，完全可以不用记. 构造这些模型就是要把已知的或构造的平行线用截线连接起来，产生三线八角，从而得到结论.

分层作业

难度系数：★★解题时间：1分钟

如图10，AB[?]EF，BC⊥CD那么∠B，∠D，∠E 的关系是.

（作者单位：沈阳市第一四五中学）