不同版本教材“鸡兔同笼”教学内容的比较研究

朱学斌

(无为市教育局教研室 安徽芜湖 238300)

“鸡兔同笼”问题源自我国古代数学名著《孙子算经》卷下第31题。本文对现行不同版本教材“鸡兔同笼”教学内容进行横向比较分析，以期对一线教师教学与教材编写有所启示。

一、不同版本教材“鸡兔同笼”内容比较

本文研究基于现行七个版本的小学数学教材：苏教版、人教版、北师大版、北京版、西南师大版、冀教版、青岛版(六三学制)。

(一)编排体系比较

表1 编排体系比较

从表1可以看出：不同版本的教材，“鸡兔同笼”内容均有编排，但所在年级与板块/栏目不尽相同。

(二)例题情境比较

表2 例题情境比较

从表2看，人教版、北师大版、北京版、冀教版、西南师大版五种版本“鸡兔同笼”例题情境都是经典的“鸡兔同笼”：人教版先呈现《孙子算经》鸡兔同笼原题，然后化繁为简，让数据变小成为例题；北师大版、北京版两个版本中“鸡兔同笼”问题数据较小，冀教版中例题数据稍大；西南师大版在“你知道吗”栏目直接引用“鸡兔同笼”古题。苏教版、青岛版例题则是“鸡兔同笼”的情境变式题。

(三)古题呈现比较

表3 古题呈现比较

从表3中看，有四种版本小学数学教材呈现了《孙子算经》上“鸡兔同笼”古题，但具体呈现方式不同：苏教版在章节末尾“你知道吗”栏目中呈现；人教版直接采用古题原题引入；北师大版在解答数据简化的“鸡兔同笼”问题后再呈现“鸡兔同笼”古题；青岛版在正文后的自主练习中呈现“鸡兔同笼”古题。另三种版本教材中没有呈现“鸡兔同笼”古题，给教师的教学设计留下了空间。

(四)解答方法比较

表4 解答方法比较

从表4看，各种版本“鸡兔同笼”问题的解题思路方法各不相同。苏教版：画图法(先全部坐大船，画10只大船坐50人，再去掉多的8人)、列举法(从大船有9只、小船有1只开始，有序列举)、推算法(取中列表推算。假设大船和小船同样多，再根据总人数调整)；人教版：列举法(从8只全是鸡开始，按照顺序列表)、推算法(文字叙述)，在“做一做”之后的“阅读资料”中介绍了古人的“抬脚法”；北师大版：列举法(从1只鸡、34只兔开始一一列举；从1只鸡、34只兔开始跳跃列举；从17只鸡、18只兔开始取中跳跃列举)；北京版：画图法(先全部当作鸡，画8只鸡)、列举法(从7只鸡、1只兔开始一一列举，找出鸡的只数、兔的只数与腿的总数之间的关系)；西南师大版：抬脚法(古书上解法)、列举法(从1只鸡、34只兔开始一一列举)、推算法(文字叙述)，然后指出“还可以列方程求解”(但没有具体列出方程)；冀教版：列举法(从1只鸡、21只兔开始一一列举)、方程法(完整解答)、推算法(第一种方法假设这22只都是鸡，文字叙述；第二种方法假设这22只都是兔，列算式解答)；青岛版：从列举过渡到推算法(先从24辆小汽车、0辆摩托车开始列举，在列举过程中发现规律过渡到推算法，在用文字叙述推算过程后，再列出综合算式)，然后提出“还可以怎样解决”。各版本列举都借助列表的手段。

(五)练习设计比较

表5 练习设计比较

从表5可看出，苏教版、人教版安排的习题数量相对较多，呈现形式也多种多样，甚至在整个小学阶段总复习(整理与复习)中也安排了习题。

二、不同版本教材“鸡兔同笼”内容分析

(一)“鸡兔同笼”的教育价值

“鸡兔同笼”问题解法多样，富有趣味，深受不少数学教育研究者的推崇，因而现行不同版本的教材都编排了鸡兔同笼内容。它比较适合儿童自发探究。学生可以借助画图、列表等辅助手段，通过不断地尝试、比较、调整，问题最终获得解决，学生推理意识得到发展。同时，通过不同的方式呈现“鸡兔同笼”古题，介绍“抬腿(脚)法”等古人巧妙算法，能够激发学生好奇心和创新意识，也有利于学生初步了解我国古代数学研究的重要成就，感受中华文明的博大精深，激发民族自豪感和对数学学科的兴趣。

(二)教材编排的价值取向

不同版本的教材有不同的特色，价值取向不完全相同。如，人教版“数学广角”板块，旨在拓展学生应用数学的视角，开阔视野，让学生能够深切地领略到数学的魅力与光彩，因而教材中呈现的“鸡兔同笼”问题解答方法较多(在六年级下册《整理和复习》“式与方程”之后的练习中安排一道习题，暗示学生列方程解答)，内容编排较为系统；北师大版“数学好玩”板块强调“动手做”，突出活动性、操作性，集中介绍列举方法的优化过程。“鸡兔同笼”内容在不同版本的教材编排在不同板块或栏目，其共同的价值取向是增加趣味性，突出学生的问题解决能力培养，引导学生领悟数学思想与方法，增强问题解决策略意识。

(三)问题解决的方法策略

对比表4解答方法，“鸡兔同笼”问题解决的方法具有两个方面的特点。

1.方法多样性。教材中“鸡兔同笼”问题解答方法主要有画图法、列举法、推算法、方程法、抬脚(腿)法等五种方法，不同版本教材选用的解答方法不尽相同。即便是同一种方法，不同版本之间可能也有差异。如列举法，苏教版、人教版、北京版、西南师大版、冀教版都是一一列举(枚举)，而北师大版教材采用了一一列举、跳跃列举、取中(跳跃)列举三种方式，青岛版则是由一一列举(未完整列举)直接过渡到推算法。再如推算法，苏教版是取中列表推算，人教版、西南师大版是文字叙述推算，冀教版、青岛版先是文字叙述推算然后是列算式推算。

2.方法一致性。画图、列举、推算等算术方法起始于假设，思路本质上都是假设法，思维主线是“假设—比较—调整”。为什么都要用到“假设”呢？因为这类题有一个共同点，就是有几个条件(等量关系)要同时满足，往往一次很难做到。我们可以先满足一个等量关系，做出某种假设，按照题中的已知条件进行推算，看是否满足其他等量关系，如不满足，比较数量上的差异，再进行调整，就可以找到正确的答案。实际上，即使是列方程(或方程组)解答，把未知量用字母表示，也可以说是一种“假设”。

三、思考与改进

通过对不同版本教材的对比分析，结合一线教师教学实践中获得的经验成果，在“鸡兔同笼”问题教学时可以做出适当改进。

(一)解答方法的选用

不同版本的教材具体的解答方法的选用依据有三个方面：《义务教育数学课程标准(2022年版)》、学生的认知发展水平、教材自身的特色与价值取向。

1.根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》，“方程”内容将移出小学。小学阶段对于“鸡兔同笼”问题，不能再用列方程的方法解答，多数版本的教材都要相应作修订。不少小学教师可能认为，这种调整使鸡兔同笼问题教学不够完美。实际上教师大可放心，与小学教材版本相对应的现行初中教材(西南师大版未见有初中教材)，在七年级一元一次方程或二元一次方程组章节都安排了鸡兔同笼问题的内容(如表6)。

表6 相应版本现行初中教材“鸡兔同笼”内容编排一览表

虽然方程内容将移至初中，但是，小学教师完全可以根据新的《义务教育数学课程标准(2022年版)》第三学段关于“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性”的要求，结合学情，用含有字母的式子刻画这类问题的结构特征，帮助学生建构“鸡兔同笼”模型。

现行版本小学教材，“鸡兔同笼”不约而同地被安排在中高年级，反映出“鸡兔同笼”内容难度较大，教师教学与教材编写要体现进阶过程。如，画图法形象直观，适合较低年级的学生，而推算法相对较为抽象，适合较高年级的学生。如果“鸡兔同笼”问题安排在第二学段教学，可以考虑补充画图的解答方法，而将推算法后移，这样才切合小学生的认知发展水平，避免前学后忘的尴尬局面。在高年级再次编排“鸡兔同笼”问题，侧重对常用的解答方法进行比较、勾连，突出“假设→比较→调整”这一重要思维方法。

(二)一一列举(枚举)的起点

在解决“鸡兔同笼”问题时，用一一列举的方法有其局限性，往往受制于数据的取值范围。但是，如果数据适合，学生只要有序列举，总能找到答案，因而这种“算法”式方法受到学生青睐，成为现行七种版本教材“鸡兔同笼”问题唯一共同的解答方法。但是，列举的起点并不完全一样。仔细比较就会发现，只有人教版、青岛版教材从一种物体的数量是0这种极端情况开始一一列举，其他版本的教材都是从其中一种物体数量是1开始列举，而在用画图法、推算方法解答时，假设的起点却大都是某种物体数量为0这种极端情况(也有个别取中假设的情形)，师生因此感到困惑。实际上，进入中学学习阶段，不少学生问题解决典型错误之一就是遗漏极端情况。从方法的一致性与小学、中学衔接性考虑，建议学生起初学习一一列举时，列举的起点还是从“0”这种极端情况开始，这样也有助于培养学生思维的严谨性。学生对一一列举的方法熟练后，可以结合具体情境改变列举的起点，或者采用跳跃列举。当然，这时的列举实际上已不纯粹是算法策略的“程序性”方法了。

(三)例题情境的创设

教材例题采用经典的“鸡兔同笼”情境，是基于学生此前对“鸡兔同笼”或多或少有所了解的事实，增加学生探究“熟悉”问题的兴趣与信心，比较适合于较低年级的学生。但是，采用经典的“鸡兔同笼”情境，学生用列算式的方法解答时容易受已有的负面经验(比如辅导机构推出的“公式法”)影响，浅尝辄止，加上数字的干扰(每只兔比每只鸡多的脚数与每只鸡的脚数恰好相等)，对推算法往往不能深刻理解。实践中，教师发现，当学生遇到情境发生变化的问题，或间隔时间长了，学生根本就不会想到用推算法解答了。苏教版教材处理较好，“鸡兔同笼”例题采用情境变式题，有效促进学生把握问题的本质，领会数学思想方法，避免教学实践中常常出现的学生机械套用模式、“只知鸡兔，不知其他”的尴尬。青岛版教材例题情境变了，但还存在数字干扰的问题。

(四)练习设计的优化

问题解决方法需要通过练习积累经验加以巩固内化。从表5看，现行苏教版、人教版、青岛版教材安排的练习题数量较为适宜，部分版本提供的习题数量过少。在鸡兔同笼的练习设计中，一线教师普遍认为苏教版练习设计较为系统，层次感强，学生的学习效果较好。

总之，通过不同版本教材“鸡兔同笼”问题的比较，教师对教材的把握、对问题解决方法的理解就更深刻、更精准，在教学实践中就能自觉博采众家之长，促成学生主动构建知识体系、方法策略，增强学生问题解决能力，发展学生核心素养。