基于Lotka-Volterra数学模型出租车与网约车竞争分析

王煦，滕飞

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

伴随着我国经济建设的飞速发展，经济竞争问题日益显著，资源浪费不可避免，随着互联网的发展，网约车app层出不穷，在为我国人民出行提供了极大的便利的同时，也给出租车行业带来了压力，二者之间的竞争日益加剧.

生物数学模型最早用于研究人口问题，后来用于研究生态学种群之间捕食、互惠、竞争关系，Lotka-Volterra模型[1]如下：

(1)

生物数学中，在一定条件下，当种群密度(数量)处于适度大小时，种群的增长最快，密度太低或太高都会对种群的增长起着限制作用，称之为Allee效应[2].考虑到网约车app的开发也呈多样化，如滴滴出行、T3出行、花小猪、神州专车、美团打车等，随着下载使用网约车app人数的增加，对网约车app的开发起到了一个激励作用.

生物数学模型已经广泛应用于解决社会经济竞争问题，本文将利用这一理论解决在私家车影响下出租车与网约车的竞争问题.随着我国经济的发展，私人轿车进入家庭已成为常态，对出租车和网约车产生了一定的影响，影响系数记为m，将出租车与网约车视为两个种群，建立新的生物数学竞争模型，进行全面的动力学行为分析，找到出租车与网约车之间的平衡点.

1 预备知识

根据研究需要，现对模型中所应用的相关定义与定理进行简要说明.

(1)平面自治系统[1]：

(2)

其中P,Q∈C(D⊆R2),且适合Lispschitz条件.

平衡点定义：若对任意的t∈(-∞,+∞)，有x(t)≡x*,y(t)=y*,(x*,y*)∈D成立，则称x=x*,y=y*是(2)的一个定常解，其对应的积分曲线是在(t,x,y)空间的直线x=x*,y=y*平行于t轴，轨线是相平面中点(x*,y*)，称(x*,y*)为平衡点(或奇点).显然，(x*,y*)是一个平衡点⟺P(x*,y*)=Q(x*,y*)=0.不是奇点的相点称为常点.

(2)Jocabi矩阵：

α=-(a11+a22),Δ=(a11a22-a12a21),T=α2-4Δ.

2 系统分析

2.1 模型建立

在Lotka-Volterra模型的基础上，根据问题的实际背景，建立出租车公司与网约车app的竞争模型如下：

(3)

令

(4)

将式(4)代入到式(3)，可得

(5)

其中，a,b,c为正常数，x(t)表示t时刻出租车公司的数量；y(t)表示t时刻网约车app的数量；r1,r2分别表示出租车和网约车的内禀增长率；K表示社会对出租车公司最大需求量；r3表示网约车app用户系数；A表示网约车app的Allee系数；m表示私家车对出租车和网约车的影响的系数；α1,α2分别表示出租车单位和网约车app的增长率；β1表示出租车公司内部竞争系数；λ2表示网约车app内部竞争系数；λ1表示网约车app对出租车公司的竞争系数；β2表示出租车单位对网约车app的竞争系数.

2.2 模型求解

令

2.3 平衡点的稳定性

2.3.1 边界平衡点的稳定性

2.3.2 正平衡点的稳定性

将系统(5)变形为

(1)运用零点定理证明平衡点C*(x*,y*)存在唯一性

令

设辅助函数

经计算

f(0)<0,f(K)>0,f′(y)>0.

根据零点定理，C*(x*,y*)存在唯一性.

(2)应用Jacobi矩阵法证平衡点C*(x*,y*)局部稳定

经计算得

Δ=(α1-2β1x*-λ1y*)(α2-β2x*-2λ2y*)-β2λ1x*y*=

由α>0,Δ>0可知，正平衡点C*(x*,y*)局部渐近稳定.

(3)利用Bendixson-Dulac判别法证明系统(5)全局渐近稳定

取B(x,y)=xp-1yq-1(p,q为常数)，则有

令

则有

其中

H=α1λ2(β2-β1)+α2β1(λ1-λ2)<0.

由Bendixson-Dulac判别法定理可知，系统不存在闭轨线，即系统不存在极限环.

综上可知，正平衡点C*(x*,y*)全局渐近稳定.

研究发现，系统的边界平衡点所表示的含义不符合实际意义，不加考虑，此模型系统存在唯一正平衡点C*(x*,y*)，并证明了正平衡点全局渐近稳定，也就是说，当出租车单位数量达到x*和网约车app的数量达到y*的时候，出租车和网约车就实现了稳定的状态，不仅可以缓解出租车公司的经营困境，还会降低资源人力的浪费，实现利益最大化.

2.4 私家车的影响

将(4)代入C*(x*,y*)可得

(6)

私家车对出租车和网约车影响程度高低受二者增长率的影响，当网约车app的增长率高于出租车企业的增长率时，私家车对出租车企业的影响程度反而高于对网约车app的影响.说明增长率越大，相对而言所受到的影响越低.但是该模型的不足之处就是没能考虑到网约车app的饱和状态.

3 生物学意义

通过分析出租车与网约车之间的经济竞争，将其视为两个种群，建立生物数学模型.首先，以Lotka-Volterra模型为基础，考虑到网约车app的Allee效应，私家车对二者的影响，对模型进行了一定的改进；其次，对模型进行求解，得到4个解，3个边界平衡点，1个正平衡点，利用Jocabi法分析4个平衡点的稳定性，应用零点定理、Bendixson-Dulac判别法等证明了正平衡点全局渐近稳定.最后，联系实际，分析了出租车和私家车在达到正平衡点时实现了最合理的分配，资源得到了最有效的利用.此模型还可以应用到其它与实际生活相关类型的经济竞争中，以生物数学模型解决问题，结果更为直观可靠.