关联代数上的左导子

俞慧玲

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

算子代数是现代数学的重要组成部分，近年来许多学者致力于算子代数及其算子代数上映射的研究.

导子对算子代数和算子理论有着重要的研究价值.文献[1]研究了三角环上与素环上的左导子和Jordan左导子，并且从不同的角度给出了左导子和Jordan左导子的刻画:假设R是一个结合环，我们称δ是左导子，如果对任意x,y∈R,有δ(xy)=yδ(x)+xδ(y);是Jordan左导子，如果δ(A2)=2δ(A).郑春明[2]于2012年研究了算子代数上的一些映射，这些映射主要包括：导子，Jordan导子，Lie-导子，Lie-ξ导子，左导子，Jordan左导子以及2-局部导子.文献[3]刻画了Banach代数与素环上的左导子.文献[4]中提出了关联代数上导子的满足形式和系数关系.肖占魁[5]于2015年研究了定义在局部有限预序集上的约当导子;贾宏宇[6]于2020年刻画了关联代数上的交换映射，为进一步研究关联代数的李同构做了一些理论基础.文献[7]研究了关联代数上的李-n导子.文献[8]研究了关联代数上的加法导子.本文主要研究关联代数上的左导子，以及左导子满足的形式和系数关系.

1 预备知识

定义1[1]有限预序集的定义

若集合X中的二元关系≤满足以下两个条件：

(1)∀x∈X有x≤x，

(2)∀x,y,z∈X,若有x≤y并且y≤z⟹x≤z，

则称X是一个预序集，记做(X,≤).

定义2[1]关联代数的定义

设R是一个含单位元的交换环，(X,≤)是一个局部有限预序集，即≤满足自反性，传递性，且对任意的x,y∈X，且x≤y，至多存在有限个元素z∈X满足x≤z≤y，由此可在R上定义关于X的关联代数I(X,R)：

I(X,R)={f:X×X→R|f(x,y),若x≤y不成立}，

代数运算如下：

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y)，

(rf)(x,y)=rf(x,y)，

∀f,g∈I(X,R),r∈R,x,y,z∈X.乘积fg在函数论中被称为卷积.

定义3[1]再给出基元的定义

关联代数I(X,R)上的单位元θ定义为θ(x,y)=θxy,x≤y其中θxy∈{0,1}是一个Kronecker符号，若任意的x,y∈X满足x≤y，则可定义关联代数I(X,R)上的基元exy

关联代数上的一组线性基记为A={exy|x≤y>}.

2 主要定理

引理设A是域R上的代数且存在一组线性基Y，则R-线性算子δ:A→A是一个左导子当且仅当对任意的x,y∈Y，δ满足δ(xy)=yδ(x)+xδ(y).

证明 先证明充分性.假设m,n∈A及

其中CX,Cy∈R,则有

将系数提出后得

由于在Y中成立所以又可得出

=nδ(m)+mδ(n).

必要性

综上可得出式子

δ(xy)=yδ(x)+xδ(y).

证毕.

定理设δ：I(X,R)→(X,R)是一个R—线性算子，则δ是左导子当且仅当δ满足δ(eij)≡0.

证明 由左导子的定义有δ(AB)=Bδ(A)+Aδ(B).

i=j时可得，

δ(eii)=δ(eii·eii)=eiiδ(eii)+eiiδ(eii)=2eiiδ(eii)

得δ(eii)=2eiiδ(eii),

两边同时左乘eii得

eiiδ(eii)=2eiiδ(eii),

所以eiiδ(eii)=0，最终可得δ(eii)=0，同理δ(ejj)=0

i≠j时，

δ(eij)=δ(eiieijejj)=δ(eii·eijejj)=eijejjδ(eii)+eiiδ(eijejj)

(1)

从上面可得δ(eii)=0代入上式可得：

δ(eij)=eiiδ(eijejj)，

且由左导子定义可得：

δ(eijejj)=ejjδ(eij)+eijδ(ejj)=ejjδ(eij)

(2)

将(2)代入到(1)可得到：

δ(eij)=eiiejjδ(eij)

最后再由卷积的定义，eiiejj=θijeij，仅在i=j的时候成立.所以eiiejj=0，所以δ(eij)=0

综上能够得出δ(eij)≡0.证毕