玻色爱因斯坦凝聚体中杂质的相互作用

叶春荣，郑东琛，廖任远

(1.福建师范大学 物理与能源学院 福建省量子调控与新能源材料重点实验室， 福州 350117；2.福建省先进高场超导材料与工程协同创新中心， 福州 350117)

1 引 言

超冷原子气体，包括玻色子和费米子，是一种最先进的量子模拟实验和理论平台[1]，其在量子模拟、量子计算、精密测量等领域的研究中发挥着越来越重要的作用. 1995年，第一次在超冷原子气体中观察到玻色因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate，BEC)[2,3]，而BEC的实现为我们理解自然翻开了新的一页，我们可以研究以前未解决的物理问题，也可以测试许多新的想法.

一些重要问题的物理机制十分迷人. 其中一个是关于玻色气体与杂质的作用，这通常被称为玻色极化子问题，类似于Landau和Pekar研究的极化子问题[4]. 极化子问题是最简单的问题之一，然而它却展示了非平凡的多体效应，揭示了单体和多体物理的相互作用，并且极大地简化许多复杂现象的描述，特别是在BEC中杂质的研究中起着重要作用. 因为玻色极化子不仅在弱相互作用领域中是理想的研究体系[5-7]，而且在强相互作用领域也备受青睐[8-12].

近年来，对含杂质的玻色系统中进行了不同的研究. 在理论上，包括了有效极化子-极化子相互作用的研究[13-15]、极化子的聚集和运输[16,17]、杂质的自束缚[18]、多极化子问题[19,20]、用杂质探测BEC[21]等. 在实验中，Hohmann等人[22]开展了铯杂质实验的技术探索，有小组研究了浸在玻色-爱因斯坦凝聚体中的局部中性杂质的自旋动力学[23]、玻色气体中的费米子[6,24]、BEC中嵌入的离子及运输动力学[25,26]. 此外，Spethmann等小组还研究了玻色气体中杂质的量子动力学[5,27].

在玻色气体环境中，理论和实验上研究了单极化子的各种性质，较少研究杂质之间的相互作用. 当系统中存在两种(或两种以上)杂质时，由于与介质原子的相互作用而引起它们之间的相互作用是最基本的问题之一[28-30]. 在一维上，有多个研究小组探究了两杂质的问题. 对于三维的情况，大部分研究都聚焦于相同作用的杂质，如在文献[31]研究了在杂质与BEC之间弱相互作用的极限下，玻色极化子之间的有效相互作用. 而文献[32]利用变分法对两杂质问题进行研究. 这些三维空间的研究都表明，两个相同杂质之间存在汤川势相互作用. 本文研究了玻色凝聚体中存在两个固定杂质的情形，由于杂质和玻色子相互作用非常弱，所以将采用微扰法开展工作. 经过计算，发现基态能量与杂质之间的相对距离和杂质-玻色子的散射长度有关. 进一步从基态能量出发，研究杂质-玻色子的相互作用是吸引时或排斥时，两杂质间表现出的特征，获得初步结果. 再通过它们的有效力分析，得到与能量分析一致的结果. 最后，通过凝聚体密度分布图像再次得到相同的结论.

2 模型与方法

考虑两个杂质浸入在玻色凝聚体中通过以下巨正则哈密度量来描述：

(1)

不含时的Gross-Pitaevskii(G-P)方程如下：

(2)

-μφ0+g|φ0|2φ0=0.

(3)

(4)

因此，求解上述两个方程得到k≠0时的波函数：

(5)

3 结果和讨论

基态能量可以通过计算E=〈H〉得到，忽略二阶以上的高阶项，利用粒子数守恒，求解出系统基态能量为：

(6)

(7)

对于能量修正部分：

(8)

显然，δE与玻色-杂质相互作用强度有关，还与相对距离有关. 如果将其中一个杂质与BEC的相互作用减少到0，即令A2=0，相当于单杂质在玻色凝聚体中的情况，此时的δE将变为：

(9)

这与文献[34]所计算结果相吻合，同时也验证了本文所运用计算方法的合理性.

图1 在不同的散射长度下，能量修正随距离改变.

杂质与杂质之间的有效力更加直观的体现它们之间的相互作用. 通过计算能量的负梯度，可以得到杂质间有效相互作用力：

(10)

图2 在不同的杂质散射长度下，杂质之间有效力随相对距离改变.

进一步验证所得到的结果，将对体系的粒子数密度进行分析，根据n=|φ|2，得到粒子数密度：

(11)

图3 两个杂质-玻色子的相互作用同为吸引时或同为排斥时的密度分布.

图4 一个杂质-玻色子相互作用是吸引时，另一个为排斥时的密度分布.

4 结 论

本文考虑了含有两个固定杂质的玻色体系，其中这两个杂质与玻色子的相互作用可以独立调节. 通过求解G-P方程，获得了系统的基态能量，并且计算了杂质之间的有效力和凝聚体密度. 基态能量和力的结果表明，如果两个杂质都吸引或排斥周围的玻色子，这两个杂质之间都存在有效的吸引相互作用；如果两个杂质其中一个吸引而另一个排斥周围的玻色子，这两个杂质之间存在有效的排斥相互作用. 进一步研究了凝聚体密度分布，分析相互作用背后的力学机制，从另一个角度验证了上述结论. 本文研究结果有助于我们理解环境密度与极化子间有效相互作用的关联，同时也有助于进一步探索玻色爱因斯坦凝聚体中杂质所带来的物理效应.