基于政府补贴的养老机构服务外包博弈模型

于 畅，陆媛媛

（吉林师范大学 数学学院，长春 130000）

0 引言

最近几年，随着人口老龄化问题不断加剧，其中失能老人、半失能老人及缺乏家庭照顾的独居和空巢老人数量不断提升，我国已经采取了较为合理的有效措施：发展社会居家养老、机构养老等，其中入住养老机构是我国人口老龄化问题的最优选择.为积极配合国家出台的政策，各地政府部门分别采取不同政策提高养老机构服务质量，增加老年人入住率.在2015—2020年，我国养老机构的床位数呈逐年增长的趋势.根据民政部公布的数据，2020年我国养老机构床位数共计483.1万张，同比增长12.6%，增速更是达近几年新高，截至2021年的第一季度，我国养老机构的床位数已达到491.8万张.未来，养老院产业将有较大增长空间，养老院提高服务水平、合理定价、完善养老院配套设施是重要问题.随着时代发展，老年人对休闲娱乐项目要求也越高，养老机构提供高质量的服务，即需要同时满足老年人生理、心理以及生活的需求，这样才能吸引老人入住，提高入住率.现如今多数情况是养老机构经费不足，虽有政府补贴老人入住费，但除去正常的运行费用，几乎没有多余的钱给老年人提供娱乐健身设施等，因此，政府鼓励社会企业等承包养老机构的部分服务［1］，并与养老机构建立利润共享机制［2］.

至今为止，有关政府补贴养老机构的研究文献有很多，例如郭倩等［3］基于政府补贴下，对养老服务市场供给进行研究；石薛桥等［4］考虑了政府补贴和消费者行为的绿色供应链决策问题；张红等［5］针对在政府补贴下具有公平偏好的绿色供应链博弈模型及契约进行研究；Michael Kulm等［6］对养老机构服务供给进行博弈分析，得出在完全信息和不完全信息两种情形下，养老机构的均衡服务价格和政府均衡财政政策；孙培航等［7］对公共服务外包视角下民营医院参与医养结合模式的可行性进行了分析；刘一璠等［8］针对政府补贴下养老机构IT项目建设中的合作博弈进行研究；杨清颖等［9］对养老机构体育服务供给现状及改进策略进行研究；翟子敏等［10］对当代老年公寓娱乐休闲空间设计进行研究等.还有些养老机构为提高服务质量把餐饮服务外包给阳光餐饮机构.

本文在政府补贴养老机构情形下，养老机构与承包养老机构娱乐项目服务外包的私人企业利润共享，建立了三级供应链政府-私人企业-养老机构的Stackelberg主从博弈模型，采用逆向归纳法最终分别求出各层最优结果，分析了政府补贴对养老机构和私人企业的影响.

1 养老机构最优利润模型

根据Stackelberg模型的逆向原理，先分析养老机构博弈模型

其中：πi表示养老机构的利润；p表示养老市场价格；p1表示养老机构与私人企业的收益共享金额；c表示养老机构固定服务成本；s表示政府给予养老机构单位服务的补贴；k2（0＜k2＜1）表示私人企业提高服务质量所做努力系数；x表示养老机构提供服务质量所做努力；D表示市场需求量.

由文献［4］，假设市场需求量函数为

其中：a表示养老市场基本需求量；b（0＜b＜1）表示养老机构服务价格弹性系数；y表示私人企业提高服务质量所做努力；α（0＜α＜1）表示养老机构提供服务所作努力弹性系数；β（0＜β＜1）表示私人企业提高服务所做努力的弹性系数.养老市场的需求量与养老机构价格成反比，与养老机构和私人企业的努力水平成正比.假设养老机构的成本和私人企业为提高服务质量所做努力的成本为凸的二次函数且分别为

将式（2）代入式（1）得到养老机构最优利润模型为

在政府-私人机构-养老机构组成的三级供应链中，博弈过程第三阶段中养老机构的决策变量，即养老市场价格p和养老机构所做努力x是由私人企业给定的共享利益p1和私人企业所做努力y决定的，因此在私人企业给定共享利益p1和所做努力y时，我们得出以下定理.

定理1 当系统参数k1、k2、α、β、b满足时，养老机构最优销售价格为

养老机构提高服务质量所做努力为

证明 将式（3）分别对p和x求偏导，令联立得方程组

解得此时养老机构的驻点为

（1）当k1(k2b-α2)-k2β2＞0时，2k2b-α2＞0；当(a+βy)-b(p1+c-s)＞0时，x＞0.又因为k2b(a+βy)+(k2b-α2)b(p1+c-s)＞( 2k2b-α2)(a+βy)＞0，所以p＞0.

因此πi的Hessian矩阵为

由于G的一阶顺序主子式所对应的行列式在驻点处的值|G1|=-2b＜0，且二阶顺序主子式所对应的行列式在驻点处的值|G|=2k2b-α2＞0，所以πi是关于p和x的凹函数，因此养老机构利润函数在驻点处可以取得极大值，由极值存在的必要条件，令此时的养老机构的最优销售价格和提高服务质量所做努力分别为式（4）和式（5）.

养老机构的决策变量受私人企业的决策变量的影响，因此，分析养老机构决策变量的影响因素时，可以发现养老机构的定价与提供服务质量所做努力是随着私人企业的决策变量变化而变化的，我们得出如下性质.

性质1

2 私人企业最优利润模型

私人企业与养老机构采取合作，并建立利润共享机制时，即将养老机构的决策变量p和x求出后，将式（2）、（4）和（5）代入私人企业博弈模型

得到私人企业的最优利润模型为

其中：πe表示私人企业的利润；k1（0＜k1＜1）表示养老机构提高服务质量所做努力系数；c1表示私人企业固定服务成本.

博弈过程的第二阶段中私人企业的决策变量，即私人企业与养老机构利益共享p1和私人企业所做努力y由政府给予养老机构的补贴s决定，因此在给定政府给予养老机构的补贴s时，我们得出以下定理.

定理2 当系统参数k1、k2、α、β、b满足k1(k2b-α2)-k2β2＞0，a-b(c+c1)＞0时，私人企业以自身最大利润为目标，求得与养老机构的收益共享为

私人企业为提供高质量服务所做的努力为

证明 将式（6）分别对p1和y求偏导，令联立得方程组

解得其利润函数驻点为

当k1(k2b-α2)-k2β2＞0时，有2k1( 2k2b-α2)-k2β2＞0；当a-b(c+c1)＞0时有a-b(c+c1-s)＞0，此时有p1＞0，y＞0.

因此πe的Hessian矩阵为

由于H的一阶顺序主子式所对应的行列式在驻点处的值有|H1|＜0，其二阶顺序主子式所对应的行列式在驻点处的值，所以πe是关于p1和y的凹函数，私人企业的利润函数在驻点处能取得极大值，由极值存在的必要条件，令，得此时的养老机构的价格和所做努力为式（7）和式（8）.

因为私人企业的决策变量是在政府给予养老机构补贴下所求得的，私人企业的决策变量受政府补贴的影响，分析私人企业决策变量的影响因素，可以发现私人企业的共享利润和提高服务质量所做努力随着政府补贴的变化而变化，我们得出如下性质.

性质2

综上所述，对于私人企业来说，政府对养老机构提供服务的补贴越大，则私人企业所做努力水平越高，私人企业与养老机构的利润共享越多，因此政府的补贴具有刺激作用.

3 政府最大福利模型

由文献［5］政府总社会福利函数为

其中：πg表示政府的利润.将式（4）、（5）、（7）、（8）代入政府总社会福利函数得

在博弈过程第一阶段中是关于供应链主体政府，政府将以社会福利最大为目标给定养老机构的补贴s，因此我们得出以下定理.

定理3 当系统参数满足k1(k2b-α2)-k2β2＞0，a-b(c+c1)＞0时，政府对养老机构的最优补贴为

证明 将式（9）对s求导得

4 供应链主体的最优决策

将式（10）带入定理1和定理2中供应链成员的决策x、p、p1、y中，得到养老机构和私人企业的最优决策为

从而解得在非合作博弈模型下养老机构的最优利润为

私人企业的最优利润为

政府的最大福利为

5 案例分析

如今，政府支持私人企业的加入，增加养老机构在医疗、教育、体育等多方面的补给，通过市场调查，以宁波海曙区星光敬老院为例，该养老院将公共服务外包给民间组织，其中公共服务包括清洁、饮食、娱乐以及问诊等项目，机构基本建设的投入与组织增加多样服务的投资，使老人得到的服务质量有了很大提高.假设养老市场需求量a=10万人，养老院的年投入成本c=4万元，民间组织年投入成本c1=5万元，满足条件的系统参数分别为α=0.4，β=0.4，k1=0.7，k2=0.6，通过式（11）—（15）的计算求出系统的最优结果如表1所示.

表1 案例最优结果

下面分析不同决策变量随着养老机构提供服务的努力弹性系数的变化：

（1）随着养老机构所做努力的弹性系数α的增大，养老机构所做努力x和私人企业所做努力y都呈现递增趋势，如图1—图2所示.

图1 养老机构努力弹性系数对养老机构努力的影响

图2 养老机构努力弹性系数对私人企业努力的影响

（2）随着养老机构所做努力的弹性系数α的增大，养老机构与承包养老机构外包服务的私人企业间的共享利益p1和政府对养老机构的补贴s同样都呈现递增趋势，即养老机构越努力，私人企业的共享利益和政府给予的补贴越多，如图3—图4所示.

图3 养老机构努力弹性系数对收益共享的影响

图4 养老机构努力弹性系数对政府补贴的影响

（3）随着养老机构所做努力的弹性系数α的增大，养老机构的最优利润πi、私人企业的最优利润πe以及政府的最大社会福利πg都逐渐增加，即养老机构越努力各方获得的利润越多，如图5—图7所示.

图5 养老机构努力弹性系数对养老机构利润的影响

图6 养老机构努力弹性系数对私人企业利润的影响

图7 养老机构努力弹性系数对政府利润的影响

6 结语

在政府补贴下，建立了政府补贴养老机构以及养老机构与私人企业利润共享情况下的Stackelberg博弈模型，得出最优养老市场定价、提高服务水平所作的努力程度以及政府补贴力度、机构最优利润和政府最大社会福利模型，分析了政府补贴对养老机构和私人企业的影响，为三级供应链的主体在提高服务质量和刺激市场需求量的问题上提供了理论基础.