中学数学思想教学的思考与实践

张屹秀，谭希丽

（北华大学 数学与统计学院，吉林 吉林 132000）

0 引言

随着新课程改革的不断推进，数学思想已成为数学教学的重要组成部分，成为学生数学学习的基本要求.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：教师应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验［1］.在人教版初中数学教学大纲中，数学思想方法已被列为数学基础知识.数学思想是数学的精髓，数学学科的发展依赖数学思想的指导.中学数学内容所体现的数学思想是丰富且深刻的，合理有效的数学思想方法教学有利于学生创新意识的培养，有利于数学核心素养的形成，对学生未来的发展具有重要意义.数学思想是一种隐形的深层知识，所以，数学思想教学相较于数学知识技能教学更为困难.当前，许多中学数学教师已经重视到数学思想教学，也在教学设计中尽可能地体现数学思想，但是仍存在一些问题.例如，教师在进行数学思想教学时采用“注入式”和“贴标签式”教学，在课堂中直接告诉学生体现了哪些数学思想，忽视了数学思想的思维过程.此外一些教师没有注重学生的参与过程，在数学思想教学中学生缺乏自己思考探索的能力，从而使数学思想无法被学生内化.

研究中学数学思想教学，对于加深学生对数学本质的认识，提升学生解决问题能力具有重要价值.本文在众多学者研究的基础上，从中学数学思想教学思考与教学实践两个方面进行阐述，希望能为中学数学教师开展数学思想教学提供参考.

1 常见的中学数学思想

数学知识不是孤立、零散的，而是相互紧扣的有机整体，数学思想方法正是贯穿数学内容的“骨架”.中学是学生学习数学的重要时期.在这个阶段，学生不仅要学习必要的数学知识和技能，而且要掌握数学内容所包含的指导思想.中学常见的数学思想有化归数学思想、数形结合思想、分类讨论思想和数学建模思想.

1.1 化归数学思想

化归是指转化和归结.转化是指通过转化过程，将待解决或未解决的问题转化为已解决或相对容易解决的一类问题，从而获得解决方案的思想.例如徐利治等［2］提出的关系映射反演原理（RMI原则）实际上就体现了化归思想.化归思想不仅在数学中得到了广泛的应用，在历史上也有很多利用化归思想的故事，如曹冲称象、阿基米德测量皇冠体积等.在初高中的数学内容中，化归思想随处可见，它的实质在于合理转化.在数学中存在着许多对立统一的关系，如一般与特殊、数字与形式、正数与负数、常数与变量、实际问题与数学模型等.这些关系不断地转化，使数学问题由复杂到简单，由模糊到清晰.

1.2 数形结合数学思想

数学是一门研究数量关系和空间形式的学科，数与形是数学研究的两个方面，二者虽然相互对立但是却不能割裂，在问题解决中要将数或者数量与图形统一起来进行研究.例如，华罗庚［3］曾以一首小诗强调了数学中几何与代数的紧密联系.数形结合主要体现在问题解决方法上，利用数与形的对应关系，使数与形相互转化.利用形的直观来解决抽象的代数问题和利用数的精确来解决复杂的几何问题是数形结合思想指导问题解决的两种形式.在中学数学内容中数形结合思想应用广泛，如数轴、平面直角坐标系的引入、高中数学学习的韦恩图、解析几何等.数形结合思想不仅是解决问题的手段工具，更体现了数学的理性思维和对立统一的哲学智慧.

1.3 分类讨论数学思想

分类是指将数学问题中所涉及的数学要素按照种类、特点、性质进行归类，讨论是指依照所分的类别，列出每种情况出现时得到的结论.分类讨论思想的出现主要是在一些数学问题解决过程中，所给条件的不确定性引起的，分类和讨论对学生的逻辑性、概括性、条理性有较高的要求.分类讨论思想对中学数学的意义重大，许多数学模块都有体现，例如，初一数学中有理数的分类以及考试中常见的动点问题，高中学习的函数问题及概率问题等.掌握理解分类讨论思想可以帮助学生形成严密周全的数学思维，也有利于学生了解数学内容的内在联系，进行知识迁移.

1.4 数学建模思想

数学源于生活又运用于生活.数学建模是将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，最后通过求解数学问题得到实际问题的最优解［4］.在应用中，通过抽象和简化，使用数学语言刻画实际现象，解决现实问题.数学建模思想实际上是通过建立数学模型，将实际生活问题转化成纯数学问题的一种思维方法，是建立学生的数学知识与外界关系的基本途径.中学数学中常见的数学模型有函数模型、不等式模型、几何模型和概率模型.借助各种数学模型解决实际生活中的问题，培养学生的分析能力和探索能力，强化学生的数学思维.

2 贯彻中学数学思想教学的建议

2.1 增强目标意识，全面理解数学思想

教师要有意识地从数学思想的高度进行数学教学，有目的地在教学设计中突出数学思想，将数学思想融入课堂教学的各个环节，反复渗透，在知识形成过程中促进学生对数学思想的理解.数学思想作为基础知识，在设定教学目标时要以教材为依据，要符合学生的学习情况.

教师所具有的学科深度决定了其教学高度［5］.教师要加深对数学思想的研究，加强关于数学思想的学习，明确中学数学包含哪些数学思想以及它们的内涵、发展历程，积累丰富的教学素材.此外，教师还要注意数学思想与数学知识的衔接，将数学思想与数学知识技能统一融合，只有对数学思想整体把握，全面理解，在教学中才能高屋建瓴，深入浅出.

2.2 深度挖掘教材，重视数学思想思维过程

在中学数学教材中处处体现着丰富的数学思想，但是这些数学思想并不像数学概念、定理直接以文字形式给出，而是借助相关数学内容隐含在教材之中，教师在设计教学之前应该深度挖掘分析教材，对教材中体现的数学思想挖深挖透，化隐为显.一个单元的数学内容中包含多种数学思想，同一种数学思想也会在不同的知识内容中体现，所以在教学时教师要注意数学知识内容前后的连贯性，注重数学思想的呈现方式［6］.

任何一种数学思想都有其产生和发展的过程.我们所学习和接触的数学思想是前人总结提炼出来的比较完备的思想.因此，在教学中展示数学思想的思维过程是非常必要的.在教学过程中，教师要避免重结论轻过程，将数学思想以基本事实的形式直接呈现给学生并不能达到预期的教学效果.教师要创造合理的情境，激发学生动脑思考，设计丰富的数学活动，让学生在活动经验中体会数学思想的形成，最终内化为自己的思维模式.

2.3 教学循序渐进，适应学生认知水平

数学思想的掌握和应用是一个认知发展的过程.皮亚杰的认知发展理论认为，人类的认知发展包括图示、同化、顺应和平衡四个阶段.因此，教师应启发和引导学生分阶段、多层次地学习和理解数学思想，不能操之过急.数学思想教学应该具有阶段性［7］，同一种数学思想在不同学段的知识均有不同程度的体现.例如，分类讨论这一数学思想，尽管学生在小学就已经学习了分类，但是升入初中和高中，学生会对分类讨论思想有更深入的学习和了解.因此，我们在教学中应该潜移默化、循序渐进地渗透数学思想.

数学教学中数学思想的渗透要符合学生的认知水平.不同学习阶段的学生，其信息处理能力、思维能力和记忆能力各不相同.维果斯基认为，儿童认知发展的水平是一个区间，教师应该根据学生现有的思维水平和他们能达到的水平来设计教学.教师要根据数学的特点和教学的实际情况，结合学生的年龄特点和认知水平，设计数学思想教学，既不让学生觉得深奥难懂，又能通过深入思考解决问题.在学习过程中，使学生不仅能理解数学思想的指导作用，还能在成功的喜悦中增强学习兴趣，提高创新能力.

3 中学数学思想教学的实践

3.1 在概念形成中渗透数学思想

数学概念的形成是一个典型的抽象过程［8］，数学概念的教学也是数学教学的重要内容.在形成数学概念的过程中，教师要创设学生熟悉的现实情境，启发学生归纳总结，加深理解，引导学生经历一个完整的思维过程，在此过程中渗透数学思想.以高中数学函数概念的教学为例，高中数学函数的概念是从集合与映射的角度进行定义的，因此在函数概念的教学中可以设计如下一些例题：

例1.y=x与是同一个函数吗？

例2.y=1是函数吗？

根据这两个例题，让学生体会到初中函数概念的局限性，进而引出函数与自变量的范围是有关的.通过实际问题中的函数关系引导学生归纳总结它们的共同属性，即都包含两个非空数集，都有一个对应关系，数集A中的任意一个数x在数集B中都有唯一一个y与之对应.通过教师的指导，让学生进行总结概括得出函数的定义.在这个教学过程中教师要充分体现学生的主动性，突出数学思维过程，为学生渗透集合思想，并运用类比思想分析初高中函数概念的区别与联系，加深对新知的思考和理解.

3.2 在问题解决中体会数学思想

问题是数学的心脏，数学思想是数学问题解决的“利器”.数学思想的学习不像数学知识那样有明确的学习方法，它是一种隐性知识，在学习时要注重数学思想的过程性.因此，教师在讲解例题时重在启发，并为学生分析思路，给学生提供完整的思维过程.通过教师在习题讲解时的点拨，让学生体会数学思想在解题中的指导作用，随着学习的不断深入，自觉应用数学思想以求得问题的解决.下面以高中数学求函数解析式为例.

例3.已知函数满足f(x-2)=x2+5x+7，则f(x)=（）.

解法一：图象平移法：

f(x-2)=x2+5x+7是将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到，因此将f(x-2)=x2+5x+7的图像向左平移2个单位长度，得f(x+2-2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21即f(x)=x2+9x+21.

解法二：换元法：

令u=x-2，则x=u+2，

解法三：构造法：

f(x-2)=x2+5x+7=(x2-4x+4)+4x-4+5x+7=(x-2)2+9x+3=(x-2)2+( 9x-18)+18+3=(x-2)2+9(x-2)+21，将x-2看成整体一个变量x，即f(x)=x2+9x+21.

以上解法分别运用了三种数学思想方法，并且每一种数学思想方法都可以求出结果，所以教师要鼓励学生求解问题时多尝试不同的方法，培养学生的发散性思维，提高学生的解题灵活性.

3.3 在数学活动中感悟数学思想

数学课堂活动是数学教学的重要环节，活动形式也具有多样性，比如研讨式、动手实践式等.丰富的数学活动可以提高学生的学习热情，培养学生的动手实践能力.在教学中，教师应结合实际情况设计相关的数学活动，使学生在实践活动中感受数学思想，锻炼实践能力，形成积极探索的科研精神.

例如教师在讲授勾股定理这一章时，勾股定理的证明是重要内容且有难度.虽然在教材中采用了中国古代数学家赵爽的证明方法，但是我们知道勾股定理的证明方法至今已有100多种.所以在学生学习和了解赵爽弦图证明勾股定理的基础上，组织学生参与教材章节末尾的活动，鼓励学生努力学习，动脑筋，引导学生探索证明勾股定理的方法.让学生在实践活动中，感悟转化的数学思想和数学证明的逻辑严谨性.

4 结语

米山国藏［9］曾提到数学知识不能永久地留在学生头脑之中，但数学思想可以让人受益终身.数学思想反映数学知识、数学结构和数学方法的本质，数学思想是中学数学课堂质量的重要保证，将数学思想合理融入数学教学是数学课堂教学努力的方向.在数学教学中必须重视数学思想的作用，只有强化数学思想教学，将知识技能和思维能力培养结合，才能使数学学习达到新的高度.中学数学思想教学研究任重道远，渗透数学思想在教学实际中的策略和方法还要进行深入的研究，本文对数学教学的开展，学生理性精神的养成，创新能力的培养有所帮助.