在多重具身体验中习得“量感”

江苏省无锡市新洲小学 孙晓华

“量感”主要是指对事物的可测量属性以及大小关系的直观感知，是学生对于量的比较、运算、估计等方面的感悟。“量感”的建立有助于学生养成用定量的方法认识和解决日常生活中与数量关系及空间形式有关的问题的习惯，从而提高学生的数学应用意识。笔者认为，“量感”的习得，需借助多重具身体验。

一、借助直观素材，建立“量”的清晰概念，给“量感”的萌生营造土壤

“量感”的培养首先基于生活素材的直观感知，只有让学生充分经历对“量”的体验过程，关于“量”的概念建立才会形象、深刻而清晰，从而为“量感”的萌生营造土壤。

（一）深刻体会计量单位产生的必要性

在“量”的领域，每个计量单位就像一把“尺子”，用来规定人类在不同领域的统一标准。而计量单位这把“尺子”形成的必要性和合理性是“量感”形成的前提条件。

长度的测量需求最开始出现于远古时代的生产生活中，在教学“认识厘米”一课时，不妨从古人的测量经验开始，用拃（见图1）、用脚长（见图2）来量一量，后来发展到把小树枝做成小棒（见图3）进行测量。在这个“粗测量”的过程中，“小棒”成为半抽象的物象工具。

图1

图2

图3

在此基础上，教师可以进一步创设情境：

大个子老鼠和小个子猫用小棒分别量了两根兽骨的化石，问谁的兽骨化石长一些？（见图4）但由于小棒长度不确定，所以结果无法确定。矛盾的冲突引出1 厘米、1 分米、1 米三种固定长度的小棒，于是长度计量单位产生了。

图4

再看面积单位的产生，当学生需要用精准的数学化方式描述“面有多大”时，观察法、重叠法、剪拼法只能在特定场景中适用，于是面积单位产生有了第一层需求。教师可以用小长度量大长度、小质量量大质量的经验（见图5）启发学生：用一个确定的小面积同样能量出大面积里包含了多少个小面积，寻找一个小面积成为面积单位产生的第二层需求。学生用圆形、三角形、正方形等纸片（见图6）进行尝试，发现小正方形正好可以不重叠地填满长方形。用小正方形来测量大长方形的面积，这是面积单位产生的第三层需求。第四层需求便是用统一大小的小正方形去度量，由此产生平方厘米、平方分米、平方米等面积计量单位。

图5

图6

体积、角度、质量、时间、货币等的度量同样需要经历计量单位产生需求的过程，“量感”的形成才有向上伸展的力量。

（二）充分感知基准计量单位

精准把握计量单位是“量感”萌生的重要因素。不同领域的计量单位中都有一个“基础细胞”，如“厘米”是长度单位的“基础细胞”，1 厘米就是种子单位“量”，“1厘米有多长”的直观感知是长度计量单位概念建立的基础。在教学过程中，教师应该充分调动学生的多种感官来建构1 厘米的长度概念，不妨采用“一看”“二比画”“三留印象”“四找参照物”的层级式体验，先拿出1 厘米长的小棒仔细看，再借助小棒用心比画，然后根据感官印象演示、验证1 厘米有多长，并在不断调整中把1 厘米记在心里，凭借这种感觉在生活中寻找哪些物体的长度大约是1 厘米。当生活中或者身体上的1 厘米成为学生脑海中1 厘米的物象支撑时，1 厘米的概念建构即初步完成。

（三）深入明晰计量单位进率

“数＋单位”是“量感”的外显表达方式，在一定程度上，“量感”和“数感”息息相关。在数的认识中，位值的理解采用物化的途径来建立，那么在“量”的认识中，计量单位之间的进率理解同样需要借助直观的物化途径来完成。分米和厘米、米和分米之间的进率，教师可以引导学生用“叠加”式助力感悟，1 厘米1 厘米地叠加，10 个1 厘米就是1 分米（见图7）。反过来，分米到厘米，可以用“分割”式，把1 分米长的纸条以1 厘米为单位进行分割，1 分米里面有10 个1 厘米，从而得出“10 厘米=1 分米，1 分米=10 厘米”。面积单位1 平方厘米和1 平方分米之间的关系感悟同样如此，在拼和分割的过程中（见图8），以数正方形为媒介，实现了一维空间单位量向二维空间单位量的认知转化。

图7

图8

综上所述，教师应该为学生提供丰富的素材，让学生亲身体验、直观感知，建立起单位标准量的清晰概念，使“量感”习得处于生机勃勃的萌芽状态，也让测量具有最扎实的“垒土”。

二、利用估测活动，积累量的丰富表象，给“量感”的生长输送营养

“量感”素养特指小学阶段学生对“量”的估测推断意识和直觉感知能力。“量感”很多时候体现在不借助工具的前提下对数量有较准确的感知，这就要求教师在组织关于“量的计量”教学过程中，对身边的事物属性及其度量大小进行各种形式的估测，充分积累量的丰富表象。

（一）借助基本单位长度进行估测

当学生调动多种感官建立起一个单位量的标准时，教师还需要让学生“量感”的培养延续、生长，借助直观估测，建立几个单位量的累加表象。

如在“角的度量”一课中，学生借助“看一看、摸一摸”1°，把1°记在心里后，教师依次出示几个大小不一的角，让学生估一估这些角里面分别有几个1°，是几度角（见图9）。随着估测、验证，再估测、再验证的循环往复，学生不仅进一步加深了对1°的认知，并且逐步把5°、10°、20°的大小印象印刻在脑海中，甚至到60°时，可以用后期形成的5°或者10°的表象加以估测。如估测一个水杯的高度时，教师可以先选择一个合适的计量单位——厘米，然后建构1 厘米的表象，引导学生通过比画、估测水杯的高度大约是多少厘米，同时进一步用厘米尺或者1 厘米的小棒、吸管等具象物体去测量验证，这时候杯子高度的表象便建立了。在这个过程中，标准单位量的作用很重要。

图9

（二）借助实际生活经验进行估测

随着估测经验的累积、估测值的不断增加，以及估测情况的日益复杂，教师还要培养学生借助生活中的实际经验来进行估测，并让估测过程化繁为简。

首先，要学会为估测寻找一种“中介量”——非标准的估测参照物。如教室里饮水机上的桶装水容量为19 升，这是每个学生都比较熟悉的，选择它作为“中介量”来估测热水器的容量、热水瓶的容量或者浴缸的容量便有了支撑。

教师还可以进一步引导学生自行建立多个估测参照物。如对于“吨”的“量感”经验积累，不妨以学生熟悉的自身体重作为中介量。一般三年级学生的平均体重是25 千克左右，4 个三年级学生的体重大约是100 千克，40个三年级学生的体重大约是1000 千克，也就是1 吨。这时候，40 个学生的体重就是一个中介量。

在估测的过程中，被估测物体与“中介量”之间一般会存在一定的倍比关系，因此，引导学生发现两者之间的倍比关系，也是估测过程中的重要一环。如楼房的层高大约是3 米，一根电线杆比三层楼房矮一点，差不多是两层半楼房那么高，由此可以估测出电线杆的高度大约是8 米左右。

利用估测活动，借助参照物，积累起更多关于量的表象，即便到后来不用这一“中介量”，被测物体关于“量”的感觉依然能清晰地印刻在学生的脑海中。这时，估测便成为一种给“量感”生长输送营养的重要渠道。

三、搭建应用平台，解决量的实际问题，给“量感”的丰盈注入能量

“量感”培养的过程也是数学与生活紧密联系的过程，“量的计量”均来自日常生活与生产的实际需要，具有很强的现实意义。教师要为学生搭建应用平台，将实际测量和推理测算相结合，主动尝试运用数学思想方法寻求解决关于“量”的实际问题的策略，探索数学知识的应用价值，给“量感”的丰盈注入能量。

（一）实践操作，在实际测量中解决问题

关于“量的计量”，其可测性离不开动手操作、实地测量等精准化路径。

测量工具是实际测量的必要元素。长度的测量工具是尺，质量的测量工具是秤，容积的测量工具有量筒、量杯，角度的测量工具是量角器……测量工具的形成，本身也是“量感”培养的助推器。以角的测量工具形成为例，当学生明确用1°能量出角的大小后，教师追问：“每次量角，我们都带上一堆的1°，你觉得怎么样？”这一问题引发了学生的深度思考：测量长度的时候，把1 厘米1 厘米的小长度拼起来，形成一把厘米尺（见图10），现在把这些小角拼起来，能不能形成一把尺呢？借助操作，将180 个1°拼成一把半圆尺，量角器的雏形便初具规模（见图11）。在这个过程中，以一种需求性、结构化的视角，将不同“量”的测量工具关联起来，再次通过“叠加”方式呈现“量”的连续可加性，测量工具的生成便成为延展性“量感”的迸发。

图10

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动手操作是度量本质的深刻体现。认识克和千克时，借助台秤让学生称出1 千克大米、1 千克苹果、1 千克橘子、1 千克香蕉、1 千克黄瓜等，拎一拎、掂一掂1 千克有多重，再称一称书包的质量、背一背并称一称小朋友的质量；认识千米时，带上卷尺，走出教室，量一量、走一走百米跑道的长度，让两组学生站在跑道两端，相互喊一喊，感受100 米有多长，并想象10 个这样的100 米就是1000 米，然后选择一条典型的路线体验从学校到某标志性建筑大约是1 千米。只有不断地操作体验，“量感”素养才会在精准化具身体验中丰厚起来。

（二）测算推理，在综合运用中解决问题

在面对“较大量”的实际问题时，教师还可以引导学生通过有逻辑的推理想象、测算等方式来感知“大量”。电线杆的高度、大树的高度、一栋大楼的高度等都是生活中的“大量”，教师可以运用比例的知识，通过测量影长求出电线杆、大树、楼房等的高度，还可以用拍照、计算的方式来求解。在角的度量中，我们也会遇到类似的问题：大于180°的角如何测量？重新设计量角器或者分割大角分别测量再相加，都是解决问题的途径。

“量感”的持续发展除了需要生活经验的“外衣”点缀，还需要思维的参与使之内化，实现从感性认识到理性认识的飞跃，从而建立不同量的清晰概念。

通过多重递进式的体验，学生对“量”的合理预测、精准估计、理性判断等能力日益增强，“量感”以更精确、深刻的样态，逐渐依托形体内化于心、外化成体系，从而促进学生“量感”素养的发展。