2022年全国高考数学乙卷导数压轴题的简单解法

曹会洲

(安徽省定远中学 233200)

2022年全国高考数学乙卷第21题是一道导数压轴题，题目如下：

已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)在区间(-1,0)和(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．

本题第(1)题较容易，不再赘述.以下重点讨论第(2)题，给出一个简单解法：

由题意知，f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点⟺方程ln(1+x)+axe-x=0在区间(-1,0),(0,+∞)各有一个实根⟺函数g(x)=exln(1+x)与y=-ax的图象在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个交点．

至此可以作出g(x)的大致图象，如图1所示．又g′(0)=1，所以g(x)在x=0处的切线方程为y=x，要使函数g(x)=exln(1+x)与y=-ax的图象在区间(-1,0),(0, +∞)各恰有一个交点，则-a>1，从而a<-1．

图1