高考数据分析、数据采集及管理模块实践

□山东省淄博市实验中学 邢迪

当前全国高考命题涉及教育，经验构思巧妙，可体现命题的理念以及原则，在本研究中深入分析高考数学试题，能基于2015 年至2020 年高考数学卷概率统计试题深入阐述命题特点，考查要点提出几点数学教学建议，把握高考的命题，深入领会高考命题精神，进而能为高三学生数学复习提高针对性，减少复习的盲目性。

一、高考数学概率与统计试题

（一）命题背景

对高考数学卷中概率与统计的内容，考查学生数学应用能力以及建模能力，同时这也是数学思想考查的主要载体，当前在高考全国卷中“概率与统计”这一试题涉及学生的日常生活、学习。比如，在概率内容考查上，一般是以比赛得分、质量抽检、抽签选号的方式命题，进而分析不同随机事件发生概率。统计内容是基于方案决策、数据预测、利润获取以及成本控制等多个方面进行命题考查，包括利用样本数据进行总体特征分析，通过数据均值方差判断问题。在2018 年高考数学卷中着重对学生文化知识进行考查，以古希腊波拉克底直角三角形外接半圆形为例进行命题，考查学生对几何概念的理解；在2018 年全国二卷高考数学理科卷中利用哥德巴赫猜想考查学生对古典概型这一知识的认识。

（二）知识点罗列

近几年在数学高考卷中对统计与概率采用抽象法考查知识点，一般为分层抽样应用统计图表进行相关性分析，其涉及回归思想、随机事件、包括独立事件、互斥事件以及概率离散变量、独立重复检验、正态分布、方差等。首先，在高考试卷中“统计与概率”这一内容呈现交互性命题，概率统计知识点相对紧密，采取统计图表作为主要考查方式，要求学生根据图中的数据运用频率估计思想，以考查对对立事件概率、古典概型以及互斥事件概率公式应用。其次，对生产销售中的利润问题分析，一般“概率与统计”是与分段函数或函数最低值问题结合，这也是近年来高考数学考查的热点。

（三）对学生能力的考查

根据新课程标准，提出在培养学生数学核心素养过程中涉及抽象运算、数学建模、逻辑思维直观分析等，其中数学分析获取研究对象数据，利用数学方法收集整理数据，进行数据推断，逐渐使学生形成良好的学科核心素养。在开展概率统计这一内容教学时，要求学生能利用统计与概率思想实现据处理分析，为企业制定决策依据，充分培养学生理性思维。当前在数学高考卷中，对概率统计这一内容考查学生六大能力：第一淡化解题技巧帮助学生实现通法解题；第二，减少无限深度这一要求，提高运算思路的分析能力；第三，逐渐形成科学合理的随机观念，能认识一些随机现象；第四，培养阅读、筛选信息能力；第五，培养学生通过实际问题，解决估算判断；第六，重视整合分类，划归转化等思想在具体解题中的应用。

（四）命题的规律分析

第一，在高考数学客观题命题上。归纳2014 年至2015 年期间的高考题，在概率知识考查上主要体现于判断题中，历年高考题就会涉及古典概型这一命题。2015 年对统计知识的考查主要体现于客观题中，且要求学生能认识统计图表，采取该方法进行考查。在近年来，在概率内容方面几何概型也成了考查热点，尤其在2017 年2018 年中，对这一类题考查题数较多，具体涉及线段和面积模型等。此外，正态分布、特征抽样、样本数据分析等题型隔年交替考查，要求学生了解统计与概率的公式、概念运用。第二，从解答题的命题规律来看，在2013 年之前高考数学卷考查核心事件的概率，注重逻辑推理能力的考查，强调解答排列组合问题技巧，对合情推理和应用意识的考查内容较少。自2014 年后在高考数学卷中增加了频率分布以及直方图内容考查，要求学生利用图表数据，通过频率估计概率的方法解决实际问题，在2015 年之后增加散点图、折线图等内容考查，重点要求学生能熟练绘制频率分布直方图、茎叶图，能联系实际解决数学问题，针对一些数学问题进行决策判断；2017 年高考数学卷学生独立性检验问题，2018 年开始考查正态分布，在高考数学命题中对正态分布例题特点鲜明，近几年对这一例题的考查逐渐由简单规则应用向理解原理、回归运算渗透，整体内容在高考数学卷近年解答题的命题中焕然一新，但近年来高考数学中的中位数、标准差以及均值等概念仍是考查的热点。利用频率估计概率和利用样本估计总体特征是数学问题解决的核心思想。

二、概率与统计的试题分类分析

为能把握近年来高考数学卷的命题方向，本研究针对近几年高考试卷关于概率统计的内容进行分类。

（一）统计

第一，抽样。为能使学生结合实际问题，在统计内容教学中要求学生利用多种方法获取数据，能把握数据所隐藏的信息，常使用的方法包括分层抽样法、随机抽样法和系统抽样法。近年来，在高考数学卷中分层抽样法是主要的抽样方法考查对象。2018年高考数学全国卷中，一卷与三卷均设计这一题型。第二，统计图表。统计图表相对具有一定的实用性以及直观性，根据新课程标准指出，要求学生能对所给出的数据进行分析，选择合适图表表达数据，根据样本数据描述相应的数字特征，利用样本数据来估计总体发展规律，进而解决实际问题。在高考数学中针对统计内容的考查一般采取的是统计图表的方式，它能从多层次，多角度命题考查学生用途识图和作图能力。比如简单视图应用是近年来高考全国卷主要涉及日常生活生产的热点和涉及贴近生活且具有较强可读性的统计图表。2018 年在全国高考数学卷中提出“关于新农村建设农民经济收入变化统计图表-饼状图”，2017 年全国三卷中利用旅游作为命题背景绘制折线统计图，这些题型均是要求学生能通过样本数据特征估计总体。当前利用数据进行推断是社会普遍采取的思维模式，利用统计学原理实现样本总体特征估计是数学问题解决的核心思想，当前高考数学中经常会涉及这一类题型，重点考查学生熟练绘制频率分布直方图以及茎叶图，能结合已知的样本数据提取重要信息，具体包括标准差、方差、均数等，考查学生对总体评价解释的应用能力。比如在2018 年高考文科全国一卷中坚持以德树人作为教学导向，通过对比采用节水龙头之后用水量变化，能逐渐培养学生保护水资源的意识。在这一例题中共涉及三个问题，第1 题考查学生熟练绘制频率分布直方图和分布表的能力。在第2 题中要求学生利用样本数据来估计总体，进而熟练掌握古典概型的实际应用，能培养学生的计算能力、估算能力。第3 题通过使用节水器前后用水量变化分析，考查学生熟练掌握频数分布表。当前在工农业和经济生活中，综合应用统计图表具有广泛应用，成本控制质量控制、风险控制是其经常需要解决的问题，而这些问题受随机因素以及不确定变量因素影响，因此需构建随机模型进行数据设计整理，能利用统计与概率这一内容做出正确决策，高考命题一般是以问题作为背景，通过统计图表、作文命题载体，考查学生对随机变量分布列，期望值，计算频率概率等内容的考查，进而提升数据分析处理能力和建模能力，在2016 年全国一卷中，问题背景为实际生产成本控制问题，重点考查柱状图的认识，在第1 问中考查学生利用柱状图以及频率估计概率思想求解分布列，在计算概率时需要运用分类讨论这一思想，将实际问题转为独立事件或互斥事件进行解决。第2 问题是基于第1 问前提下，考查学生如何进行互斥事件、概率求解。第3 问以期望值作为决策依据，确定企业购买量。在上述例题中充分体现了近年来对学生数学解题能力考查的变化。第三，变量相关性，2017年高考数学全国卷的考试大纲要求掌握统计案例以及变量相关性问题，能绘制散点图，利用已知数据通过散点图了解变量之间的相关性，进而深刻体会独立性检验、最小二乘法以及回归分析等重要思想的应用。结合回归方程系数求解问题，利用统计法解决实际生活中面临的问题，学生在数学学习中不能对回归方程公式或独立性检验公式死记硬背，要求利用已知的公式来推断，判断预测结果，进一步考查统计思想在具体问题中的应用。

（二）概率部分

第一，随机事件，2015 年高考文科卷中有这样一道例题，甲乙丙三人比赛，其中每局比赛是由两人完成的，另外一人为裁判，在每局比赛结束之后负的一方为下一局裁判，假设双方比赛的概率为1∶2，并且最终比赛结果属于相互独立事件，已知在第1 局比赛中甲为裁判。第1 问求解在第4 局甲作为裁判的概率。第2 问前4 局比赛中乙为裁判的概率。首先这一例题主要考查学生对于互斥事件、相互独立事件、对立事件等概念的认识，重点培养学生逻辑思维能力。已知第1 局甲为裁判，进而可推断在第4 局中甲仍然为裁判，甲在第2 局胜出，在第3 局失败，可推断两者为相互独立事件，通过概率乘法公式进行问题求解。在第2 问中重点考查学生对包括划归思想，转化思想，分类讨论思想等数学思想的具体应用，在前4 局比赛中求解乙为一次裁判，可分三种情况进行讨论，需要注意除事件关系运算外，近年来在高考数学卷中对随机事件和概率部分、几何概型、古典概型和条件概率等内容的考查增多。

第二，离散型随机变量。在概率统计这一内容中，近年高考数学重点考查学生对方差、均值的知识，能利用均值反应变量随机水平，利用方差表示多个变量的随机分散程度，掌握这些概念也是在实际问题中求解的关键。在高考数学卷中，对分布列均值方差采取两种考查方式。1.通过随机事件概率或公式进行分布列求，解之后求解期望值和方差；2.利用统计图表考查学生对图表的认识，通过均值、方差、分布列判断实际问题，这也是近年来新课标解答题考查热点。

第三，正态分布。结合新课程标准要求学生利用误差模型能了解正态分布随机变量的具体应用，通过实例绘制频率分布直方图，能了解均值、正态分布的相关概念，通过实际案例，借助频率分布直方图了解重要的符号和图像的意义。2017 年全国高考卷中首次考查学生对正态分布的认知，且由规则运用向原理理解进行渗透，2017 年高考数学卷考查学生正态分布内容，要求学生能了解一些数学符号和图像。

三、高考数学教学建议

第一，做好学生的心理疏导。在不同生活和学习环境下，数学焦虑是指阻碍学生解决数学问题和操作的紧张不良情绪。尽管概率与统计的例题在高考数学卷中题型难度不大，但这类型例题含有较多信息，很容易导致学生产生不良情绪。首先，研究表明学生不良情绪是与其日常呈现呈负相关性，因此在概率与统计这一内容教学时应当及时梳理学生不良情绪，培养学生健康和积极的心态。其次，要重视数学思想以及相关概念的教学。综合近年来高考数学概率试题集，其内容较为丰富，命题灵活，即便难度较低的试题，如果没有掌握题意认识的概念，在解题时也会产生很多错误。数学思想的应用在数学教学中是十分重要的，教师在开展数学教学时，要求学生逐渐形成学习观念，利用随机变量进行问题解决，能掌握样本估计总体、频率估计概率等多种方法，通过学习一些经典例题了解回归思想、独立性检验等思想的具体运用，能准确区别思维差异、思维理性，掌握分类讨论思想、划归思想、转化思想等在解决实际问题中的应用。

第二，重视高考例题的研究。历年的高考数学试题是数学教学的重要素材，应当以一些经典例题为素材深入领会命题意图，规律命题，背景，能提升高三学生复习有效性，建议教师在开展高三数学复习时，应当以历年经典高考试题为例实现针对性复习。近年来，根据高考数学试题知识能力考查，重点考查学生对分布列、离散型随机变量、概率组合、方差、均值等理论知识进行考查，考查学生数学应用技能以及基础知识的掌握度，培养学生理解能力、运算能力。针对概率统计在高考试题中设计难度不高，因此在复习过程中应当注重答题规范以及思维完整性。同时从试题形式上来看，以实际问题为命题背景，利用统计与概率这一内容作为命题载体，或将流程图进行整合，主要考查学生分析解决问题的能力。在高考数学复习过程中，要求学生能正确认识不同的数学模型特点，包括互斥事件、独立事件、对立事件，模拟一些类似题型进行练习，在解题时及时纠正错误，可通过反思数学概念、本质掌握一些学习要点。除此之外，在教学时注重培养学生通过文字捕捉信息，能将汉字转为数学语言，当遇到问题情景复杂的试题时要求读懂题意，只有正确理解题意才能抽象概括概率统计模型。

四、结语

总之，本研究深入分析高考数学试题，以2015年至2020 年高考数学全国卷中概率和统计试题作为研究对象，分析命题特点、考查要点，提出几点数学教学建议。同时以高中数学概率与统计内容为例，分析了高考数据分析、采集及管理的问题。