定积分概念的教学探究

陈玉清

金肯职业技术学院 江苏南京 211156

数学是自然科学的重要基础，应用于现代社会的方方面面，运用符号运算、形式推理、模型构建等方式，表达现实世界中事物的本质、关系和规律[1]。数学概念是数学的基础内容，是数学判断和推理的依据。如不理解概念，在解决数学问题时，往往会碰到很多困难。特别是对同一数学概念的不同表达形式、概念之间的相互关系等缺乏系统概括的理解[2]。微积分是高等数学的主要内容，正确理解导数、微分、定积分的概念，是理解、记忆微积分中涉及的公式、符号、定理及解题的核心。定积分是积分学教学中的重点和难点。如何在教授定积分的过程中，让学生更好地理解、接受定积分，并激发学生的学习兴趣，培养学生逻辑推理、分析、归纳、总结的能力以及创新能力是教学中值得研究的课题。

一、定积分概念的教学探究

(一)教学背景

当今社会，科技迅猛发展，“数学”课程的教学方法与教学手段必然随之改变。传统的“黑板+板书”的教学模式无法适应于信息化时代下成长的学生，特别是“数学”课程中的数学概念抽象、难以理解、推导过程复杂，使高职学生心存畏惧。将合适的信息技术运用到教学中，使教学内容更清晰化，将有利于学生理解并接受，同时能培养学生的创新能力。数学是一门抽象的学科，特别是数学概念，如能借助合理的信息技术作为辅助，从而提高教学质量、课堂容量、学生学习兴趣。授课前期，以微积分发展史及涉及相关数学家的故事作为引入，让学生了解数学的重要性和数学家们的伟大贡献，以及他们孜孜不倦、一丝不苟、锲而不舍、坚持不懈的精神品质。

(二)教学目标及教学方法

1.教学目标

知识目标：理解并掌握定积分的概念、几何意义；结合实例，简单了解定积分知识的实际应用；能力目标：在定积分概念形成过程中，培养学生的抽象概括能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；素养目标：让学生了解定积分的概念形成背景，培养学生探索数学的兴趣。

2.教学重点、难点

定积分的概念与思想，定积分概念的理解及应用[3]。

3.教学方法

多媒体运用，启发式引导，理论与实际相结合。

(三)教学过程

1.新课引入

有效的引入不仅能激发学生的学习兴趣，更有助于学生对后续要学习的知识的理解与掌握[4]。

简单介绍微积分发展简史，突出微积分的重要性：微积分的诞生，带来了工业革命，有了大工业生产，继而有了现代化的社会：航天飞机宇宙飞船，及现代化的交通工具等[5]，很多自然科学、几何学的概念中都需要定积分。促使学生重视数学，重视知识的力量。定积分是对连续变化过程总效果的度量，求曲边梯形的面积是定积分概念最直接的起源[5]，引出第一个引例的教学。

2.介绍两个典型例子

第一个典型例子：曲边梯形的面积。

定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的平面图形的面积而产生的，规则平面图形面积在中学阶段已经解决，让学生回顾已学习过的规则图形及其面积公式，进一步引出不规则平面图形的面积如何解决的问题。为了引起学生的学习兴趣，可以从实际生活中寻找这种不规则图形，进而提出问题。

对学生提出“如何求出这种不规则图形的面积呢？”的问题，启发学生思考，并给出一个不规则图形，使用信息技术手段分割所给不规则图形为规则图形和不规则图形1：

以不规则图形中其中某部分为例进行研究，曲边梯形的概念及计算其面积的问题，给出曲边梯形的概念。

曲边梯形的概念：曲边梯形是由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)及三条直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形，如图2：

设曲边梯形的面积为A，利用信息技术手段向学生展示如何分割曲边梯形，将分割出来的其中某一个窄曲边梯形与和它同底的小矩形面积比较，如图3和图4所示：

分析：由于曲边梯形在底边上的各点处的高f(x)在区间[a，b]上是变动的，因此面积A不能直接用矩形或梯形的面积公式计算。但由于曲边梯形底边上的高f(x)在区间[a，b]上是连续变化的，如果曲边梯形的底边很短，则高f(x)变化不大，可近似地看作不变化，因此自然想到用小矩形的面积之和逼近曲边梯形的面积A。

再进一步展示图5：

第二个典型例子：变速直线运动的路程。

3.定积分的概念的具体内容

让学生结合上述两个典型例子，自主阅读概念内容，对于定义中给出的函数f(x)，启发学生说出在上述实例中f(x)是指曲边梯形的面积中曲线y=f(x)，在变速直线运动的路程中是指速度v=v(t)，定义中的f(ξi)△ti在曲边梯形的面积问题中是指第i个小矩形的面积，在变速直线运动的路程问题中是指第i个小时间段上路程的近似值，结合实际问题理解定义，抽象的问题显得更加形象化，便于基础薄弱的学生加以理解。

4.用定积分解决实际问题问题，体现定积分的作用，启发学生学习兴趣

用定积分解决新课引入部分图1面积问题。图7～图9为拟合出的污染面积及分布在各象限内的边界函数，

以第一象限为例，在第一象限内，边界函数为：

利用定积分的方法可得到第一象限的图1的面积为：

其中S1为第一象限内的图1的面积。理论知识与实践相结合的教学模式，既能调动学生的学习兴趣，又能让学生感受到数学的实际应用的重要性，从而激发学生热爱数学，进而努力学习数学知识。

5.定积分的几何意义的介绍

利用多媒体手段，结合曲边梯形的面积展示图形，介绍定积分的几何意义，学生可以直观上体会并理解。几何意义的介绍，对后续定积分的应用起到铺垫作用。

6.思政内容的引入

二、结论

上述的教学方式及教学过程以学生为教学导向，针对高职层面的学生实际情况，合理安排教学内容，选择科学的教学方法与手段，使学生更加容易接受数学，更好地学好数学，为学习其他专业课打好基础。运用观察、分析、比较、归纳等数学方法，不仅引导学生接受并吸收所学知识，更重要的是在传授知识的过程中，训练了学生数学思维及数学逻辑，培养了学生的创新能力，使其思维的广度、深度和创造性得到进一步加强[6]。