基于渐近法的城市近接地下空间有限土体土压力计算方法研究

陈桥枫，雷升祥, ，赵伟，肖清华，李聪明

(1. 西南交通大学 交通隧道工程教育部重点实验室，四川 成都 610031；2. 中国铁建股份有限公司，北京 100855；3. 中铁十八局集团有限公司，天津 300222)

目前，既有地下空间的网络化拓建成为城市发展的必然趋势，由于既有地下结构及周边环境对地层变形的强敏感性，地层及结构变形控制成为拓建施工的重点管控内容之一。如图1(a)所示地下污水、燃气等市政管线和图1(b)所示的既有地下结构均对临近基坑变形有严格的控制。经典的朗肯(Rankine)或库伦(Coulomb)土压力理论广泛应用于基坑支护的土压力计算，其适用条件是地层在半无限空间中延伸、需基于一定程度的位移且形成了极限平衡状态。城市地下拓建工程中大量存在的有限土体宽度与经典土压力理论的半无限空间假定存在较大差别，且拓建施工对变形的控制严格，有限的地层变形不足以达到极限平衡的状态，土压力计算不能直接采用经典土压力理论，需要研究新的有限土体土压力计算方法。在有限土体土压力研究方面，国内外学者做了大量的研究工作。FANG等[1-3]研究了不同位移模式对有限土体土压力的影响，提出支护结构运动方式的不同导致土压力分布模式不同；党发宁等[4]引入Duncan-Chang 非线性弹性模型中的切线模量来反映土体模量随土压力的变化，依据线弹性本构理论建立了有限位移条件下支护结构的土压力计算方法；汪来等[5-9]研究建立了基于极限平衡法的有限土宽度土体压力的计算方法。方焘等[10]采用自主设计的自动控制模型箱，开展了墙后土体不同位移模式下的主动土压力试验，并通过ABAQUS进行数值模拟的分析比较；此外，肖昕迪等[11]用离散元方法、TAKE等[12]通过一系列离心试验论证土拱效应对有限土体土压力的影响。研究表明，目前有关有限土体土压力的计算主要基于土体破坏极限状态的平衡理论，并充分利用了土体的极限抗剪强度。但对于城市地下空间拓建工程来说，地层变形控制严格，有限范围内土体可能无法达到滑动面贯通破坏的极限状态，土体的抗剪强度并未充分发挥，以假想滑动面上的抗剪强度作为剪应力建立平衡方程，求得的土压力与实际情况存在一定出入。为更好地满足拓建工程有限土体情况下，基坑支护结构的设计和施工对土压力计算和变形控制的需要，有必要进一步深入研究有限土体土压力的计算方法。基于力学平衡理论和土拱效应原理，考虑支护结构位移与有限土体的相互影响，研究非极限状态下的有限土体土压力计算方法，为土压力研究和城市地下空间拓展建造提供参考。

1 无水平位移有限土体土压力计算

1.1 经典土压力理论的应用条件

经典土压力计算方法有2个严格的前提条件，一是支护的水平位移要使土体产生贯通滑动面，二是在半无限空间内。当支护结构的水平位移有严格限制，无法直接用经典土压力计算方法，且不能用楔体的极限平衡方法推求有限土体的土压力。

图2为支护结构位移与土压力关系。可以看出，主动土压力状态(Ea)是土体在水平方向卸荷直至破坏时的瞬时状态，被动土压力状态(EP)是土体水平方向上受到压缩直至破坏时的瞬时状态。主动土压力和被动土压力分别是2种极限状态。这2种状态中间，除了未受到土层变形影响、应力状态没有改变的静止土压力状态(E0)外，还有范围更广的土压力状态分布。

静止土压力是支护无侧向变位或侧向变位微小时，土体作用于支护结构上的土压力。《欧洲岩土设计规范Eurocode 7》(BS EN1997-1: 2004)规定当挡土结构的位移ya≤0.05%h时(h为墙高)，土体作用于墙面上的土压力为静止土压力[13]。相关研究表明[14]，对于密实砂土层，达到主动土压力的极限状态时支护结构的位移ya为0.1%h；对于松散砂土，ya为0.5%h。

当支护结构近似于静止状态时，可采用静止土压力，随着支护结构远离土体，土压力逐渐过渡到极限主动土压力状态。BANG[15]给出了“中间主动土压力状态”的概念，提出在不同位移条件下土体内剪切强度发挥程度是不同的。

在城市地下工程的拓建施工中，常遇到支护结构仅允许向基坑内侧移动某一很小的位移，土体并没有达到滑动破坏极限状态，这时支护结构受到的土压力介于静止土压力和主动土压力之间。

1.2 有限土体拱效应形成机理

水在静止状态下没有抗剪强度，所以水向任何方向的压力都相等；相反地，因为土体有抗剪强度，所以具有在不同的方向上，或者根据变形的不同，土压力的大小也不同这样奇妙的性质。

由于一部分土体相对于另外一部分土体的移动而产生的剪切应力使得土的强度被破坏，是建筑物地基和土坡毁坏的主要的、也是最常见的形式。土体小变形条件下，在有限土体内部，如果土体的一部分移动，而其余部分保持其原来位置不动，土体中这种相对运动受到移动土体与不动土体接触面的抗剪强度的阻抗，因为抗剪强度有趋向保持移动土体原来的位置，故它使移动部分土体上的压力减小，而使不动部分土体上的压力增加。这种移动土体把压力传递给相邻不动部分的传递作用叫做拱作用，也即所说的土拱效应。可以看出，土拱效应的发生有2个前提条件，一是抗剪强度的存在，且并不需要土的抗剪强度完全发挥出来；二是土体中有变形发生(或者有变形的趋势)，且土体的变形不需要达到破坏的极限状态。无论在施工现场还是实验室中，土拱效应是土体中所遇到的最普遍的现象之一，即便土体处于弹性变形状态，只要土体中有位移或者有发生的趋势，土拱效应便随之发生。

根据有关研究[9-10]，有限土体极限状态下发生由上矩形部分和下三角形部分组成的梯形截面，变形从支护底部开始发生，且过程中表现为整体下沉。基于此，为了说明有限土体内部拱效应的形成机理，作如下假设：1) 支护体系刚度足够大，不发生水平向位移和变形；2) 墙体和有限土体接触面粗糙；3) 有限土体底部具有向下的位移或具有向下移动的趋势。

图3为有限土体土压力计算模型，两垂直平行的墙AB和CD间土体宽度为2b1。如果两墙间土体宽度满足墙下部A点(或C点)的滑动边线与土体的自由面(顶面)相交，则挡土墙上的土压力按正常情况考虑，如果被墙体所阻断，则中间土体在下沉时所产生的墙表面的摩擦力，将承受一部分土体重量，土体主应力发生偏转，内部形成上凸的土拱。由此可见，墙与有限土体间的摩擦阻力，是土拱效应形成的前提。

1.3 无水平变形有限土体受力分析

利用水平薄层单元竖向静力平衡的方法，研究无水平位移的有限土体土压力计算问题。

做一初始假定，有限土体未发生水平位移，用2个水平面划分出一个厚度为dz的薄层土体单元(见图3)，σv为竖向应力，σh为墙-土法向接触力，τh为墙-土切向接触力(摩阻力)，δ为土与墙的摩擦角，γ为土的重度，b1为有限土体的一半宽度；沿墙的厚度取单位长度，水平薄层单元受到图3所示的力的作用，表示如下：1) 单元土体的自重：g=2b1γdz；2) 单元上部竖向压力：2b1σv；3) 单元下部竖向压力：2b1(σv+dσv)；4) 墙体对单元侧面的水平压力：σhdz；5) 墙体对单元侧面的摩阻力：τhdz=σhtgδdz, 其 中，σh=k0σv，k0为 静 止 侧 压 力系数。

1.4 微分方程及其求解

建立图3水平薄层单元的竖向力平衡方程：

由z=0，σv=q，故：

和

当无地面超载，即q=0时，

和

上述公式推导表明，随着深度z的增加，竖向压力σv的增量以及墙上侧向压力σh的增量将越来越小，并趋于稳定，并非经典土压力呈线性增加的特点；地面超载、墙-土摩擦角和土体宽度对有限土体的土压力分布有重要影响。当深度到达一定程度时，e-Cz数值在大多数情况下可忽略不计，此时的竖向压力将等于常数：

1.5 有限土体土压力合力及其作用位置

对式(6)在深度(z)方向积分，求高度为H的无水平位移有限土体土压力的合力EL0。

下面求EL0作用点位置，如图4所示，有限土体土压力的合力EL0对O点的力矩为：

有限土体压力EL0对O点的力矩为：

令ME=Mσ，则有限土体土压力合力作用点到O点的距离a为：

1.6 无水平位移有限土体土压力的分布特点

下面举例分析无水平位移有限土体土压力的分布特点，假定某砂土层重度γ=21 kN/m3，变形模量Es=120 MPa，黏聚力c=0 MPa，泊松比μ=0.3，内摩擦角φ=35°，墙-土摩擦角δ=15°，静止侧压力系数k0=0.57，地面超载q=20 kPa，有限土体宽度2b1=3.6 m。

相关参数代入可得：

由式(3)得有限土体竖向土压力分布为：

有限土体水平土压力分布为：

图5(a)为无水平位移有限土体的土压力及半无限土体静止土压力计算结果。可以看出，10 m深度处，静止土压力为131.1 kPa，有限土体的土压力为84.75 kPa，为静止土压力的64.6%；当基坑深度20 m时，静止土压力为250.8 kPa，有限土体的土压力为116.6 kPa，仅为静止土压力的46.5%。计算分析说明，有限土体情况下，由于土拱效应的存在，有限土体土压力随着深度的增加而增加，但增量表现出非线性递减的特征。

改变土与墙摩擦角，分别取δ=0°，10°，15°，20°，25° 5种情况，保持其他参数不变，计算有限土体土压力与深度关系，计算结果如图5(b)所示。可以看出当墙背光滑，即δ=0°时，无土拱效应现象，有限土体土压力为静止土压力。当δ≠0°时，有限土体土压力非线性增加，δ越大，增幅越低，且更快接近收敛值。以深度方向每增加0.1 m，水平土压力增量0.5%作为水平压力的收敛的分界值，δ=10°，15°，20°，25°的分界深度分别是12.5，10.7，9.4和8.3 m。

假设仅改变有限土体宽度，分别取2b1=1.6，2.6，3.6，4.6和5.6 m 5种情况，保持其他参数不变，计算土压力与土体宽度的关系，计算结果如图5(c)所示。随着有限土体宽度2b1增大，有限土体土压力非线性增加(增量降低)，且宽度越小，拱效应越明显，有限土体土压力收敛越快。且随着深宽比的增大，有限土体土压力的增量逐渐降低。假定墙高H=10 m，2b1=3.6 m，将所给参数代入式(7)得有限土体土压力的合力为EL0=536.59 kPa。代入式(9)得有限土体压力的合力到土体顶部的距离a=6.138 m。

2 限定水平位移有限土体土压力计算

借鉴力矩分配法对不平衡弯矩按相对刚度进行渐近分配思想，研究有限土体土压力的渐近法力学机制。以简单的悬臂支护结构为例，说明渐近法计算限定水平位移时有限土体土压力的计算过程。图6为渐近法土压力计算原理图。

图6(a)所示悬臂支护结构的高度为H，无水平位移时有限土体土压力为σh，σh作用下支护结构位移为v1，顶端位移为Δ1。显然，σh与v1实际上不可能达到，因为支护结构向基坑方向变形后，原本压缩的有限土体水平方向松弛，土压力降低，小于σh；同样地，支护结构在小于σh的实际水平土压力下，位移也会小于v1。

拓建工程的地层变形常常受到严格限制，可将有限土体视为理想弹性材料，忽略非线性变形的影响，其水平压缩刚度仍假定为温克尔弹性模量KH；图6(a)中，当支护结构变形v1，可以看作有限土体从开挖前的初始状态伸长了v1，相应地其土压力减小了KHv1，由此，可以假想给支护结构一个相反的作用力KHv1，并产生偏向土体侧的位移v2，如图6(b)所示。

如前所述，v2实际上也是不可能达到的，因为支护向土体侧变形时，土体会受到压缩，支护结构受到土压力KHv2的作用，如图6(c)所示，将产生变形v3，在KHv3作用下，支护结构变形v4，依此规律，交替出现不同方向的土压力增减和支护结构变形，由于支护结构本身的刚度，交替计算下的量值逐渐降低，以此求得有限土体土压力结构的变形(v)及土压力分布(σL)近似解。即：

3 有限土体土压力渐近法求解方法

仍以上述悬臂支护结构为例，说明有限土体土压力渐近法求解的具体过程。下面的推导公式中，E为支护结构弹性模量，I为支护结构(取1 m长度)的横截面惯性矩。

1) 求解图6(a)中σh，v1，Δ1

建立支护结构挠曲线微分方程：

对支护结构的挠曲线微分方程一次积分得：

根据z=0时，可求得积分常数；对支护结构的挠曲线微分方程二次积分得：v1=

根据z=0时，v1=0，可求得积分常数；当z=H时，Δ1=v1

2) 求解图6(b)中v2，Δ2

建立支护结构挠曲线微分方程：

对支护结构的挠曲线微分方程一次积分得：

根据z=0时，可求得积分常数；对支护结构的挠曲线微分方程二次积分得：v2=

根据z=0时，v2=0，可求得积分常数；当z=H时，Δ2=v2

同理，可求得后续的vi和Δi，将上述结果代入式(10)：

令

则式(13)可转化为：

假设支护结构墙厚为h，纵向长度取为1 m，则I代入式(14)得

给定基坑支护结构顶部最大水平位移限值Δmax，则可根据式(15)求得支护结构的最小厚度，并根据式(12)求得限定水平位移时有限土体的土压力。

上述推导了限定水平位移情况下的有限土体土压力和支护结构厚度的确定方法，可以作为基坑稳定性校核和支护结构设计的基础。

4 饱和静水场有限土体土压力

地下水对有限土体的土压力计算有重要的影响，下面分析饱和静水场状态下，无黏性有限土体土压力的计算问题。采用水土分算，并作如下假定：

1) 有限土体受到水的浮力，计算土压力时采用浮重度γ′；2) 忽略水对无黏性土强度指标φ值的影响；3) 忽略静止土压力系数k0的变化；4) 地下水使墙土间摩擦角减小，摩阻力降低。

仍以图3所示的薄层单元为例，按水土分算，由于水无抗剪强度，因此由水产生的水平压力系数为1，且在墙面无剪应力发生，墙-土间摩阻力仅由土体有效重度产生的水平侧压力产生。

水平土压力：

墙-土摩阻力：

水平水压力：

总水平压力：

其中：γ′为土的浮重度；γw为水的重度。

根据土拱效应的水平薄层竖向力平衡方程，可求得：

等式(16)右边第1项为浮重度产生的水平侧压力，第2项为地下水产生的侧压力。式(17)Cw为与墙-土摩擦角δw(非零)有关的常数。

选 取 砂 土 层 重 度γ′=11 kN/m3，水 重 度γw=10 kN/m3，墙-土摩擦角δw=10°，静止侧压力系数k0=0.57，有限土体宽度2b1=3.6 m，地面超载q=20 kPa，假定水位位于z=0 m处。

根据式(16)可得饱和静水场状态下有限土体的土压力为：

σhw=10.2+1.2e-0.05584z+10z

图7为饱和有限土体压力和非饱和有限土体压力计算结果。计算表明，当深度小于5 m时，饱和情况下土压力和非饱和情况土压力接近；当深度大于5 m后，随着深度的增加，饱和土的土压力大于非饱和情况，这是由于饱和状态下，墙-土间的摩阻力仅由浮重度产生的侧压力贡献，摩阻力小，弱化了土拱效应；另一方面，饱和土水土分算时，侧压力等于浮重度产生的侧压力和水产生的侧压力之和，由于水无抗剪强度，水产生的侧压力系数为1，总的侧压力增大。

5 结论

1) 城市地下空间拓建施工地层空间及地层变形受到限制，经典土压力计算方法不能直接套用，有必要采用有限土体土压力的计算方法。

2) 由于土拱效应的存在，有限土体土压力随深度呈非线性增加，且增加的幅度呈递减趋势，并趋于收敛；地面超载、墙-土摩擦角和土体宽度对有限土体的土压力有重要影响。

3) 墙-土间的摩擦阻力是产生土拱效应的前提条件，基于土拱效应的有限土体土压力渐近法计算方法为拓建工程基坑支护的土压力计算提供了新思路和方法，为基坑稳定验算和强度校核奠定了基础。

4) 地下工程施工的很多重大事故，均和没有预料到的水的作用有关，地下水增大地层总应力，降低土拱效应；随着深度的继续增加，饱和土的土压力大于非饱和情况。