具有多领导者的二阶多智能体系统时变编队控制

李加程，杨青胜，韩 涛，肖 波

(湖北师范大学 电气工程与自动化学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

多智能体系统在不同领域都有着不俗的运用[1]，例如能源优化[2]、机器学习[3]、协同控制[4]等。其中最近几年关于多智能体系统协同控制的研究进步飞快，取得了很多重大成果[5～7]。其中包括了许多控制方法，比如一致性控制[8]、跟踪控制[9]、编队控制[10]、包含控制[11]，其中编队控制是人们高度关注的问题之一。编队控制的基本任务是让多智能体系统保持期望的队形，让智能体按照期望的队形进行工作从而提高工作效率等目的。编队控制理论应用于多个领域，包括许多航天卫星[12]、无人机[13，14]、机器人[15]等等。但是为了让其控制性能得到更加优异效果，我们对其有更高的要求。

目前对于多智能体系统编队控制主要是由一致性的控制问题延伸而来，最早由通过选择适当的状态达到一致，从而实现了基本的群体控制[16]，后面通过许多学者不断努力的研究，得到了许多有意义的结果。文献[17]利用拉普拉斯的方法，研究了单积分多智能体系统在有向拓扑与无向拓扑之间切换的编队问题。基于单积分器的多智能体系统，在文献[18]中更近一步提出了双积分器的多智能体系统的编队问题。但是随着人们对编队控制的研究发现仅仅考虑其性能还不够，还需要考虑更多的实际应用情况，让其队形能够跟随预定路线进行运动，这就要求系统编队中的每个智能体状态保持预期的编队的同时还能够跟随目标轨迹进行运动。所以文献[19]提出了单积分器多智能体系统跟踪一个虚拟的领导者智能体的运动轨迹并且保持编队不变。紧接着文献[20]研究了双积分器多智能体系统跟踪一个虚拟领导者的运动轨迹但其智能体系统所组成的编队保持不变，文献[21]研究了关于双积分器多智能体系统跟踪一个虚拟领导者的运动轨迹并且队形随时间变化。以上都只考虑了一个领导者的情况，但在实际情况中多智能体系统形成编队需要随着实际情况变化而变化，可能需要部分智能体组成的时变编队来跟踪多个领导者的运动轨迹。例如在保护重要物品运输时周围用无人机进行包围保护，其队形中心以运输重要物品的飞机位置的加权平均为中心，保持期望的战术队形，在遇到特殊队形和情况时，其编队会发生变化，由外围的跟随者进行保护。同样在飞行运输重要物品的时候，需要在运输机队伍的周围用无人机按照期望队形进行保护，这样既可以保护重要运输机队伍。

基于上述分析本文研究了具有多个领导者和有向交互拓扑的二阶多智能体系统时变编队跟踪问题，提出了时变编队控制协议，并基于代数图论以及稳定性理论得到了有向拓扑的二阶多智能体系统实现时变编队的条件。

1 初步准备和问题描述

1.1 基本图论

在本文多智能体系统中主要讲述了N个智能体所组成的有向图G={V，A，W}，其中V={v1,v2,…,vn}表示为对应的N个节点，A={(vi,vj);vi,vj∈V,i≠j}表示两两节点之间的信息传输，W=[wij]∈RN×N表示节点之间组成的邻接矩阵。当wij中i≠j则wij=1，反之当i=j时wij=0.关于有向图G的度矩阵D可以表示为D=diag{degin(vi),i=1,2,…,n}，此时关于有向图G的Laplacian矩阵L可以得到L=D-W.

1.2 问题描述

考虑一个有N个智能体的系统，其中M个为跟随者(M

(1)

(2)

其中ui(t)为跟随者的控制器，而领导者没有控制输入。系统的Laplacian矩阵可以表示为

假设1 对于所有的跟随者都是可以获得所有领导者的信息，而无法直接获得领导者信息的跟随者都至少有一条路径可以间接获得领导者信息。

定义1 对于多领导者的系统(1)和(2)，若要在任意初始状态下实现期望的时变编队跟控目标，则需要满足以下条件

(3)

根据定义1可以看出，当系统需要达到时变编队跟踪时，需要(3)成立，最终整个时变编队的队形由hi(t)来变动，其中领导者的加权平均中心与hF(t)相互作用构建了时变编队的基本条件。其中也存在一些特殊情况，例如当时此时系统中只有一个领导者，系统即是基础的单领导者的时变编队系统；其次当hi(t)是一个固定的数值不会发生变化时，系统此时不是多领导者时变编队系统而是基本的多领导者固定编队系统。最后当M=1与hi(t)是一个固定值同时发生，则此时系统成为了单领导者固定编队系统。由此可知以上三种情况都是我们定义1的特殊情况。所以，我们考虑的系统相较于以上三种情况更具有普遍性。

本文提出一种时变编队跟踪控制器为：

(4)

(5)

2 主要结果

(6)

(7)

设

(8)

ZF(t)=(L1⊗Im)ξF(t)+(L2⊗Im)ξE(t)

(9)

将系统(7)代入式(9)中可以得到：

(10)

(11)

(12)

所以其特征多项式为P(s)=s2-λiK12s-λiK11，其中s为复变量。根据引理3可以知道

(13)

表明

(14)

证明：由定理1可以得到(13)，所以此时可以得到

(16)

根据定理1因为其满足Hurwitz,所以可以将其变化为

(17)

根据其系统状态，构造下列Lyapunov函数。

(18)

(19)

根据定理1满足的情况下可以得到具有多个领导者的多智能体系统(1)和(2)基于控制器(4)实现时变编队跟踪控制。定理2证明完成。

3 仿真效果

本文考虑由六个跟随者以及三个领导者组成的系统，其拓扑图如图1所示：

图1 有向拓扑图G1

跟随者智能体的期望队形设置为

在期望队形中r为期望队形圆的半径，此时在仿真中设r=15，根据定理2我们可以计算出K=[-0.0794,-1.5117].智能体的运动位置轨迹如图2所示，其中6个星号标记代表的是6个跟随者智能体，3个圆形标记表示3个领导者，我们可以看到跟随者形成了期望队形。

(a) 在t=0 s时刻智能体位置图 (b) 在t=10 s时刻智能体位置图

智能体的速度如图3所示，6个跟随者智能体的起始速度不同但随时间变化最后X轴速度和Y轴速度分别趋于一致。

(a) X轴速度图 (b)Y轴速度图

4 总结

本文研究了具有多领导者的二阶多智能体系统时变编队跟踪问题。为了解决这个问题，我们设计了具有多领导者的二阶多智能体系统时变编队跟踪控制协议。根据Lyapunov定理以及代数Riccati方程，证明了控制协议可以实现时变编队跟踪控制，并通过仿真证实了理论结果的有效性。未来我们可以研究存在多个领导者进行时变编队跟踪的同时领导者之间单独进行时变编队问题。

Time-varying formation control for second-order multi-agent systems with multiple leaders

LI Jia-cheng，YANG Qing-sheng，HAN Tao，XIAO Bo